Множества удобно изображать графически, в виде диаграмм. Их называют диаграммами Эйлера–Венна в честь авторов этой идеи — математика Леонарда Эйлера и логика Джона Венна. На такой диаграмме каждому множеству соответствует какая-то область (круг, прямоугольник и др.). Все элементы внутри этой области принадлежат множеству, все элементы вне области — не принадлежат.
Вы уже знаете, что множество можно задать условием (логическим выражением), которое выполняется для всех элементов множества и не выполняется для всех элементов, не входящих в него. Дальше для сокращения записи мы будем вместо слов «множество, для которого выполняется условие A» писать просто «множество A». Тогда множество «НЕ A» на диаграмме — это все точки за границами круга.
Такое множество называется дополнением множества A до универсального множества U, включающего все элементы некоторого класса. Например, если мы рассматриваем только целые числа и A — это множество чётных целых чисел, то A — множество нечётных целых чисел.
Можно считать, что дополнение A — это «разность» между универсальным множеством U и множеством A, т. е. все элементы
из U, которые не входят в A.
На диаграмме можно изображать несколько множеств, каждому из них соответствует своя область (круг). Круги на диаграмме могут пересекаться. Элементы, расположенные в общей части кругов A и B, — это пересечение множеств A и B. Для этих элементов выполняется как условие A, так и условие B, т. е. выполняется условие A и B ( A · B).
Если круги не пересекаются (множества не содержат общих элементов), их пересечение — это пустое множество ∅.
Элементы, входящие хотя бы в одно из множеств: в A или в B, образуют новое множество, которое называется объединением множеств A и B. Для всех элементов этого множества выполняется условие A или B ( A + B).
Подобные диаграммы можно нарисовать для любого логического выражения, ведь каждое из них определяет некоторое множество. Например, возьмём выражение не A + B. Оно равно 0 только при A = 1 и B = 0, поэтому на диаграмме незакрашенной останется только область, которая входит в круг A и не входит в круг B.
Диаграмма для трёх переменных содержит три круга, каждый из которых (в общем случае) пересекается с двумя другими.
Для удобства на рисунке области пронумерованы. Запишем, для примера, логическое выражение для области 3. Эта область
находится внутри кругов A и B (следовательно, выражения A и B истинны), но вне круга С, поэтому выражение C ложно. Получается условие A и B и ( не C).
Для того чтобы найти выражение для объединения двух или нескольких областей, надо сложить (используя логическое сложение — операцию ИЛИ) выражения для всех составляющих. Например, выражение для объединения областей 3 и 4 имеет вид:
Вместе с тем точки в этих областях отличаются от других тем, что они входят в область B и не входят в область C. Поэтому
справедлива более простая формула:
Это означает, что логические выражения в некоторых случаях можно упростить.
