Статья Автор: Лебедев Дмитрий

Решаем задание КЕГЭ типа 14 на системы счисления. Модель В

Рассмотрим пример (демоверсия 2025 года)
Значение арифметического выражения 7170+7100−x ,
где x – целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 7-ричной системе счисления.
Определите наибольшее значение x, при котором в 7-ричной записи числа, 
являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 71 нуль.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления

Заметим, что выражение в примере можно разбить на два положительных слагаемых (p=7) :
p170 + (p100 - x)  или (если перейти в p-ичную систему счисления) \(10^{170}_p + (10^{100}_p - x_p)\)
если учесть, что x - "небольшое" (по сравнению с p100) натуральное число , то второе слагаемое в p-ичной СС (системе счисления) имеет 100-знаков 
Преобразуем второе слагаемое \(10^{100} - x = (10^{100} - 1) -(x-1)\) (запись верна в любой СС). Число 10k - 1 - это число, состоящее из k "старших" цифр (в примере \(10^{100}_7 - 1 \ имеет\ запись\ "6"\cdot100\) (сто цифр 6)
Это означает, что к 70 нулям (170 - 100) будет добавлено столько, сколько цифр 6 в 7-ичной записи (x - 1).
Значит надо найти максимальное (x - 1) с одной цифрой 6 в 7-ичной записи.
Максимальное значение для x - 1 = 202910 =  56267  => искомое значение 56257 = 202810 =>  x = 2028 + 1 = 2029 
PS.  Если бы требовалось, чтобы нулей было бы 73, то надо было положить x-1 =46667 => x = 46667 + 1 = 50007 = 5*73 = 171510
 

"Программное" решение.
Используем поиски "свершу вниз" до первого успеха
(Блок перевода не будем выделять в подпрограмму)
 
 


Решение "простое", требует только внимательности. Следовательно "программный" способ предпочтительней
Пропустить Навигационные Ссылки.
Чтобы оставить комментарий нужна авторизация
Печать