Вычитание: хвост из максимальных цифр

Куда деваются нули при вычитании

В десятичной системе 1000 минус 1 даёт 999: три нуля стали тремя девятками. В семеричной происходит ровно то же, только вместо девятки шестёрка.

Занял единицу -тполучил хвост из цифр p − 1.

Три готовых случая

Число pn-1 - это n цифр, каждая равна p-1. Например, 7⁹-1 даёт девять шестёрок.

Если вычитаемое само степень основания, выносим общий множитель: 7²² − 7 = 7 · (7²¹ − 1). В скобках 21 шестёрка, а множитель 7 приписывает справа ноль.

Слагаемые перед этим приводят к степеням одного числа (нужной системы счисления): 49¹¹ — это 7²², 125⁴ — это 5¹².
 

Если вычитают не степень

Произвольное k удобно разложить: pⁿ − k = (pⁿ − 1) − (k − 1). Первая скобка сразу даёт хвост из цифр p − 1, вторая портит только младшие разряды.

Так 5⁴-12 превращается в 4444 минус 11, то есть 4423 в пятеричной.

Приведи всё к степеням основания записи и перепиши число в порядке убывания степеней.

Пример

Значение арифметического выражения 49¹¹ + 7³³ − 7 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?

Приводим все числа к степеням 7: 49¹¹ = 7²², и запишем выражение в порядке убывания степеней: 7³³ + 7²² − 7.

Нижняя часть: 7²²-7 = 7 · (7²¹-1) - это 21 шестёрка и ноль в конце.

Выше сидит единица в разряде 33, а между ней и шестёрками остаются нули.

Двадцать одна шестёрка.

Что печатает программа

34
21
12

Всего 34 цифры: единица, одиннадцать нулей, 21 шестёрка и ноль в конце. Разбор и программа сошлись.

Ловушки

• Не привели 49¹¹ к 7²². Пока основания разные, разряды не читаются.
• Насчитали 22 шестёрки вместо 21. Младший разряд занят нулём.
• Взяли старшую цифру равной основанию. В семеричной она равна 6.
• Забыли про нули между старшей единицей и хвостом.