Рассмотрим следующую игру Алисы и Боба на ориентированном ациклическом графе. Каждая вершина может содержать произвольное количество фишек. Алиса и Боб совершают ходы по очереди. Первой ходит Алиса. Ход состоит в том, чтобы передвинуть ровно одну фишку по какому-то ребру, исходящему из вершины, в которой сейчас лежит фишка, в конец этого ребра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Оба играют оптимально.
Рассмотрим следующий процесс, происходящий каждую секунду на данном графе с \(n\) вершинами:
- Целое число \(v\) выбирается случайно и равновероятно из \([1, n + 1]\).
- Если \(v \leq n\), в \(v\)-ю вершину графа добавляется фишка, а процесс переходит к шагу 1.
- Если \(v = n + 1\), Алиса и Боб играют в описанную выше игру на данном графе с текущим расположением фишек, определяется победитель этой игры. После чего, процесс завершается.
Найдите вероятность победы Алисы. Можно показать, что ответ можно представить в виде \(\frac{P}{Q}\), где \(P\) и \(Q\) — взаимно простые целые числа, \(Q \not\equiv 0 \pmod{998\,244\,353}\). Выведите значение \(P \cdot Q^{-1} \bmod 998\,244\,353\).