Когда основание записи — степень

Слагаемые в пятёрках, а запись в 25-ричной

В условии стоят степени пятёрки, а записать просят в системе с основанием 25. Переводить заново не нужно: 25 = 5², значит одна 25-ричная цифра — это ровно две пятеричные.

Одна цифра основания p^k — это k цифр основания p.

Как группировать

Записываем число в системе с основанием p и режем запись на группы по k цифр, считая справа. Слева при необходимости дописываем нули.

Если показатель степени делится на k, слагаемое попадает ровно в одну цифру и коэффициент остаётся собой.

Если не делится, слагаемое сдвигается внутри группы: 2 · 5¹⁵⁵ при переходе к 25-ричной даёт цифру 2 · 5 = 10.

Показатель не поделился — коэффициент вырос.

Пример

Значение арифметического выражения 3 · 625¹⁷³ + 4 · 125¹⁸⁰ + 3 · 25¹⁵⁷ + 2 · 5¹⁵⁵ + 156 записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

Приводим к пятёркам: 625¹⁷³ = 5⁶⁹², 125¹⁸⁰ = 5⁵⁴⁰, 25¹⁵⁷ = 5³¹⁴, а 156 = 5³ + 5² + 5 + 1.

Делим показатели на два. Числа 692, 540 и 314 делятся — получаем цифры 3, 4 и 3 в 25-ричных разрядах 346, 270 и 157.

Показатель 155 нечётный, поэтому 2 · 5¹⁵⁵ = 10 · 25⁷⁷, и цифра равна 10.

Хвост 1111 в пятеричной — это две пары 11, то есть две цифры 6.

Всего 347 цифр, ненулевых из них шесть. Нулей 341.


Можно считать ответ и в процессе перевода в другую систему счисления, не сохраняя цифры нового числа в список.

Что печатает программа

341

Разбор и программа сошлись.

Проверь себя

Ловушки

• Резали запись на группы слева. Группы считаются справа.
• Оставили коэффициент прежним при нечётном показателе. Он умножается на 5.
• Поделили количество цифр пополам и округлили вниз.
• Решили, что 8 — степень четвёрки. Обе сводятся к двойке, а друг к другу нет.