Статья Автор: Лебедев Дмитрий Алексеевич

Прямая и окружности Эйлера с Черепашкой. Часть 1.

Разместим "чистую заготовку GeoGebra для создания черетжей
Заготовка для черчения

Для реализации нашего плана нам нужно для трех точек \(A. B, C\) построить описанную окружность.
Это можно сделать для любых точек, не лежащих на одной прямой. Однако подбор варианта из 4 точек уже будет значительно сложнее. Поэтому, поступим "проще":

заданим окружность - центром (точкой D) и радиусом R
выберем на ней нужно число точек. Как? - зададим углы радиус-вектора с положительным направлением
Углы можно задать в градусах, радианах и тангенсах

Для случая, когда задаются три точки можно найти координаты центра описанной и радиус простыми вычислениями:

определить уравнения срединных перпендикуляров
найти точку пересечения срединных перпендикуляров (центр описанной окружности)
вычислить радиус описанной окружности (как расстояние до точки)

Выполним следующие построения
- зададим координаты цента D и значение радиуса R
- зададим углы (в радианах, чтобы проще считать) для точек A, B, C
- найдем декартовые координаты (перевод из полярной в декартовую) точек А. В. С
- нарисуем радиус вектора DA, DB, DC
Это первый этап

import turtle as tr # импорт модуля Черепашки
tt = tr.Pen() # Создание Черепашки
tt.color('gray'); tt.speed(0) # Настройка Черепашки
mm = 20 # Установка масштаба
setka((-20, -20),(20, 20), mm, tt, 0) # рисуем сетку (для красоты)
tr.done()
D, R = (-5,-4), 13
A =(-5 + 12,-4 -5) #подберем точки по Пифагору
B =(-5 - 5,-4 + 12)
C =(- 5 + 13, -4)
tt.color('blue'); tt.speed(10)
kletka_text('D',D,mm,tt); tt.dot(10); # рисуем точку D и окружность  
tt. up(); tt.forward(mm * R); tt.left(90); tt.down(); tt.circle(mm *  R)
my_line(D, A, mm, tt, 4); tt.dot(10, 'red'); kletka_text('A',A,mm,tt);
my_line(D, B, mm, tt, 6); tt.dot(10, 'red'); kletka_text('B',B,mm,tt);
my_line(D, C, mm, tt, 8); tt.dot(10, 'red'); kletka_text('C',C,mm,tt);


tr.done()

Построим

точку \(H = D + \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} +\overrightarrow{DC} \) ,проведем \(\overrightarrow{DH} \)
нарисуем треугольник \(ABC \)
проведем высоты (перпендикуляры)

import turtle as tr # импорт модуля Черепашки
tt = tr.Pen() # Создание Черепашки
tt.color('gray'); tt.speed(0) # Настройка Черепашки
mm = 16 # Установка масштаба
setka((-25, -25),(25, 25), mm, tt, 0) # рисуем сетку (для красоты)
tr.done()
D, R = (-5,-4), 13
A =(-5 + 12,-4 -5) #подберем точки по Пифагору
B =(-5 - 5,-4 + 12)
C =(- 5 + 13, -4)
# вычисляем координаты "ортоцентра
H = (D[0] + (A[0] - D[0]) + (B[0] - D[0]) + (C[0] - D[0]),
     D[1] + (A[1] - D[1]) + (B[1] - D[1]) + (C[1] - D[1]))
tt.color('blue'),; tt.speed(10) 
kletka_text('D',D,mm,tt); tt.dot(10); # рисуем точку D и окружность  
tt. up(); tt.forward(mm * R); tt.left(90); tt.down(); tt.circle(mm *  R)
my_line(D, H, mm, tt, 0); tt.dot(10); kletka_text('H',H,mm,tt); # рисуем DH
tt.color('red'); tt.width(2) # рисуем треугольник
my_line(B, A, mm, tt, 0); tt.dot(10); kletka_text('A',A,mm,tt);
my_line(A, C, mm, tt, 0); tt.dot(10); kletka_text('C',C,mm,tt);
my_line(C, B, mm, tt, 0); tt.dot(10); kletka_text('B',C,mm,tt);
tt.color('green'); tt.width(1) # рисуем фрагменты высот (поворотом сторон и их умножением)
hB = (B[0] + 10 * (C[1] - A[1]), B[1] - 10 * (C[0] - A[0])) 
my_line(B, hB, mm, tt, 0); 
hC = (C[0] + 1 * (B[1] - A[1]), C[1] - 1 * (B[0] - A[0])) 
my_line(C, hC, mm, tt, 0); 
hA = (A[0] - 1 * (C[1] - B[1]), A[1] + 1 * (C[0] - B[0])) 
my_line(A, hA, mm, tt, 0);
tt.color('blue'); # рисуем радиус-вектора
my_line(D, A, mm, tt, 4);
my_line(D, B, mm, tt, 4);
my_line(D, C, mm, tt, 4);
tt.color('brown'); tt.width(3); # рисуем окружность Эйлера
E = ((D[0] + H[0]) / 2, (D[1] + H[1]) / 2)
kletka_text('E',E,mm,tt);   
tt. up(); tt.right(90), tt.forward(mm * R/2); tt.left(90);  tt.down(); tt.circle(mm *  R/2)
tr.done()

