Длинное вычитание

Когда вычитаемых несколько

Экзаменационное выражение выглядит страшно: четыре-пять слагаемых, часть из них со знаком минус. Но работает всё тот же заём, просто несколько раз подряд.

Каждое вычитание портит запись от своего разряда вверх — до ближайшей ненулевой цифры. Выше неё запись остаётся нетронутой.

Нули уцелеют только там, куда заём не дошёл.

Порядок действий

Приводим слагаемые к степеням основания записи и выписываем, какой коэффициент на каком разряде стоит.

Дальше идём снизу вверх и смотрим, откуда каждое вычитание займёт единицу. Промежуток между местом вычитания и донором заполняется цифрами p − 1.

Свободное число в конце переводится отдельно: 1550 в семеричной — это 4343.

Считать тысячи разрядов руками бессмысленно, поэтому рядом всегда стоит программа.

Пример ниже нужен, чтобы понимать, какое число программа обязана выдать.

Пример

Значение выражения 343¹⁵¹⁵ − 6 · 49¹⁵²⁰ + 5 · 49¹⁵¹⁰ − 3 · 7¹⁵³⁰ − 1550 записали в системе счисления с основанием 7. Определите количество значащих нулей в этой записи.

Приводим: 343¹⁵¹⁵ = 7⁴⁵⁴⁵, 49¹⁵²⁰ = 7³⁰⁴⁰, 49¹⁵¹⁰ = 7³⁰²⁰.

Сверху 7⁴⁵⁴⁵ − 6 · 7³⁰⁴⁰: заём тянет шестёрки от разряда 4544 вниз, а в разряде 3040 остаётся единица.

Ниже неё пусто до разряда 3021, а в разряде 3020 стоит пятёрка от третьего слагаемого. Вот эти нули и уцелели.

Всё, что ниже пятёрки, заём от двух последних вычитаний забивает шестёрками.

Нули с 3039 по 3021 — девятнадцать штук.

Что печатает программа

4545
19

4545 цифр и девятнадцать нулей. Совпало с разбором.

Проверь себя

Ловушки

• Посчитали нули только в верхней части и забыли младшие разряды.
• Не заметили, что плюс посреди выражения возвращает ненулевую цифру и обрывает заём.
• Перевели свободное число в уме и ошиблись в младших разрядах.
• Сочли значащими только те нули, что идут подряд.