Статья Автор: Лебедев Дмитрий

Решаем задание КЕГЭ типа 14 на системы счисления. Модель А

Рассмотрим пример (демоверсия 2025 года)
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19.
98897x2119 + 2x92319
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления.
Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18.
Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно

Формулировка задания в КЕГЭ опирается на свойства записи чисел в позиционных системах счисления и наличие различных признаков делимости.
Например, в 10-й системе счисления есть признаки делимости (вернее нахождения остатка от деления):
  • по "последней цифре" - на 2 и 5
  • по "суммам цифр разрядов" на 9 и 3, на 11
Это общее свойство позиционных систем счисления, аналогичные признаки есть  для записи чисел в системах счисления с другими основаниями.
Так с 19-ричной системе счисления есть признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 18, 20
Здесь "признаки делимости"  разбираться не будут, а будет дан "программный" способ решения.
При решении задания будем опираться на следующее фундаментальное свойство позиционных систем счисления, которое опишем с помощью примера:
\(987x54321_p  = 987054321_p + x00000_p = 987054321_p + x\cdot 100000_p\)

В примере имеем 
\(98897x21_{19} + 2x923_{19} = 98897021_{19} + x\cdot100_{19} + 20923_{19}+x\cdot 1000_{19} = = 98897021_{19} + 20923_{19}+x\cdot 1100_{19} \)
Заметим, что это выражение вида \(A+x\cdot B\) , где A, B не зависят от x. Решение представляет простую программу
 
 


Такой подход "избавляет" от проблем, связанных с ограничениями на функцию int (максимальное основание 36).
Например для задания 
В выражении 123x37 + 4x5937        x обозначает некоторую цифру из алфавита системы счисления c основанием 37.
Определите наименьшее значение x, при котором значение данного выражения кратно 36.
Для найденного x вычислите частное от деления данного выражения на 36 и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.
Решение могло быть следующим
Пропустить Навигационные Ссылки.
Чтобы оставить комментарий нужна авторизация
Печать