О представлении числа в виде суммы квадратов

Рассмотрим таблицу

x % 4	x2 % 4
0	0
1	1
2	0
3	1

  Значит x2 + y2 по модулю 4 могут иметь остатки 0 (0+0); 1 (0 +1) и 2(1+1)
  Таким образом, если число имеет вид 4k + 3, то оно не может быть "двуквадратным"
   Если число имеет вид 4k, то  оно может быть предствалено только в виде чётных квадратов, то есть 
   оно "двуквадратное" <=> тогда число k двуквадратное
   Если число имеет вид 4k+2, то оно состваное и может быть представлено в виде нечетный квадратов
   Если число имеет вид 4k +1, то здесь можно выделить класс простых чисел, для которых есть утверждение, названнове "Рождественской теоремой Ферма" 
"Рождественская теорема Ферма" утверждает, что любое простое число, представимое в виде 4k+1 является "двуквадратным". Существует даже формула для разложения (вряд ли мы сможет её использовать ). 
Не сложно убедиться, что для составных чисел представление в виде 4k + 1 не гарантирует "двуквадратности". Самым легким примером будет число 21.
А как быть с составными числами?

"Гораций, много в мире есть того,
Что вашей философии не снилось."
Воспользуемся тождеством Брахмагупты — Фибоначчи (или Диофанта) 

\((a^2+b^2)\cdot(c^2 + d^2) = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2\)
(желающие могут увидеть в этом тождестве магию векторных произведений / скалярного и косого)
Чтобы понять/запомнить как получаются такие тождества посмотрим на цепочку преобразований
\( 1=1\\ 1\cdot1 = 1 (sin^2\alpha + cos^2\alpha)\cdot(sin^2\beta + cos^2\beta) = (sin^2(\alpha-\beta) + cos^2(\alpha-\beta))\\ (sin^2\alpha + cos^2\alpha)\cdot(sin^2\beta + cos^2\beta) = (sin\alpha\cdot cos\beta-cos\alpha\cdot sin\beta)^2 + (cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha\cdot sin\beta)^2 \)
 

Теперь становиться понятным утверждение теоремы Ферма-Эйлера

ОООк
Теперь можно и приступить к предствавлению числа в виде суммы квадратов двух целых чисел.