Статья Автор: Лебедев Дмитрий

Конспект _Рассуждения от противного


Комби-7 Рассуждения от противного. Часть 1 

Допустим, нужно доказать некоторое утверждение A. Для доказательства можно использовать рассуждение от противного.
Для этого нужно

  1. предположить, что A неверно;
  2. путём рассуждений получить противоречие;
  3. сделать вывод, что A — верно.

Важно соблюдать указанную схему рассуждений от противного. Например, если в решении сделано предположение, а противоречие не получено, то это признак логической ошибки.

Задача. В магазин привезли 25 ящиков яблок трёх сортов. В каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Докажите, что найдутся 99 ящиков, в которых лежат яблоки одного сорта.

Комби-7 Рассуждения от противного. Часть 2. Примеры решения задач.

Задача. Имеется 65 карандашей. Докажите, что среди них найдётся либо 9 карандашей одного цвета, либо 9 карандашей разного цвета.

Задача. Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.

Задачи для тренировки

1) 7_07_1 В мешке 70 шаров

  
2)  7_07_2 Дни рождния школьников  
3) 7_07_3 Если класс из 30 человек рассадить  
4) 7_07_4 Петя разделил 44 спички   
5) 7_07_5 В классе 25 учеников.  
6) 7_07_6 Есть 75 яблок  
7) 7_07_7 Убирая детскую комнату к приходу гостей  
8) 7_07_8 На междисциплинарной конференции учёных  
9) 7_07_9 В фотоателье залетели 20 птиц  
10) 7_07_10 В алфавите некоторого языка  

Задачи с разбором

Разбор 1 "Несколько футбольных команд"
Задача 1. Несколько футбольных команд участвуют в однокруговом турнире (каждая команда играет с каждой ровно один раз). Докажите, что в любой момент состязаний найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.  
Разбор 2 "Задача о вершинах куба"

Задача 2. а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны?

б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или −1.

  
Разбор 3 " 20 человек сидят за круглым столом"
Задача 3. 20 человек сидят за круглым столом, причём более половины из них — девочки. Докажите, что какие-то две девочки сидят друг напротив друга.  
Разбор 4 "В кинотеатре сидения расположены"
Задача 4. В кинотеатре сиденья расположены в 7 рядов. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний. Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду.  
Разбор 5 "На шахматной доске"
Задача 5. На шахматной доске не менее 17 полей занято шахматными фигурами. Докажите, что занятыми оказались хотя бы две соседние (по стороне или диагонали) клетки.  
Разбор 6 "Клетки таблицы"
Задача 6. Клетки таблицы 3×9 раскрасили в два цвета: чёрный и белый. Докажите, что можно найти четыре одноцветных клетки, центры которых образуют прямоугольник.  

Печать