Графы. Начало

Графы. Основные понятия

Графы широко применяются для моделирования и анализа различных ситуаций и взаимосвязей. Использование графов позволяет упростить решение многих задач и повысить эффективность работы в различных областях, таких как: транспортная система, социальные связи, компьютерные сети, биоинформатика, геоинформационные системы, управление проектами и др.
 

Основные характеристики графов

Граф может быть неориентированным, что означает отсутствие различия между двумя вершинами, связанными с каждым ребром; или его ребра могут быть направлены от одной вершины к другой - в таком случае мы будем говорить об ориентированном графе.

Неориентированный граф	Ориентированный граф

 

Взвешенный граф

Еще несколько определений
 

В различных задачах кратные ребра и петли могут не играть существенной роли, поэтому во многих случаях рассматриваются простые графы, которые лишены петель и кратных ребер. Простые графы обладают изящной и простой структурой, что делает их особенно привлекательными для анализа и решения задач.

Структура данных граф (V,E) состоит из:

1. Коллекции вершин (V - vertex) или узлов (nodes).
2. Коллекции ребер (E - edges) или путей.

Как описать структуру данных граф?

Наиболее часто используют следующие два способа представления (описания) графа:

1. Матрица смежности - это квадратная матрица, где строки и столбцы соответствуют вершинам графа. Значение в ячейке (i, j) равно 1, если между вершинами i и j существует ребро, и 0, если ребра нет. Для простого графа без петель и кратных ребер матрица смежности будет симметричной относительно главной диагонали. Этот подход обеспечивает компактное представление графа в виде матрицы и позволяет быстро определить наличие ребра между двумя вершинами.

Матрицы смежности для неориентированного графа	Матрицы смежности для ориентированного графа

2. Список смежности (список вершин). Представление графа в виде списка смежности основано на перечислении каждой вершины графа и указании соседних вершин, с которыми она связана. Для каждой вершины создается список ее соседей. Этот подход позволяет более эффективно использовать память, особенно для разреженных графов, так как он не требует выделения памяти для всей матрицы смежности. Кроме того, список вершин обеспечивает легкость добавления и удаления ребер в графе.

Список вершин для неориентированного графа		Список вершин для ориентированного графа
	1: {2, 3, 4} 2: {1, 3, 5} 3: {1, 2, 4} 4: {1, 3} 5: {2}		1: {2, 4} 2: {3} 3: {1} 4: {3} 5: {2}

Оба этих способа представления графа имеют свои преимущества и могут быть выбраны в зависимости от конкретной задачи и требований. Матрица смежности удобна для быстрого доступа к информации о связях между вершинами, а список вершин позволяет более гибко управлять структурой графа.

3. Список ребер. Список ребер позволяет легко и быстро получить информацию о каждом ребре и его свойствах, таких как вес или направление в ориентированном графе. Это может быть полезно, например, при решении задач на поиск кратчайшего пути в графе или при обнаружении циклов.
В неориентированном графе каждое ребро указывается только один раз, например, если есть ребро (1, 2), то нет необходимости добавлять и ребро (2, 1) в список ребер. 
В ориентированных графах порядок чисел в паре, представляющей ребро, определяет направление ребра. Первое число указывает на начальную вершину, откуда ребро исходит, а второе число указывает на конечную вершину, куда ребро направлено.

Список ребер для неориентированного графа		Список ребер для ориентированного графа
	[  (1, 2),  (1, 3),  (1, 4),  (2, 3),  (2, 5),  (3, 4) ]		[  (1, 2),  (1, 4),  (2, 3),  (3, 1),  (4, 3),  (5, 2) ]

Если граф имеет большое количество вершин и ребер, то список ребер может занимать много памяти и стать неэффективным для поиска конкретной вершины или ее смежных вершин.

Взвешенный граф

 

Во взвешенном графе, помимо самих ребер и их направления, каждое ребро обладает также весом или стоимостью. Существует несколько способов хранения списка вершин во взвешенном графе:

1. Матрица смежности. В этом способе граф представляется в виде двумерной матрицы, где строки и столбцы соответствуют вершинам графа, а элементы матрицы содержат информацию о весе ребер между вершинами. Если между вершинами нет ребра, то соответствующий элемент матрицы будет иметь значение "бесконечность" или другое специальное значение.

