1.1 Дробные системы счисления — степень дроби и число цифр после запятой

Степень дроби: знаменатель остаётся степенью основания

Пусть A = 0,d1...dk в системе p, то есть A = M / p^k. Тогда

AN = MN / pk·N

Знаменатель по-прежнему степень основания — значит, запись A^N конечна и содержит ровно k·N цифр после запятой. Это первое, что нужно уметь говорить про такую степень, даже не приступая к вычислениям.

Разбор

(0,AB₁₆)² = 171² / 16⁴ = 29241/65536. Переводим 29241 в шестнадцатеричную: 7239. Значит (0,AB₁₆)² = 0,7239₁₆ — ровно 2·2 = 4 цифры после запятой.

Главное наблюдение: цифры после запятой у степени — это цифры обычного целого M^N, прижатые к правому краю поля шириной k·N. Если у M^N цифр меньше, слева дописываются нули.

▶ Запустите и посмотрите, как это выглядит для N = 1, 2, 7.

Программа печатает:

AB
7239
0F306B02D20923
14

Последняя строка — длина: 14 = 2·7, как и обещала формула.

Ведущие нули

Поскольку M < p^k, число M^N меньше p^kN, и цифр у него обычно меньше k·N. Разница и есть количество нулей сразу после запятой:

ведущих нулей = k·N - (число цифр MN в системе p)

Отсюда, кстати, видно, почему степень маленькой дроби быстро «уползает» вправо от запятой.

Программа печатает:

1 0
10 1
100 14
1000 145

Итог: длину записи и число ведущих нулей мы теперь считаем сразу. Осталось главное — сами цифры. Целиком M^N при N порядка миллиардов не вычислит никто, но последние цифры — вычислит, и об этом следующая тетрадь.