Период и предпериод

Как получить очередную цифру дроби m/q в основании b? Умножим текущий остаток на b. Частное от деления на q — это следующая цифра, а новый остаток переходит в следующий шаг.

Если остаток стал нулём — запись закончилась. Если повторился прежний остаток — все следующие цифры повторятся в прежнем порядке, и начинается период. До первого повторения может идти неповторяющийся участок — его называют предпериодом.

Почему у 1/12 есть предпериод

Разберём дробь 1/12 в десятичной системе.

Ведём деление по описанному правилу (делите столбиком как в математике): 

Получается 0,08(3)₁₀: цифры 08 образуют предпериод, а цифра 3 — период. Скобки здесь означают бесконечное повторение (период).

Проверь себя

Из записи — в обыкновенную дробь

Переведём бесконечную периодическую запись обратно в обыкновенную дробь. Пусть V — целое значение блока из t цифр. Тогда

0,(V)_b = V / (b^t − 1).

Поясним, откуда это берётся: возьмем дробь в пятеричной системе счисления 0,(23)₅ и будем переводить ее в десятичную систему счисления, получится бесконечное повторение блока — это сумма 13/25 + 13/25² + …, которая сворачивается в указанную формулу (формула суммы бесконечной геометрической прогрессии).
Тогда получаем, 0,(23)₅ = 13 / (25 − 1) = 13/24. Обратите внимание: в число позиций t входят и нули, стоящие в начале блока.

Если перед периодом стоит блок U из s цифр, прибавляем и его вклад:

0,U(V)_b = U / b^s + V / [b^s(b^t − 1)].

Так, 0,1(23)₅ = 1/5 + 13/(5·24) = 37/120.

Важный крайний случай: 0,(b − 1)_b = 1. У конечных дробей есть альтернативная запись с бесконечным хвостом максимальных цифр. Если не сказано иное, используем конечную запись всегда, когда она существует.

Проверь себя

Как длины связаны со знаменателем

Число цифр до и внутри периода определяется знаменателем дроби. Возьмём уже сокращённую дробь и разделим её знаменатель q на два взаимно простых множителя: q₀ собирает только те простые делители, которые есть в основании b, а q₁ взаимно простое с b.

Длину предпериода даёт минимальное s, при котором q₀ делит b^s. Если q₁ = 1, запись конечна — длину периода в этом случае считаем равной 0. В противном случае длину периода даёт минимальное t, при котором

b^t ≡ 1 (mod q₁).

Обозначение mod означает остаток при делении. Например, у дроби 1/28 в десятичной системе q₀ = 4, а q₁ = 7: значит, предпериод имеет длину 2, а период — 6.
 

Почему 1/28 даёт q₀ = 4, q₁ = 7

Знаменатель: 28 = 2·2·7 = 2²·7. Основание: 10 = 2·5.

• Множитель 2 есть и в 28, и в 10 →  идёт в q₀. Его в 28 сразу два: 2², значит q₀ = 4.
• Множитель 7 есть в 28, но его нет в 10 →  идёт в q₁ = 7.

Важно: порядок следует искать только по q₁ — брать его по исходному знаменателю q, когда b и q не взаимно просты, нельзя.

Проверь себя