Статья Автор: Деникина Н.В., Деникин А.В.

ОГЭ. Вопрос 10

Задание 10. Системы счисления

Одно и то же число можно записать по-разному. В этом задании мы переводим числа из одной системы счисления в другую, вычисляем выражения, сравниваем числа и считаем цифры в их записи.

Сначала прочитай, что требуется записать в ответе: само число, количество цифр или сумму цифр. Затем проверь, в какой системе счисления должен быть ответ.

1. Что означает основание системы счисления

В записи 101₂ маленькая двойка справа внизу — основание системы счисления. Она показывает, что число записано в двоичной системе. Этот индекс не является цифрой самого числа.

Система	Основание	Допустимые цифры
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная	16	0–9, A, B, C, D, E, F

В шестнадцатеричной системе буквы обозначают отдельные цифры:

A = 10; B = 11; C = 12; D = 13; E = 14; F = 15.

Цифра и число

В записи 2B₁₆ две цифры: 2 и B.

Значение цифры B равно одиннадцати, но сама B занимает один разряд.

Запись 10 бывает разной

10₂ = 2₁₀
10₈ = 8₁₀
10₁₆ = 16₁₀

Запись 10 означает одну единицу следующего разряда. Её значение равно основанию системы.

Значение каждой цифры меньше основания. В двоичной записи нет цифры 2, в восьмеричной — цифр 8 и 9. Например, запись 128₈ недопустима.

2. Перевод в десятичную систему: веса разрядов

В привычной десятичной системе:

372 = 3 · 100 + 7 · 10 + 2 · 1.

Значение цифры зависит от её места: сотни, десятки, единицы.

В других позиционных системах работает то же правило. У крайнего правого разряда вес 1. При каждом шаге влево вес умножается на основание.

Основание	Веса разрядов справа налево
2	1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
8	1, 8, 64, 512, 4096
16	1, 16, 256, 4096, 65536

Эти веса — степени основания: p⁰, p¹, p² и так далее. Нумерация разрядов начинается с нуля справа; p⁰ = 1.

Пример: 101101₂ в десятичной системе

Подпишем под каждой цифрой её вес. Затем умножим цифру на вес и сложим результаты.

Цифра	1	0	1	1	0	1
Вес	32	16	8	4	2	1
Вклад	32	0	8	4	0	1

101101₂ = 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 45₁₀.

В двоичной системе достаточно сложить веса разрядов, в которых стоят единицы:

32 + 8 + 4 + 1 = 45.

Нулевые разряды сохраняют свои места, но ничего не добавляют к сумме.

Восьмеричная запись

157₈ = 1 · 8² + 5 · 8¹ + 7 · 8⁰

= 1 · 64 + 5 · 8 + 7 · 1
= 64 + 40 + 7
= 111₁₀.

Шестнадцатеричная запись

2B₁₆ = 2 · 16¹ + 11 · 16⁰

= 2 · 16 + 11 · 1
= 32 + 11
= 43₁₀.

Сначала заменяем B её значением 11.

3. Ещё один способ: читаем число слева направо

Этот способ пригодится для проверки. Возьми значение первой цифры. Затем для каждой следующей цифры умножай накопленный результат на основание и прибавляй новую цифру.

Снова переводим 101101₂

Первая цифра 1: результат 1.
Читаем 0: 1 · 2 + 0 = 2.
Читаем 1: 2 · 2 + 1 = 5.
Читаем 1: 5 · 2 + 1 = 11.
Читаем 0: 11 · 2 + 0 = 22.
Читаем 1: 22 · 2 + 1 = 45.

Получилось то же число: 45. Все промежуточные результаты здесь записаны в десятичной системе.

Почему так можно? Когда справа дописывается цифра, прежние цифры сдвигаются на один разряд влево. Их общий вклад умножается на основание, а новая цифра добавляется как число единиц.

Например, для 157₈: сначала 1, затем 1 · 8 + 5 = 13, затем 13 · 8 + 7 = 111.

4. Как вычислять выражение с разными основаниями

Удобный порядок: переведи каждое число в десятичную систему, подставь результаты в выражение и выполни действия в обычном порядке.

Разбор выражения

(ФИПИ, материалы для подготовки к ОГЭ-2026, линия 10.) Найдём десятичное значение выражения:

(A0₁₆ − 12₈) : 10₂.

Число	Перевод	Результат
A0₁₆	10 · 16 + 0	160
12₈	1 · 8 + 2	10
10₂	1 · 2 + 0	2

Теперь вычисляем:

(160 − 10) : 2 = 150 : 2 = 75.

Ответ: 75. Если условие просит только десятичное число, основание в ответе не указываем.

Обрати внимание: 10₂ — это два, поэтому в последнем действии делим на 2. Индексы основания нельзя воспринимать как часть числа или как множители.

