Неизвестное основание и обратные условия

Когда основание неизвестно, оно входит сразу в два места: и в значение цифр, и в знаменатель дроби. Поэтому решать такую задачу следует от выражения — выписывать дробь через b и преобразовывать её, а не подбирать запись наугад.

Основание из целочисленности

Найдём минимальное b, при котором число 10·0,1(2)_b — натуральное. Сразу отметим: цифра 2 допустима только при b ≥ 3.

Запишем выражение через b:

0,1(2)_b = 1/b + 2/[b(b−1)] = (b+1)/[b(b−1)].

Теперь переберём допустимые основания и проверим, когда произведение на 10 даёт натуральное число:

Все меньшие допустимые основания уже проверены, значит минимум — 5. Заметьте: короткая проверка оправдана тем, что перебор ограничен границей b ≥ 3, и проверять все возможные дробные записи не требуется.

Если подходящее основание так и не найдено, нужно доказать, что поиск можно остановить. Например, когда выражение уже стало положительным числом меньше 1 и при росте b продолжает убывать, натуральным оно больше не станет ни при каком b.

Проверь себя

Задана только дробная часть

Пусть требуется найти наибольшее R < 3/2, для которого дробная часть числа R + 1/12 равна 0,(2)₅.

Начнём с периода. Повторяющаяся цифра 2 даёт значение 2/(5 − 1) = 1/2. Значит, дробная часть равна 1/2, и само число записывается как

R + 1/12 = z + 1/2,

где z — целое. Отсюда

R = z + 5/12.

Условие R < 3/2 превращается в z + 5/12 < 3/2, то есть z < 13/12. Наибольшее целое z равно 1, и мы получаем R = 17/12.

Заметьте: просто вычесть 1/12 из 1/2 было бы недостаточно — так мы потеряли бы возможную целую часть числа.

Строгая граница

Ключевой приём — работа со строгим неравенством. Если z < A и z целое, то наибольшее такое z равно ⌈A⌉ − 1. Это правило действует и тогда, когда A само целое. Если же неравенство нестрогое, z ≤ A, то наибольшее z — просто ⌊A⌋.

Полезно помнить и общую границу для дробной части: всегда 0 ≤ {x} < 1. В частности, условие «дробная часть равна 0,(b − 1)_b» невыполнимо, потому что такая запись равна 1 и выходит за допустимые пределы.

Проверь себя