7.8.2 Использование вложенных циклов при решении уравнений

Вложенные циклы можно использовать для решения уравнений с несколькими переменными. Зная, что решения (корни) уравнения являются натуральными (целыми) числами, несложно написать программу, содержащую вложенный цикл и перебирающую все возможные значения переменных.

Решение задач

Задача 1. Найдите все пары натуральных чисел (и их количество), являющихся решением уравнения $12x+13y=777$.

Решение. Поскольку по условию числа $x$ и $y$ являются натуральными, то $x\le 64,y\le 59$ (при $x=65$, $12\cdot 65=780$, что больше, чем $777$, поэтому $x\le 64$, т.к. $y$ не может быть отрицательным по условию; аналогично получается, что $y\le 59$). Напишем программу, которая перебирает всевозможные пары чисел $(x;\hspace{0.17em}y)$ и проверяет для них выполнение условия $12x+13y=777$.

total = 0
for x in range(1, 65):
    for y in range(1, 60):
        if 12 * x + 13 * y == 777:
            total += 1
            print('x =', x, 'y =', y)
print('Общее количество натуральных решений =', total)

В результате выполнения такого кода, мы получим:

x = 3 y = 57
x = 16 y = 45
x = 29 y = 33
x = 42 y = 21
x = 55 y = 9
Общее количество натуральных решений = 5

Задача 2. Найдите все тройки натуральных чисел (и их количество), являющихся решением уравнения $x^2+y^2+z^2=2020$.

Решение.  Поскольку по условию числа $x,\hspace{0.17em}y$ и $z$ являются натуральными, то $x,y,z<\sqrt{2020}\approx 45$. Напишем программу, которая перебирает всевозможные тройки чисел $(x;\hspace{0.17em}y;\hspace{0.17em}z)$ и проверяет для них условие $x^2+y^2+z^2=2020$.

total = 0
for x in range(1, 45):
    for y in range(1, 45):
        for z in range(1, 45):
            if x ** 2 + y ** 2 + z ** 2 == 2020:
                total += 1
                print('x =', x, 'y =', y, 'z =', z)
print('Общее количество натуральных решений =', total)

В результате выполнения такого кода, мы получим:

x = 18 y = 20 z = 36
x = 18 y = 36 z = 20
x = 20 y = 18 z = 36
x = 20 y = 36 z = 18
x = 36 y = 18 z = 20
x = 36 y = 20 z = 18
Общее количество натуральных решений = 6