Статья Автор: Лебедев Дмитрий

Конспект _Раскраски


Комби-7 Раскраски Часть 1 Шахматная раскраска 

Шахматная раскраска — это раскраска в два цвета, при которой соседние клетки раскрашены в разные цвета.

Задача. Из доски 4×4 вырезаны две угловые клетки. Можно ли оставшуюся доску разрезать на доминошки?

Задача. Может ли шахматный конь сделать ровно 7 ходов и попасть в изначальную клетку?

Задача. В каждой клетке доски 5×5 сидит по жуку. В некоторый момент все жуки одновременно переползают в соседнюю по стороне клетку. Докажите, что хотя бы в одной клетке не будет ни одного жука.

Задача. В каждой клетке доски 5×5 сидит по жуку. В некоторый момент все жуки одновременно переползают по диагонали в соседнюю по углу клетку. Докажите, что хотя бы в пяти клетках не будет ни одного жука.

Комби-7 Раскраски Часть 2. Диагональная раскраска

Если требуется, чтобы в любой прямоугольник 1×n1×n попадало по одной клетке каждого цвета, можно воспользоваться диагональной раскраской в nn цветов.

Задача. Петя и Вася играют в игру «Морской бой» на доске 7×7. Петя расположил на доске корабль — прямоугольник 1×4. Вася по одной называет клетки поля, а Петя говорит ему, попал он в корабль или нет. Какое наименьшее количество клеток необходимо назвать Васе, чтобы наверняка попасть в корабль?

Диагональные раскраски можно делать в двух направлениях. Иногда выводы, сделанные из двух таких раскрасок, дополняют друг друга.

Задача. Какую клетку можно вырезать из доски 5×5 так, чтобы оставшуюся доску можно было разрезать на прямоугольники 1×3? Укажите все варианты.

Комби-7 Раскраски Часть 3. Разные раскраски

Некоторые задачи можно решить, используя «полосатую» раскраску, при которой каждая строка (или каждый столбец) раскрашивается в один цвет.

Задача. В левом нижнем углу доски 8×8 стоят девять фишек в виде квадрата 3×3. За один ход фишку можно переместить на свободное поле, расположенное за рядом стоящей фишкой, то есть переставить симметрично относительно центра соседней фишки. Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3×3, но в правом верхнем углу?

Задача. Можно ли доску 10×1010×10 разрезать на прямоугольники 1×4?

Задачи для тренировки

1) 7_13_1 В центре доски 101×101 стоит фишка.

  
2)  7_13_2 Сколькими способами можно вырезать  
3) 7_13_3 На одной из клеток доски сидит жук  
4) 7_13_4 Из доски вырезали фигуру  
5) 7_13_5 Из доски 9×9 вырезали 5 клеток  
6) 7_13_6 Доску 8×8 раскрасили  
7) 7_13_7 Доску 8×8 раскрасили  
8) 7_13_8 Квадрат 300×300 разбили  
9) 7_13_9 Из доски 6×6 вырезали   
10) 7_13_10 Фигура верблюд ходит  

Задачи с разбором

Разбор 1 "Задача  про разрезание квадрата"

Задача 1. Можно ли разрезать квадрат 10×10 на фигурки, изображённые ниже (их можно поворачивать)?

  
Разбор 2 "Задача про разбиение куба"
Задача 2. Можно ли куб 3×3×3, у которого вырезаны три угловых кубика, разбить на параллелепипеды 1×1×2?  
Разбор 3 "Задача про разрезание квадрата 6*6"
Задача 3. Можно ли квадрат 6×6 разрезать на 11 прямоугольников 1×3 и один трёхклеточный уголок?  
Разбор 4 "Задача про разбиение куба 5*5*5"
Задача 4. Можно ли куб 5×5×5, у которого вырезаны два противоположных угловых кубика, разбить на параллелепипеды 1×1×3?  
Разбор 5 "Задача про белый квадрат"
Задача 5. Квадрат 8×8 раскрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все его клетки в противоположный цвет (белые клетки в чёрный цвет, чёрные — в белый). Удастся ли с помощью нескольких таких операций перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?  
Разбор 6 "Задача про разрезание квадрата 8*8"
Задача 6. Можно ли разрезать квадрат 8×8 на 17 вертикальных и 15 горизонтальных прямоугольников 1×2?  
Разбор 7 "Из клетчатого квадрата 29*29 вырезали"
Задача 7. Из клетчатого квадрата 29×29 вырезали по линиям сетки 99 квадратов 2×2. Докажите, что из оставшейся части можно вырезать ещё хотя бы один квадрат 2×2.  
Разбор 8 "Доску 123*123 разрезали"
Задача 8. Доску 123×123 разрезали на прямоугольники 1×3. Докажите, что количество горизонтальных прямоугольников делится на 3.  
Разбор 9 "Клетку квадрата 11*11 назовем хорошей"
Задача 9. Клетку квадрата 11×11 назовём хорошей, если после её удаления оставшуюся часть можно разрезать на прямоугольники 1×4. Сколько существует хороших клеток?  
Разбор 10 "В таблице 100*100 покрашено"
Задача 10. В таблице 100×100 покрашено 4n клеток. Докажите, что из них можно выбрать nn таких клеток, что никакие две из них не имеют общих точек.  

Печать