2. Список смежности. В этом способе каждая вершина представляется в виде списка, содержащего пары (или кортежи) вершин, с которыми она имеет ребра, и их соответствующие веса. Например, для вершины A список смежности может выглядеть как [(B, 5), (C, 3)], что означает наличие ребра с весом 5 к вершине B и ребра с весом 3 к вершине C.

3. Список ребер: В этом способе граф представляется в виде списка всех его ребер, где каждое ребро содержит информацию о вершинах, которые оно соединяет, и его весе. Например, [(A, B, 5), (A, C, 3)].

Выбор способа хранения зависит от конкретных требований и задачи, с которой вы работаете. Некоторые способы могут быть более эффективными для определенных операций, таких как поиск кратчайшего пути или обход графа.

Взвешенный граф
 

Во взвешенном графе, помимо самих ребер и их направления, каждое ребро обладает также весом или стоимостью. Существует несколько способов хранения списка вершин во взвешенном графе:

1. Матрица смежности. В этом способе граф представляется в виде двумерной матрицы, где строки и столбцы соответствуют вершинам графа, а элементы матрицы содержат информацию о весе ребер между вершинами. Если между вершинами нет ребра, то соответствующий элемент матрицы будет иметь значение "бесконечность" или другое специальное значение.

2. Список смежности. В этом способе каждая вершина представляется в виде списка, содержащего пары (или кортежи) вершин, с которыми она имеет ребра, и их соответствующие веса. Например, для вершины A список смежности может выглядеть как [(B, 5), (C, 3)], что означает наличие ребра с весом 5 к вершине B и ребра с весом 3 к вершине C.

3. Список ребер: В этом способе граф представляется в виде списка всех его ребер, где каждое ребро содержит информацию о вершинах, которые оно соединяет, и его весе. Например, [(A, B, 5), (A, C, 3)].

Выбор способа хранения зависит от конкретных требований и задачи, с которой вы работаете. Некоторые способы могут быть более эффективными для определенных операций, таких как поиск кратчайшего пути или обход графа.

Пример хранения взвешенного графа в виде списка смежности на языке Python с использованием словаря, где ключ - это номер вершины, а значение - список кортежей (первый элемент кортежа представляет собой смежную вершину, второй элемент - вес ребра)

graph = { 'A': [('B', 3),  ('C', 2)], 'B': [('C', 1)], 'C': [('D', 5)], 'D': [] }

В данном примере:

• Вершина 'A' имеет два смежных ребра: одно соединяет ее с вершиной 'B' с весом 3, а другое - с вершиной 'C' с весом 2.
• Вершина 'B' имеет одно смежное ребро, которое соединяет ее с вершиной 'C' с весом 1.
• Вершина 'C' имеет одно смежное ребро, которое соединяет ее с вершиной 'D' с весом 5.
• Вершина 'D' не имеет смежных ребер.

Попробуйте нарисовать на бумаге данный граф. 
 

Степени вершин

 

Рассмотрим следующий граф, изображенный на рисунке слева. 
Если мы посмотрим на вершину a, то у нее есть три ребра (одно соединяет a с b, другое - с c, третье - с d ). Значит, степень вершины a равна 3.

Теперь давайте проверим степени остальных вершин. У вершины b есть два ребра, поэтому степень вершины b равна 2. А у вершины c есть также как и у a три ребра, значит, степень вершины с равна 3, степень вершины d равна трем.

Мы можем также посчитать сумму степеней всех вершин в графе. В данном случае, сумма степеней равна
3 + 2 + 3 + 2 = 10.

И вот интересный факт: сумма степеней всех вершин всегда равна двойному количеству ребер в графе! В нашем примере у нас 5 ребер, и сумма степеней вершин действительно равна 10. 

Также есть еще одна забавная штука, которую называют "леммой о рукопожатиях". Если представить, что каждое ребро - это рукопожатие между двумя людьми, то в любой компании количество людей, сделавших нечетное число рукопожатий, всегда будет четным. В нашем графе таких вершин две (a и с).