Вначале были придуманы натуральные числа и операции с ними:
- сложение и вычитани, при этом вычитать можно было только из большего меньшее
- умножение
- деление с остатком
Затем появилось понятие отношения двух и более чисел, из которого появились дроби или рацональные числа.
Для понятия дрроби можно воспользоваться следующим определением:
- дробь или рациональное число это отношение задаваемое двумя натуральными числами m, n из которых первое называется числителем (numerator) и знаменателем (denominator). Обозначать дробь принято записью m/n
- в Древнем Египте в качестве дробей допускали только дроби вида 1/n и 2/3. Остальные записывались как их суммы
Итак дробь - это пара чисел, которую можно записать и так (m,n) / <numerator/denominator>
Для дробей определили операции, которые мы запишем для пар
- сложение (a,b)+(c,d) = (ad+bc, bd)
- умножение (a,b)*(c,d) = (ac, bd)
- равенство значений (a,b)==(c,d) тогда и только тогда, когда ad == bc
такие опрации гарантируют выполнение всех свойств натуральных чисел и "транзитивность" свойства равенства ( из x==y и y==z следует x==z)
(проверку и доказательство всех свойств оставляем в качестве полезного упражнения)
Натуральные числа, в качестве рациональных чисел, можно представить множеством вида {(m,1)/m - натуральное число} (это т замкнутое, относительно операций, подмножество множества рациональных чисел)
Немецкий математик Карл Гаусс