Разряды и цифры

Почему 1055 записывается как 41F

Одно и то же число в разных системах счисления выглядит по-разному. В десятичной это 1055, в шестнадцатеричной — 41F.

В позиционной записи цифра стоит тем дороже, чем она левее. Разряды нумеруются справа налево начиная с нуля, и разряд номер k весит p^k, где p — основание.

Считай разряды справа налево, начиная с нуля.

Два перевода

Из p-ичной в десятичную

Каждую цифру умножаем на вес её разряда и складываем. Для 41F выходит 4 · 256 + 1 · 16 + 15 = 1055.

Из десятичной в p-ичную

Делим число на p, остаток — очередная цифра. Потом делим частное, и так пока не дойдём до нуля.

Цифры получаются от младшей к старшей, поэтому в конце список разворачивают.

Когда основание больше десяти, цифры обозначают буквами: A равно 10, F равно 15. В программе удобнее хранить не буквы, а числа.

Пример

Значение арифметического выражения 15 + 2¹⁰ + 16 записали в системе счисления с основанием 16. Сколько цифр F встречается в этой записи?

Разбираем по слагаемым. 2¹⁰ = 2⁸ · 2² = 4 · 16², то есть 400 в шестнадцатеричной. Число 16 — это 10, число 15 — это F.

Складываем по разрядам: 400 + 10 + F даёт 41F.

Одна цифра F.

Что печатает программа

[4, 1, 15]
1

Список [4, 1, 15] — это и есть 41F: цифра со значением 15 пишется буквой F. Разбор и программа сошлись.

Проверь себя

Ловушки

• Пронумеровали разряды слева направо. Счёт идёт справа и начинается с нуля.
• Приняли F за две цифры. Это одна цифра со значением 15.
• Выписали остатки в том порядке, в каком их получили. Список надо развернуть.
• Перепутали основание и старшую цифру. В шестнадцатеричной старшая цифра равна 15.