Теперь ясно, что "решения треугольника ABC" достаточно научиться быстро искать центр описанной окружности D, затем можно

найти ортоцентр
найти цент окружности Эйлера и т.п.

Как это сделать "быстро"? Ясно, что можно составить уравнения пары срединных перпендикуляров и найти их пересечение. Это практический способ. А можно ли другим способом?
В книгах с описанием бараметрической системы координат есть ряд полезных формул, использующих "взвешенные средние"
Для центра описанной окружности есть \(D = \frac{A\cdot \sin(2\alpha)+B\cdot \sin(2\beta)+C\cdot \sin(2\gamma)}{sin(2\alpha)+sin(2\beta)+sin(2\gamma)} \ где\ \alpha -\ угол\ A;\beta -\ угол\ B; \gamma -\ угол\ C\)
то есть D - средневзвешанное значение набора координат значениями синусов двойных углов
Для нахождения синуса двойного угла можно воспользоваться скалярным и векторным/"косым" произведением.
\(Для\ угла\ \alpha = \angle BAC\\ \cos(\alpha) =\frac{ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot|AC|} \ \ \ \ \sin(\alpha) =\frac{ \overrightarrow{AB}\ \circ\ \overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot|AC|}\\ \ следовательно\ \sin(2\alpha) =\frac{ (\overrightarrow{AB}\ \cdot\ \overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AB}\ \circ\ \overrightarrow{AC})}{c^2\cdot b^2},\ где\ b,c -\ длины\ соотвестввующих\ сторон\)
Домножаея числители и знаменатели дробей на квадраты соответствующих сторон можем получить выражение
\(D =\frac{ A\cdot a^2\cdot(\overrightarrow{AB}\ \cdot\ \overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AB}\ \circ\ \overrightarrow{AC})+B\cdot b^2\cdot(\overrightarrow{BA}\ \cdot\ \overrightarrow{BC})(\overrightarrow{BA}\ \circ\ \overrightarrow{BC})+C\cdot c^2\cdot(\overrightarrow{CB}\ \cdot\ \overrightarrow{CA})(\overrightarrow{CB}\ \circ\ \overrightarrow{CA})}{ a^2\cdot(\overrightarrow{AB}\ \cdot\ \overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AB}\ \circ\ \overrightarrow{AC})+ b^2\cdot(\overrightarrow{BA}\ \cdot\ \overrightarrow{BC})(\overrightarrow{BA}\ \circ\ \overrightarrow{BC})+ c^2\cdot(\overrightarrow{CB}\ \cdot\ \overrightarrow{CA})(\overrightarrow{CB}\ \circ\ \overrightarrow{CA})},\)
формула выглядит громозкой, но не сложной в реализации, поскольку нахождение квадрата длины отрезка, скалярного и векторного произведения совсем простое действие.

