Демо и разбор

Разбор решения: Складываем цифры по разрядам справа налево. Если сумма в разряде достигает или превышает основание системы (5), мы делим её на 5: остаток записываем в текущий разряд, а частное переносим в старший разряд.

• Младший разряд: 2 + 4 = 6₁₀. Так как 6 ≥ 5, делим: 6 = 1 × 5 + 1. Записываем 1, а 1 переносим в уме в следующий разряд.

• Средний разряд: 4 + 2 + 1 (из ума) = 7₁₀. Делим на 5: 7 = 1 × 5 + 2. Записываем 2, а 1 переносим в уме в старший разряд.

• Старший разряд: 3 + 1 + 1 (из ума) = 5₁₀. Делим на 5: 5 = 1 × 5 + 0. Записываем 0, а 1 переносим в новый пустой разряд слева. Получаем число 10.

Ответ: 1021₅

Разбор решения: Вычитаем цифры столбиком. Если из верхней цифры нельзя вычесть нижнюю, мы занимаем 1 единицу в старшем разряде, которая в текущем разряде превращается в величину основания (в 5 единиц).

• Младший разряд: из 3 нельзя вычесть 4. Занимаем 1 у соседнего разряда (она равна 5). Вычисляем: (3 + 5) - 4 = 4.

• Второй разряд: из-за заёма вместо 1 остался 0. Из 0 нельзя вычесть 4. Занимаем через ноль у четверки в самом старшем разряде. Ноль в третьем разряде становится 4, а текущий разряд получает 5. Вычисляем: 5 - 4 = 1.

• Третий разряд: вместо нуля, который побывал пятеркой, осталось 4. Вычитаем двойку: 4 - 2 = 2.

• Старший разряд: вместо четверки из-за первоначального заёма осталось 3.

Ответ: 3214₅

Разбор решения: Используем математическое свойство: произведение двух чисел равно разности квадратов их полусуммы и их полуразности [(a - b)(a + b) = a² - b²]. Все промежуточные действия выполняем строго внутри шестеричной системы счисления.

1. Находим полусумму множителей: (55₆ + 101₆) / 2 = 200₆ / 2 = 100₆

2. Находим полуразность множителей: (101₆ - 55₆) / 2 = 2₆ / 2 = 1₆

3. Записываем произведение как разность квадратов: (100₆ - 1₆) × (100₆ + 1₆) = 100₆² - 1₆²

4. Вычисляем устно: 100₆² = 10000₆. При вычитании единицы из круглого числа все нули заменяются на самую большую цифру шестеричной системы — на 5: 10000₆ - 1₆ = 5555₆

Ответ: 5555₆

Разбор решения: Так как основания систем счисления связаны степенью двойки (8 = 2³), перевод можно выполнить напрямую с помощью групп по 3 двоичные цифры — триад.

1. Разделим исходное двоичное число на триады справа налево: 110 и 111.

2. Переведем каждую триаду в восьмеричную цифру отдельно, используя веса разрядов 4-2-1:

• Первая триада: 110₂ = 1·4 + 1·2 + 0·1 = 6

• Вторая триада: 111₂ = 1·4 + 1·2 + 1·1 = 7

3. Записываем полученные цифры по порядку слева направо.

Ответ: 67₈

Разбор решения: Прямого быстрого перехода между шестнадцатеричной и восьмеричной системами нет. Перевод выполняется в два этапа через двоичную систему счисления, которая служит «мостом».

Этап 1 (Из 16 СС в 2 СС): Каждую шестнадцатеричную цифру расписываем отдельно в виде тетрады (группы из 4 двоичных знаков):

• 2₁₆ → 0010₂

• F₁₆ → 1111₂

• 5₁₆ → 0101₂

Соединяем тетрады вместе и отбрасываем ведущие нули слева. Получаем двоичную цепочку: 1011110101₂.

Этап 2 (Из 2 СС в 8 СС): Полученное двоичное число разбиваем на триады (группы по 3 знака) строго в направлении справа налево. Если в самой левой группе не хватает цифр, дописываем нули:

• На группы: (001) (011) (110) (101)

• Переводим каждую группу в цифру: 001₂=1, 011₂=3, 110₂=6, 101₂=5.

Ответ: 1365₈

Разбор решения: Ищем самые большие степени двойки (32, 16, 8, 4, 2, 1), которые помещаются в исходное десятичное число, и последовательно вычитаем их веса:

• Находим наибольшую степень двойки, которая меньше 61. Это 32 (2⁵). Вычитаем: 61 - 32 = 29. (Ставим 1 в разряд тридцати двух).

• В остаток 29 помещается 16 (2⁴). Вычитаем: 29 - 16 = 13. (Ставим 1 в разряд шестнадцати).

• В остаток 13 помещается 8 (2³). Вычитаем: 13 - 8 = 5. (Ставим 1 в разряд восьми).

• В остаток 5 помещается 4 (2²). Вычитаем: 5 - 4 = 1. (Ставим 1 в разряд четырёх).

• В остаток 1 число 2 (2¹) не помещается, вычесть нельзя. (Ставим 0 в разряд двух).

• Из остатка 1 вычитаем 1 (2⁰): 1 - 1 = 0. (Ставим 1 в разряд единиц).

Собираем двоичные разряды слева направо.
Быстрый приём самопроверки: 61 = 63 - 2. Число 63 — это шесть двоичных единиц (111111₂). Если убрать разряд двойки, заменив единицу на ноль на втором месте справа, мы устно получим 111101₂.

