Модуль: ЕГЭ. Позиционные системы счисления


Задача

1/11

Сколько таких цифр? Аналитическое решение

Теория

Позиционные системы счисления

Любое число, записанное в позиционной системе счисления p можно представить в развернутой форме. Развернутая форма записи числа – это запись в виде разрядных слагаемых, записанных с помощью степени соответствующего разряда и основания степени (основание счета).
\(A_p = \overline{a_4a_3a_2a_1a_0 }= a_4 \cdot p^4 + a_3 \cdot p^3 + a_2 \cdot p^2 + a_1 \cdot p^1 + a_0 \cdot p^0\)
\(p^0 = 1\)
 
Как вычислить цифры числа
\(a_0 = A\ mod\ 10\), где mod - операция вычисления остатка от деления A на 10. 
\(\overline{a_1a_0} = A\ mod\ 100\)
и т. д.
 
Свойства
  Для десятичной системы счисления (p = 10) Для двоичной системы счисления (p = 2)
1 \(10 ^ N = 1\underbrace{0...0}_{N}\) \(2 ^ N = 1\underbrace{{0...0}_2}_{N}\)
2 \(10 ^ N-1 = \underbrace{9...9}_{N}\) \(2 ^ N-1 = \underbrace{{1...1}_2}_{N}\)
3 \(10 ^ N-10 ^ K = 10^K \cdot (10^{N-K}-1) = \underbrace{9...9}_{N-K}\underbrace{0...0}_{K} \) \(2 ^ N-2 ^ K = 2^K \cdot (2^{N-K}-1) = \underbrace{1...1}_{N-K}\underbrace{0...0}_{K} \)(\(K<N\))
4   \(2 ^ N+2 ^ N = 2^{N+1}\),
следовательно
\(2 ^ N= 2^{N+1}-2^N\)
\(-2 ^ N= -2^{N+1}+2^N\)
 
В общем виде
  Для системы счисления с основанием p
1 \(p ^ N = 1\underbrace{{0...0}_p}_{N}\)
2 \(p ^ N-1 = \underbrace{{(p-1)...(p-1)}_2}_{N}\)
3 \(p ^ N-p ^ K = p^K \cdot (p^{N-K}-1) = \underbrace{(p-1)...(p-1)}_{N-K}\underbrace{0...0}_{K} \)
4  

Алгоритм аналитического решения
  1. Представить все числа в выражении в виде степеней указанной системы счисления.
  2. Перегруппировать слагаемые в выражении таким образом, чтобы степени шли в порядке убывания.
  3. Для двоичной системы счисления, пользуясь свойством 4, переписать выражение таким образом, чтобы знак "-" чередовался со знаком "+". 
  4. Пользуясь свойствами 1, 2, 3, найти ответ.

Задача

Определите количество цифр в двоичной записи числа
\(8^{502}-4^{211}+2^{1536}-19\).

Выберите правильный ответ, либо введите его в поле ввода

Комментарий учителя