Задача . Исследование полинома

Дана строка, задающая полином \(f(x)\) степени не выше 3, и два целых числа \(a\), \(b\) — пределы интегрирования. Выполните три операции:

1. Найдите производную \(f'(x)\) и упростите её.

2. Вычислите определённый интеграл \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\). Выведите точное значение (целое или дробное, например 27/4 или 0).

3. Найдите все вещественные корни \(f(x) = 0\). Выведите их через пробел в порядке возрастания. Если вещественных корней нет — выведите none. Кратные корни выводятся один раз.

Формат ввода.
Строка 1: выражение полинома в синтаксисе Python (** для возведения в степень, * для умножения, только переменная x).
Строка 2: два целых числа \(a\) и \(b\) через пробел (\(-100 \le a < b \le 100\)).

Формат вывода. Ровно 3 строки:

derivative: <выражение>
integral: <точное значение>
roots: <числа через пробел, или "none">

Пример ввода 1:

x**3 - 4*x**2 + x + 6
0 3

Пример вывода 1:

derivative: 3*x**2 - 8*x + 1
integral: 27/4
roots: -1 2 3

Пример ввода 2:

x**2 - 4*x + 4
0 3

Пример вывода 2:

derivative: 2*x - 4
integral: 3
roots: 2

Корень \(x=2\) кратный — выводим один раз.

Разбор примера 1. \(f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\).

\[f'(x) = 3x^2 - 8x + 1, \qquad \int_0^3 f\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x\right]_0^3 = \frac{81}{4} - 36 + \frac{9}{2} + 18 = \frac{27}{4}\] \[f(-1) = -1-4-1+6 = 0,\quad f(2) = 8-16+2+6=0,\quad f(3)=27-36+3+6=0.\] Корни: \(-1,\ 2,\ 3\).

Подсказки по реализации.

• Для разбора строки: parse_expr(s, transformations=standard_transformations + (implicit_multiplication_application,)).

• Чтобы отфильтровать только вещественные корни: im(r) == 0.

• simplify(diff(expr, x)) даёт упрощённый вид производной.

• Сортировка корней: sorted(..., key=lambda r: float(r)).