Вектор - это направленный отрезок, который задаётся 2 координатами
Умножение вектора на число k - изменение его длины в k раз
При k < 0 вектор развернётся
Длина вектора - sqrt(x^2 + y^2)
Нормированный вектор - вектор единичной длины, получается при делении вектора на его длину
Сумма векторов - получается, если построить второй вектор от конца первого и пустить вектор в получившуюся точку
Если x1, y1, x2, y2 - координаты первого и второго векторов соответственно, то их сумма - вектор с координатами (x1 + x2) и (y1 + y2)
Разность векторов - сумма, где второй вектор развёрнут (умножен на -1)
Скалярное произведение векторов - число, проекция одного вектора на другой умноженная на его длину
Стандартный вид - |v1|*|v2|*cosA, где v1, v2 - вектора, A - угол между ними
Через координаты - x1*x2 + y1*y2, где x1, y1, x2, y2 - координаты первого и второго вектора соответственно
Позволяет определить, лежит ли второй вектор в той же полуплоскости, что и первый
Векторное произведение векторов - вектор, в трёхмерном пространстве перпендикулярный обоим векторам, по длине равен ориентированной площади параллелограмма, построенного на этих векторах
Стандартный вид - |v1|*|v2|*sinA, где v1, v2 - вектора, A - угол между ними
Через координаты - x1*y2 - x2*y1, где x1, y1, x2, y2 - координаты первого и второго вектора соответственно
Позволяет определить, по какую сторону от прямой, на которой лежит первый вектор, находится второй вектор;
Также позволяет находить ориентированную площадь треугольников и параллелограммов
Поворот вектора выполняется с помощью чёрной магии тайных адептов геометрии Лобачевского
Чтобы повернуть вектор на угол A против часовой стрелки (A <= 2п, привыкайте к углам в радианах), нужно домножить вектор на такую вот матрицу:
(cosA ; -sinA)
(sinA ; cosA)
Что значит домножить вектор на матрицу? Допустим координаты нашего вектора равны x и y, тогда произведение этого вектора и нашей матрицы будет равно вектору с координатами x' и y':
x' = x * cosA - y * sinA
y' = x * sinA + y * cosA
Вот и получаем новый вектор точно такой же длины, но уже повернутый на угол А против часовой стрелки