Ответ: 111101₂

Разбор решения: Последовательно делим десятичное число на основание новой системы (на 8) «уголком» в строчку до тех пор, пока частное не окажется меньше 8. Остатки от деления фиксируем и собираем в обратном порядке (снизу вверх).

• Шаг 1: 1543 ÷ 8 = 192, остаток 7

• Шаг 2: 192 ÷ 8 = 24, остаток 0

• Шаг 3: 24 ÷ 8 = 3, остаток 0

Полученное частное 3 меньше восьми, поэтому деление завершено. Записываем число, начиная с последнего частного, а затем приписываем к нему все остатки в обратном направлении: 3, 0, 0, 7.

Ответ: 3007₈

Разбор решения: Метод позволяет перевести число в десятичную систему счисления в одну строчку без возведения основания в большие степени. Двигаемся по цифрам числа слева направо: берем первую цифру, умножаем на основание системы (8), добавляем следующую цифру числа. Полученный промежуточный результат снова умножаем на 8, добавляем очередную цифру, и так до самого конца.

• Шаг 1: Берём первую цифру 2, умножаем на 8 и прибавляем вторую цифру 1:
  2 × 8 + 1 = 17

• Шаг 2: Полученный результат 17 умножаем на 8 и прибавляем третью цифру 0:
  17 × 8 + 0 = 136

• Шаг 3: Результат 136 умножаем на 8 и прибавляем последнюю цифру 5:
  136 × 8 + 5 = 1088 + 5 = 1093

Ответ: 1093₁₀

Разбор решения: По правилу «чистого» алгоритма Евклида мы должны на каждом шаге находить разность между большим и меньшим числом, записывая полученный результат на место большего. Повторяем эту операцию до тех пор, пока оба числа в паре не станут равны друг другу. Все вычитания выполняются столбиком строго внутри семеричной системы счисления (за заём из старшего разряда мы получаем 7 единиц текущего разряда).

• Шаг 1: Сравниваем 415₇ и 246₇. Из большего вычитаем меньшее:
  415₇ - 246₇ = 136₇. Текущая пара чисел становится: (136₇, 246₇).

• Шаг 2: Сравниваем 136₇ и 246₇. Из большего вычитаем меньшее:
  246₇ - 136₇ = 110₇. Текущая пара чисел становится: (136₇, 110₇).

• Шаг 3: Сравниваем 136₇ и 110₇. Из большего вычитаем меньшее:
  136₇ - 110₇ = 26₇. Текущая пара чисел становится: (26₇, 110₇).

• Шаг 4: Сравниваем 26₇ и 110₇. Из большего вычитаем меньшее:
  110₇ - 26₇ = 51₇. Текущая пара чисел становится: (26₇, 51₇).

• Шаг 5: Сравниваем 26₇ и 51₇. Из большего вычитаем меньшее:
  51₇ - 26₇ = 22₇. Текущая пара чисел становится: (26₇, 22₇).

• Шаг 6: Сравниваем 26₇ и 22₇. Из большего вычитаем меньшее:
  26₇ - 22₇ = 4₇. Текущая пара чисел становится: (4₇, 22₇).

• Шаг 7: Теперь мы последовательно вычитаем четверку из большего числа (из 22₇):
  22₇ - 4₇ = 15₇ → новая пара: (4₇, 15₇)
  15₇ - 4₇ = 11₇ → новая пара: (4₇, 11₇)
  11₇ - 4₇ = 4₇ → новая пара: (4₇, 4₇)

• Шаг 8: Мы получили пару чисел (4₇, 4₇). Поскольку оба компонента стали равны друг другу, вычитание завершается. Итоговое равное число и является наибольшим общим делителем.

Ответ: 4₇

Разбор решения:

• Шаг 1. Перевод слова в цифровой вид по заданному ключу. Нам дано имя-ключ УЧЕНИК, буквы которого последовательно кодируют цифры шестеричной системы счисления (основание 6):
  У = 0, Ч = 1, Е = 2, Н = 3, И = 4, К = 5.
Следовательно, загаданное Фёдором слово НЕНЕ соответствует числу 3232₆.

• Шаг 2. Разложение числа на множители в буквенном виде. По законам позиционной разрядной сетки любое число с периодическим повтором цифр структуры XYXY можно представить как произведение двузначного блока на «круглое» число 101 в этой системе счисления:
  3232₆ = 32₆ × 101₆.
Переведем техническое число 101₆ обратно в буквы по нашему ключу (где цифра 1 — это Ч, а цифра 0 — это У). Получаем слово ЧУЧ.
Искомое буквенное разложение принимает вид: НЕ × ЧУЧ (оба множителя строго содержат не более четырех знаков).

• Шаг 3. Перевод полученных компонентов в десятичную систему счисления (10 СС). Переведем каждый множитель отдельно по правилам шестеричной системы:
  • НЕ → 32₆ = 3 × 6¹ + 2 × 6⁰ = 18 + 2 = 20₁₀
  • ЧУЧ → 101₆ = 1 × 6² + 0 × 6¹ + 1 × 6⁰ = 36 + 0 + 1 = 37₁₀

• Шаг 4. Финальный числовой расчет. Перемножаем полученные десятичные значения множителей, используя удобный прием устного счета (умножение на разрядные слагаемые или вынесение двойки):
  20 × 37 = 2 × 370 = 740.

Ответ: НЕ × ЧУЧ; 740