Как проверить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой?
Рассмотрим на примере тройки векторов \(u=(1,2,-1), v=(1,-2,3), w=(3,0,3). \)
Попробуем найти нетривиальную линейную комбинацию, равную \(\overrightarrow{0}\):
\(\lambda\cdot u+\mu\cdot v+ \tau\cdot w=\overrightarrow{0}.\)
Подставив координаты векторов и приравняв первую, вторую и третью координаты, получим систему уравнений:
\(\begin{cases} {\lambda + \mu+3\tau=0, \\ 2\lambda - 2\mu=0\\-\lambda+3\mu+3\tau=0}\end{cases}\)
Если эта система имеет только нулевое решение (то есть только решение \(\lambda=\mu=\tau=0\)),
то нетривиальной линейной комбинации нет, векторы линейно независимы.
Если же ненулевое решение есть (то есть решение, в котором \(\lambda,\ \mu\ или\ \tau\) отлично от нуля),
то нетривиальная линейная комбинация найдётся.
В рассматриваемом примере векторы линейно зависимы. Введите коэффициенты нетривиальной линейной комбинации, которая равна нулевому вектору:
\(3\cdot u+\mu\cdot v+ \tau\cdot w=\overrightarrow{0}.\)
В ответ запишите значения \( \mu\ и\ \tau\) (два числа в одну строку через пробел)