Задача
Логическая функция F задаётся выражением:
(x ∨ y) ∧ ¬(y ≡ z) ∧ ¬w
На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки:
| ? |
? |
? |
? |
F |
| 1 |
|
1 |
|
1 |
| 0 |
1 |
|
0 |
1 |
| |
1 |
1 |
0 |
1 |
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
Аналитическое решение (построение таблицы истинности для F = 1):
- Перепишем выражение в виде (x ∨ y) ∧ ¬(y ≡ z) ∧ ¬w
- Поскольку имеем логическое произведение, значение w обязательно должно быть равно 0, то есть, в столбце w таблицы должны быть все нули; это возможно только в последнем столбце:
| ? |
? |
? |
w |
F |
| 1 |
|
1 |
0 |
1 |
| 0 |
1 |
|
0 |
1 |
| |
1 |
1 |
0 |
1 |
- Теперь определим все комбинации переменных, для которых функция равна 1 (их не должно быть много!)
- Чаще всего в выражении встречается переменная y, поэтому мы сначала примем y = 0, а затем - y = 1.
- При y = 0 (и w = 0) получаем (x ∨ 0) ∧ ¬(0 ≡ z) ∧ 1 = x ∧ ¬(0 ≡ z), что справедливо только при x = 1 и z = 1:
- При y = 1 (и w = 0) получаем (x ∨ 1) ∧ ¬(1 ≡ z) ∧ 1 = 1 ∧ ¬(1 ≡ z), что справедливо при z = 0 и любом x, это даёт ещё два варианта:
| x |
y |
z |
w |
F |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
- Объединим три полученных строки:
| x |
y |
z |
w |
F |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
- Видим, что в столбце z должна быть одна единица и два нуля, это возможно только в первой строке исходной таблицы:
| z |
? |
? |
w |
F |
| 1 |
|
1 |
0 |
1 |
| 0 |
1 |
|
0 |
1 |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
- При z = 1 нужно, чтобы y = 0, поэтому второй столбец - это y, а третий - x:
| z |
y |
x |
w |
F |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
- Ответ: \(\boxed{zyxw}\)