Позиционные системы счисления
Любое число, записанное в позиционной системе счисления
p можно представить в развернутой форме. Развернутая форма записи числа – это
запись в виде разрядных слагаемых, записанных с помощью степени соответствующего разряда и основания степени (основание счета).
\(A_p = \overline{a_4a_3a_2a_1a_0 }= a_4 \cdot p^4 + a_3 \cdot p^3 + a_2 \cdot p^2 + a_1 \cdot p^1 + a_0 \cdot p^0\)
\(p^0 = 1\)
Как вычислить цифры числа в десятичной системе счисления
\(a_0 = A\ mod\ 10\), где
mod - операция вычисления остатка от деления A на 10.
\(\overline{a_1a_0} = A\ mod\ 100\)
и т. д.
(в других системах счисления будем делить на основание системы счисления в соответствующей степени - знание этого пригодится в программном решении)
Свойства
| |
Для десятичной системы счисления (p = 10) |
Для двоичной системы счисления (p = 2) |
| 1 |
\(10 ^ N = 1\underbrace{0...0}_{N}\) |
\(2 ^ N = 1\underbrace{{0...0}_2}_{N}\) |
| 2 |
\(10 ^ N-1 = \underbrace{9...9}_{N}\) |
\(2 ^ N-1 = \underbrace{{1...1}_2}_{N}\) |
| 3 |
\(10 ^ N-10 ^ K = 10^K \cdot (10^{N-K}-1) = \underbrace{9...9}_{N-K}\underbrace{0...0}_{K} \) |
\(2 ^ N-2 ^ K = 2^K \cdot (2^{N-K}-1) = \underbrace{1...1}_{N-K}\underbrace{0...0}_{K} \)(\(K<N\)) |
| 4 |
|
\(2 ^ N+2 ^ N = 2^{N+1}\),
следовательно
\(2 ^ N= 2^{N+1}-2^N\)
\(-2 ^ N= -2^{N+1}+2^N\) |
В общем виде
| |
Для системы счисления с основанием p |
| 1 |
\(p ^ N = 1\underbrace{{0...0}_p}_{N}\) |
| 2 |
\(p ^ N-1 = \underbrace{{(p-1)...(p-1)}_2}_{N}\) |
| 3 |
\(p ^ N-p ^ K = p^K \cdot (p^{N-K}-1) = \underbrace{(p-1)...(p-1)}_{N-K}\underbrace{0...0}_{K} \) |
| 4 |
|
Алгоритм аналитического решения
- Представить все числа в выражении в виде степеней указанной системы счисления.
- Перегруппировать слагаемые в выражении таким образом, чтобы степени шли в порядке убывания.
- Для двоичной системы счисления, пользуясь свойством 4, переписать выражение таким образом, чтобы знак "
-" чередовался со знаком "+".
- Пользуясь свойствами 1, 2, 3, найти ответ.