5. Как сравнивать числа из разных систем

Сначала приведи числа к одной системе. Для начала удобнее переводить всё в десятичную: после этого сравнение становится обычным.

Наибольшее и наименьшее число

(ФИПИ, материалы для подготовки к ОГЭ-2026, линия 10.) Сравним F0₁₆, 77₈ и 11111110₂.

Исходная запись	В десятичной системе
F0₁₆	15 · 16 + 0 = 240
77₈	7 · 8 + 7 = 63
11111110₂	128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 254

63 < 240 < 254.

Если требуется максимум, ответ 254. Если минимум — 63.

Количество цифр можно напрямую сравнивать только у положительных целых чисел в одной системе и без ведущих нулей.

Например, 100₂ = 4₁₀, а 77₈ = 63₁₀: более длинная запись здесь обозначает меньшее число.

6. Перевод из десятичной системы

Способ 1. Для двоичной системы — собираем число из весов

Переведём 45₁₀ в двоичную систему.

Берём наибольшую степень двойки, не превосходящую 45: это 32. Дальше проверяем все меньшие веса по порядку.

Вес	Что делаем с остатком	Цифра
32	45 − 32 = 13	1
16	13 меньше 16; оставляем 13	0
8	13 − 8 = 5	1
4	5 − 4 = 1	1
2	1 меньше 2; оставляем 1	0
1	1 − 1 = 0	1

Читаем цифры по порядку строк:

45₁₀ = 101101₂.

Даже если остаток уже стал нулём, для всех оставшихся младших разрядов нужно записать нули. Например, 40 = 32 + 8, поэтому 40₁₀ = 101000₂.

Способ 2. Для любого основания — деление с остатком

Переведём 111₁₀ в восьмеричную систему.

Делим на 8, затем снова делим полученное целое частное. Продолжаем, пока частное не станет нулём.

Деление	Целое частное	Остаток
111 : 8	13	7
13 : 8	1	5
1 : 8	0	1

Остатки получаются от младшего разряда к старшему:

7 — единицы;
5 — восьмёрки;
1 — шестьдесятчетвёрки.

Поэтому в записи числа располагаем остатки в обратном порядке: 1, 5, 7.

111₁₀ = 157₈.

Проверка: 1 · 64 + 5 · 8 + 7 = 111.

Для двоичной системы делим на 2, для шестнадцатеричной — на 16. Остатки 10–15 заменяем буквами A–F.

Например, 43 : 16 = 2, остаток 11 (B); затем 2 : 16 = 0, остаток 2. Получаем 43₁₀ = 2B₁₆.

7. Быстрый перевод между системами 2, 8 и 16

Основания связаны: 8 = 2³, а 16 = 2⁴.

Поэтому одной восьмеричной цифре соответствуют три двоичные цифры, а одной шестнадцатеричной — четыре. Такие группы называют триадами и тетрадами.

Из двоичной в восьмеричную

Возьмём 101101₂. Разбиваем целую двоичную запись на группы по три цифры справа налево:

101 | 101

Каждую группу переводим отдельно:

101₂ = 4 + 1 = 5.

101101₂ = 55₈.

Из двоичной в шестнадцатеричную

Разбиваем то же число на группы по четыре цифры справа налево. Неполную левую группу дополняем нулями слева:

0010 | 1101

0010₂ = 2;
1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13 = D.

101101₂ = 2D₁₆.

Черта между группами нужна только для удобства чтения. В ответе её не пишут.

Из восьмеричной в двоичную

Каждую цифру заменяем ровно тремя двоичными цифрами:

1 → 001;
5 → 101;
7 → 111.

157₈ = 001 | 101 | 111₂.

Убираем ведущие нули всей записи:

157₈ = 1101111₂.

Из шестнадцатеричной в двоичную

Каждую цифру заменяем ровно четырьмя двоичными цифрами:

2 → 0010;
B → 1011.

2B₁₆ = 0010 | 1011₂.

Убираем ведущие нули всей записи:

2B₁₆ = 101011₂.

Убирать можно только ведущие нули всей записи. Внутри числа нули сохраняются.

Например, 41₈ = 100 | 001₂ = 100001₂. Если заменить последнюю группу просто на 1, получится другое число.

Для проверки: 55₈ = 5 · 8 + 5 = 45, а 2D₁₆ = 2 · 16 + 13 = 45. Оба результата совпали с исходным 101101₂.

8. Считаем цифры и сумму цифр

Значение числа и свойства его записи

Мы уже получили: 45₁₀ = 101101₂. Теперь ответы зависят от вопроса:

Что спрашивают	Ответ
Значение числа в десятичной системе	45
Сколько цифр в двоичной записи	6
Сколько единиц в двоичной записи	4
Сколько нулей в двоичной записи	2
Сумма цифр двоичной записи	1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4

В двоичной системе сумма цифр равна количеству единиц. Для других оснований такое совпадение не является общим правилом.

