Статья Автор: Лебедев Дмитрий Алексеевич

Задание 19_20_21

Формулировка задачи (ID 95454, КЕГЭ 19-21, 2026 Центр)

Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

добавить в одну из куч (по своему выбору) 4 камня;
увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 2 раза.

Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (24, 30), (20, 34), (40, 30), (20, 60).

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 184. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 184 камня или больше.

В начальный момент в первой куче 28 камней, во второй куче – S камней; 1≤ S ≤ 153.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором это возможно.
Задание 20
Найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

Петя не может выиграть за один ход;
Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от ходов Вани.

В ответе запишите два числа: сначала наименьшее значение S, затем наибольшее.
Задание 21
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
у Вани нет стратегии, гарантирующей выигрыш первым ходом.

Задача на две кучи
Способ решения - обход в ширину с использованием тактов

Задаем игровое поле используя параметры игры
- end_g = 184 - параметр завершения игры
- x_st = 28 - начальное значение для х
- St - множество стартовых точек
- Gm - множество точек, в которые могут появиться в процессе игры
  (сознательно не используем, что координата x обязательно кратна 4)
- Wg - множество позиций, выигрышных для того, кто из них ходит
  (изначально пустое)
- Lg - множество позиций, ход из которых ведет к поражению
  (начальное значение 'W' - обозначение для всех позиций в которых игра завершается победой)
Задаем программу pi (переферия) - множество позици, в которые можно пойти (с заменой выигрышных на 'W')
t - номер такта ходов (нечетные такты - ход первого игрока, четные ход второго игрока).
По условию задания нас интересуют первые четыре такта
Задаем программу shag - которая по четности такта ищет выигрышные или проигрышные позиции
- Выигрышность определяется наличием пересения с Lg (pi(p) & Lg) - то есть выигрышного хода
- Проигрошность определяется тем, что все ходы ведут в Wg (pi[p] <= Wg) - то есть все ходы проигрывают
Результат записываем с словарь по тактам. Для анализа выводим нужные значения, пересеченные со старт

def pi (xy, end_g = 184):
  x,y = xy
  A = [(x+4, y), (x, y+4), (x*2, y),(x, 2*y)]
  B = set()
  for z in A :
    if sum(z) < end_g : B.add(z)
    else : B.add('W')
  return B    
def shag(Gm, t, end_g = 184) :
  if (t % 2 == 1) : return set([p for p in Gm if len(pi(p, end_g) & Lg) > 0])
  return set([p for p in Gm if pi(p, end_g) <= Wg])
  
end_g, x_st = 184, 28
St = set([(x_st,y) for y in range(1,end_g) if y + x_st < end_g])  
Gm = set([(x,y) for x in range(x_st, end_g) for y in range (1, end_g) if x + y < end_g])
Wg = set(); Lg =set('W')
Rez = {}
t = 0
while t < 4 :
  t +=1 
  R = shag(Gm,t)
  Rez[t] = R
  if t% 2 == 1 : Wg = Wg.union(R)
  else : Lg = Lg.union(R)
  Gm = Gm -  R
print(sorted(Rez[1]&St)[:10])
print(sorted(Rez[3]&St))
print(sorted(Rez[4]&St))

Анализ результата.
Ответы на задание 20 и 21 выведены в строках со значениями 3 (2-й ход Пети) и 4(2-й ход Вани)
20 = 38 75
21 = 70
Ответ на задание 19 ищем в ответах на 1 такт. - Петя делает ход, который приводит его в позицию "выигрышную в один ход"
-вариант 1 Петя переходит в (56, y) откуда Ваня в (112, y) или (56, 2y) => y = min(184-112, (184-56)/2) > 50
- вариант 2 Петя ходит в (28, 78) => y = 39
19 = 39

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

добавить в одну из куч (по своему выбору) 3 камня;
увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 2 раза.

Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой — 30 камней; такую позицию обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (23, 30), (20, 33), (40, 30), (20, 60). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Формулировка задачи (ID 95459, КЕГЭ 19-21б 2026 ДВ)
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 173. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую позицию, при которой в двух кучах суммарно 173 камней или больше. В начальный момент в первой куче 27 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 150.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Петя не может выиграть за один ход;
Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от ходов Вани.

В ответе запишите два числа: сначала наименьшее значение S, затем наибольшее.

Задание 21
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
у Вани нет стратегии, гарантирующей выигрыш первым ходом.

def pi(xy):
  x,y = xy
  A = [(x+3,y),(x,y+3),(x*2,y),(x,y*2)]
  B = set()
  for z in A :
    if sum(z) < 173 : B.add(z)
    else :B.add('W')  
  return B
def shag (gm, t):
  if t%2 == 1 : return set([p for p in gm if pi(p) & Lg])
  return set([p for p in gm if pi(p) <= Wg])
end_g, x_st = 173, 27
St = set([(x_st, y) for y in range(end_g) if x_st + y < end_g])
Gm = set([(x,y) for x in range(x_st,end_g) for y in range(1, end_g) if x+y < end_g])
Wg, Lg = set(), set('W')
rez ={}
t = 0
while t < 4 :
  t+=1
  R =shag(Gm, t)
  rez[t] = R
  if t %2 == 1 : Wg = Wg.union(R)
  else : Lg = Lg.union(R)
  Gm = Gm - R
print(sorted(rez[1]&St)[:10])
print(sorted(rez[3]&St))
print(sorted(rez[4]&St))

Печать