def rez_1(data):
  A, B, C = data
  bx, by = B[0] - A[0], B[1] - A[1]
  cx, cy = C[0] - A[0], C[1] - A[1]
  a2 = (B[0] - C[0]) ** 2 + (B[1] - C[1]) ** 2
  vx = bx * cx + by * cy
  vy = bx * cy - by * cx
  print (a2, vx, vy, A, B,C)
  return a2 * vx * vy
def c_opis(dt):
  A, B, C = dt
  ka = rez_1([A,C,B])
  kb = rez_1([B,A,C])
  kc = rez_1([C,B,A])
  kk = ka + kb + kc
  dx = (A[0] * ka + B[0] * kb + C[0] * kc)/kk
  dy = (A[1] * ka + B[1] * kb + C[1] * kc)/kk
  r2 = (dx - A[0]) ** 2 + (dy - A[1]) ** 2
  print('=', ka,kb,kc,kk,dx,dy)
  return (dx/kk, dy/kk) , r2
  
  
  
import turtle as tr # импорт модуля Черепашки
tt = tr.Pen() # Создание Черепашки
tt.color('gray'); tt.speed(0) # Настройка Черепашки
mm = 40 # Установка масштаба
setka((-10, -10),(15, 15), mm, tt, 0) # рисуем сетку (для красоты)
tr.done()
A =(0,-4) #подберем "хорошие" точки 
B =(-3 , 5)
C =(4, 4)
tt.color('red'); tt.width(2) # рисуем треугольник
my_line(B, A, mm, tt, 0); tt.dot(10); kletka_text('A',A,mm,tt);
my_line(A, C, mm, tt, 0); tt.dot(10); kletka_text('C',C,mm,tt);
my_line(C, B, mm, tt, 0); tt.dot(10); kletka_text('B',B,mm,tt);
D, rd = c_opis([A,B,C])
rd = rd ** 0.5
print(D, rd)
kletka_text('D',D,mm,tt); tt.color('blue'), tt.dot(10);
tt. up(); tt.setheading(0), tt.forward(mm * rd); tt.left(90); tt.down(); tt.circle(mm *  rd)


'''
# вычисляем координаты "ортоцентра
H = (D[0] + (A[0] - D[0]) + (B[0] - D[0]) + (C[0] - D[0]),
     D[1] + (A[1] - D[1]) + (B[1] - D[1]) + (C[1] - D[1]))
tt.color('blue'),; tt.speed(10) 
kletka_text('D',D,mm,tt); tt.dot(10); # рисуем точку D и окружность  
tt. up(); tt.forward(mm * R); tt.left(90); tt.down(); tt.circle(mm *  R)
my_line(D, H, mm, tt, 0); tt.dot(10); kletka_text('H',H,mm,tt); # рисуем DH
tt.color('green'); tt.width(1) # рисуем фрагменты высот (поворотом сторон и их умножением)
hB = (B[0] + 10 * (C[1] - A[1]), B[1] - 10 * (C[0] - A[0])) 
my_line(B, hB, mm, tt, 0); 
hC = (C[0] + 1 * (B[1] - A[1]), C[1] - 1 * (B[0] - A[0])) 
my_line(C, hC, mm, tt, 0); 
hA = (A[0] - 1 * (C[1] - B[1]), A[1] + 1 * (C[0] - B[0])) 
my_line(A, hA, mm, tt, 0);
tt.color('blue'); # рисуем радиус-вектора
my_line(D, A, mm, tt, 4);
my_line(D, B, mm, tt, 4);
my_line(D, C, mm, tt, 4);
tt.color('brown'); tt.width(3); # рисуем окружность Эйлера
E = ((D[0] + H[0]) / 2, (D[1] + H[1]) / 2)
kletka_text('E',E,mm,tt);   
tt. up(); tt.right(90), tt.forward(mm * R/2); tt.left(90);  tt.down(); tt.circle(mm *  R/2)
#'''
tr.done()

Прикрепленные файлы
geogebra_blank.html
_qkth-2.html
Эйлер_1.html

Печать