Сумма цифр восьмеричной записи

111₁₀ = 157₈.

Сумма цифр: 1 + 5 + 7 = 13₁₀.

Если требуется записать эту сумму в восьмеричной системе, переводим ещё раз:

13₁₀ = 15₈.

Десятичный ответ — 13, восьмеричная запись суммы — 15. Выбор определяет условие.

Количество двоичных цифр без полного перевода

Для положительного целого числа N: если

2^k−1 ≤ N < 2^k,

в его двоичной записи k цифр.

Например, 32 ≤ 45 < 64, то есть 2⁵ ≤ 45 < 2⁶. Значит, цифр 6.

Для нуля запись отдельная: 0. В ней одна цифра.

Если длина записи специально не задана, ведущие нули не дописываем.

У 101101₂ шесть цифр и два нуля. В записи 00101101 цифр уже восемь и нулей четыре, хотя значение числа осталось тем же.

9. Полезные закономерности двоичной записи

Число	Двоичная запись	Что заметить
63 = 2⁶ − 1	111111	Шесть единиц
64 = 2⁶	1000000	Одна единица и шесть нулей
65 = 2⁶ + 1	1000001	Две единицы

2^k записывается как единица и k нулей. У числа 2^k − 1 при k ≥ 1 запись состоит из k единиц.

Например, 255 = 256 − 1 = 2⁸ − 1. Поэтому 255₁₀ = 11111111₂, и единиц в записи 8.

10. Частые ошибки и проверка решения

Ошибка	Как проверить себя
Начать веса с 2, 8 или 16	Самый правый вес всегда 1 — нулевая степень основания.
Пропустить разряд с нулём	Сохрани место каждой цифры: 1001₂ = 8 + 1 = 9.
Принять A за 1 или B за 2	A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
Прочитать остатки в порядке получения	Первый остаток — цифра единиц, в записи она стоит справа.
Разбить двоичную запись на группы от левого края	Для целых чисел группы отсчитывают от правого края.
Сравнить длины записей с разными основаниями	Сначала приведи числа к одной системе.
Записать число вместо количества единиц	Вернись к вопросу задания и проверь требуемую величину.

Проверка перевода: переведи полученный результат обратно или используй второй способ.

Проверка ответа: подчеркни, какую величину и в какой системе просили записать.

11. Попробуй самостоятельно

Сначала реши задачу, затем открой ответ. Если система ответа отдельно не указана, здесь записывай результат в десятичной системе.

1. Из двоичной в десятичную

Переведи 111011₂ в десятичную систему.

Ответ и решение

111011₂ = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 59.

2. Шестнадцатеричная цифра

Переведи 3A₁₆ в десятичную систему.

Ответ и решение

A = 10. Поэтому 3A₁₆ = 3 · 16 + 10 = 58.

3. Выражение

Вычисли:

101011₂ + 72₈ + 2A₁₆.

Ответ и решение

101011₂ = 43;
72₈ = 7 · 8 + 2 = 58;
2A₁₆ = 2 · 16 + 10 = 42.

43 + 58 + 42 = 143.

4. Сравнение

Найди наибольшее число: B4₁₆, 265₈, 10110011₂. Запиши его десятичное значение.

Ответ и решение

B4₁₆ = 11 · 16 + 4 = 180.

265₈ = 2 · 64 + 6 · 8 + 5 = 181.

10110011₂ = 128 + 32 + 16 + 2 + 1 = 179.

Ответ: 181.

5. Количество единиц

Сколько единиц в двоичной записи числа 100₁₀?

Ответ и решение

100 = 64 + 32 + 4, поэтому 100₁₀ = 1100100₂.

Единиц 3.

6. Сумма цифр

Найди сумму цифр восьмеричной записи числа 150₁₀. Саму сумму запиши в восьмеричной системе.

Ответ и решение

150₁₀ = 226₈, поскольку 2 · 64 + 2 · 8 + 6 = 150.

Сумма цифр: 2 + 2 + 6 = 10₁₀ = 12₈.

Ответ: 12.

7. Перевод по группам

Запиши 10111001₂ в шестнадцатеричной системе.

Ответ и решение

Разбиваем: 1011 | 1001.

Первая группа равна 11, то есть B; вторая — 9.

Ответ: B9.

8. Переход через степень двойки

Сколько двоичных цифр у числа 64₁₀? Сколько среди них единиц?

Ответ и решение

64 = 2⁶ = 1000000₂.

Всего цифр 7, а единица одна.

Материалы ФИПИ для подготовки к ОГЭ-2026: в разделах 4 и 5 использованы числовые данные тренировочных заданий линии 10; формулировки сокращены. Остальные примеры и задания составлены для этого разбора.

Печать