1.1 Дробные системы счисления — дробь как целое, делённое на степень основания

Дробная запись — это целое число, только поделённое

В системе с основанием p цифра после запятой на месте номер i весит p в степени минус i. Поэтому вся дробная часть — это одно целое число, делённое на степень основания:

0,d1 d2 ... dk (в системе p)  =  (d1 d2 ... dk как целое) / pk

Ни округлений, ни приближений: равенство точное. Именно с этого шага начинается решение любой задачи про дробные системы счисления, и почти всегда только он и требует головы.

Разбор

0,AB₁₆: целое AB₁₆ = 10·16 + 11 = 171, цифр после запятой две, значит 0,AB₁₆ = 171 / 16² = 171/256.

0,53₈ = 43 / 8² = 43/64.   0,1011₂ = 11 / 2⁴ = 11/16.

Обратите внимание: знаменатель — всегда степень основания, показатель равен числу цифр после запятой. Сокращать дробь можно, но тогда связь с записью теряется, поэтому в задачах на цифры её обычно не сокращают.

▶ Запустите и проверьте разбор. Поменяйте мантиссу и основание.

Программа печатает:

171/256
43/64
11/16

Fraction сам сократил дроби: 43/64 остался, а 11/16 — уже несократим.

Когда запись конечна

Обратный вопрос: любая ли обыкновенная дробь записывается конечной дробью в системе p? Нет. Дробь m/n (несократимая) конечна в системе p тогда и только тогда, когда каждый простой делитель n делит p. Для p = 2, 8, 16 это значит просто: n — степень двойки.

Поэтому 3/8 в шестнадцатеричной конечна, а 1/6 = 1/(2·3) — нет: тройка в 16 не входит, и запись становится бесконечной периодической.

Программа печатает:

3 / 8 -> True
1 / 6 -> False
5 / 64 -> True
2 / 5 -> False
7 / 32 -> True

Итог тетради: любая конечная дробь — это M / p^k. Дальше мы возведём такую дробь в степень и увидим, что цифры после запятой у степени — это цифры обычного целого числа M^N.