Экзамены и диагностики

(Демо-2025) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если число чётное, то к двоичной записи числа слева дописывается 10;

б) если число нечётное, то к двоичной записи числа слева дописывается 1 и справа дописывается 01.

Полученная таким образом запись (в ней на два или три разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 4 = 100₂ результатом является число 20 = 10100₂, а для исходного числа 5 = 101₂ это число 53 = 110101₂. Укажите максимальное число R, которое может быть результатом работы данного алгоритма, при условии, что N не больше 12. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(ЕГЭ-2024) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры двоичной записи числа N, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия – справа дописывается остаток от деления суммы её цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, которое превышает число 123 и может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(ЕГЭ-2024) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры двоичной записи числа N, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия – справа дописывается остаток от деления суммы её цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, которое превышает число 75 и может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(ЕГЭ-2024) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если число N чётное, то к этой записи слева дописывается 10;

б) если число N нечётное, то к этой записи слева дописывается 1, а справа дописывается 01.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 4 = 100₂ результатом является 10100₂ = 20, а для исходного числа 5 = 101₂ результатом является 110101₂ = 53. Укажите максимальное число R, которое может быть результатом работы алгоритма при условии, что N не больше 12. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(ЕГЭ-2024) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если сумма цифр двоичной записи чётная, то к этой записи справа дописывается 0, а два левых разряда заменяются на 10;

б) если сумма цифр двоичной записи нечётная, то к этой записи справа дописывается 1, а два левых разряда заменяются на 11.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 6 = 110₂ результатом является 1000₂ = 8, а для исходного числа 4 = 100₂ результатом является 1101₂ = 13. Укажите максимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, меньшее 35. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(ЕГЭ-2024) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если сумма цифр двоичной записи чётная, то к этой записи справа дописывается 0, а два левых разряда заменяются на 10;

б) если сумма цифр двоичной записи нечётная, то к этой записи справа дописывается 1, а два левых разряда заменяются на 11.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 6 = 110₂ результатом является 1000₂ = 8, а для исходного числа 4 = 100₂ результатом является 1101₂ = 13. Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, большее 50. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(Е. Джобс) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится запись числа N в троичной системе счисления.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если число N четное, то слева дописывается 2, а справа – удвоенное значение младшего разряда в троичной системе счисления;

б) если число N нечетное, то справа дописывается 2, а слева – удвоенное значение старшего разряда в троичной системе счисления.

Полученная таким образом запись является троичной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 14 = 112₃ результатом является 211211₃ = 616. Укажите минимальное значение большее 100, которое может получиться в результате работы алгоритма.

(А. Минак) На вход алгоритма подаётся натуральное число N > 143. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится запись числа N в двенадцатеричной системе счисления.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если N делится на 12, то в конец этой записи дописываются три её последние цифры;

б) если число N на 12 не делится, то остаток от деления умножается на 3, переводится в двенадцатеричную запись и дописывается в начало числа.

Полученная таким образом запись является двенадцатеричной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 204 = 150₁₂ результатом является число 150150₁₂ = 352716, а для исходного числа 275 = 1AB₁₂ это число 291AB₁₂ = 57299. Укажите такое число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получится наибольшее число R, которое меньше 58000.

(А. Минак) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится запись числа N в тринадцатеричной системе счисления.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) складываются числовые значения всех цифр этой тринадцатеричной записи, и остаток от деления этой суммы на 13 в тринадцатеричной системе счисления дописывается в конец числа (справа);

б) над этой записью производятся те же действия – справа дописывается остаток от деления суммы числовых значений её цифр на 13.

Полученная таким образом запись является тринадцатеричной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 77 = 5C₁₃ результатом является число 5C48₁₃ = 13073. Укажите число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается наибольшее число R, меньшее 6000.

(А. Минак) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится запись числа N в восьмеричной системе счисления.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если сумма цифр в восьмеричной записи числа чётная, то к этой записи дописываются слева и справа первая цифра его восьмеричной записи;

б) если сумма цифр в восьмеричной записи числа нечётная, то к этой записи дописывается справа последняя цифра его восьмеричной записи.

Полученная таким образом запись является восьмеричной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 17 = 21₈ результатом является число 211₈ = 137, а для исходного числа 25 = 31₈ это число 3313₈ = 1739. Укажите максимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, меньшее 1100.

(А. Минак) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится запись числа N в четверичной системе счисления (системе с основанием 4).

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если число N делится на 4, то к этой записи дописываются две последние цифры четверичной записи;

б) если число N на 4 не делится, то остаток от его деления 4 умножается на 5, переводится в четверичную систему счисления и дописывается в конец числа.

Полученная таким образом запись является четверичной записью искомого числа R. Например, для исходного числа 17 = 101₄ результатом является число 10111₄ = 277, а для исходного числа 24 = 120₄ это число 12020₄ = 392. Укажите максимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, меньшее 555.

(Н. Леко) На вход алгоритма подаётся натуральное число N (0 ≤ N ≤ 255). Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится восьмибитная двоичная запись числа N.

2. Все разряды двоичной записи инвертируются (0 заменяется на 1, 1 на 0).

3. Если полученное число кратно 5, то в двоичной записи старшие три разряда заменяются на 100, в противном случае в двоичной записи старшие три разряда заменяются на 101.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R. Сколько существует чисел N, из которых в результате выполнения алгоритма может получиться число 180?

(PRO100-ЕГЭ) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится троичная запись числа N.

2. К этой записи дописываются справа ещё несколько разрядов по следующему правилу:

а) если N чётное, то к нему справа приписываются два нуля, а слева единица;

б) если N нечётное, то к нему справа приписывается в троичном виде сумма цифр его троичной записи.

Полученная таким образом запись (в ней как минимум на один разряд больше, чем в записи исходного числа N) является троичной записью искомого числа R.

Например, исходное число 4₁₀ = 11₃ преобразуется в число 11100₃ = 117₁₀, а исходное число 7₁₀ = 21₃ преобразуется в число 2110₃ = 66₁₀.

Укажите такое наименьшее число N, для которого число R больше числа 168. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(PRO100-ЕГЭ) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится шестеричная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если число N делится на 3, то к этой записи дописываются две первые шестеричные цифры;

б) если число N на 3 не делится, то остаток от деления на 3 умножается на 10, переводится в шестеричную запись и дописывается в конец числа.

Полученная таким образом запись является шестеричной записью искомого числа R.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Пример. Число 11₁₀ = 15₆ не делится на 3, поэтому в конец его шестеричной записи 15₆ дописывается шестеричная запись числа (11 mod 6) · 10 = 20 = 32₆, так что результатом работы автомата является число 1532₆ = 416₁₀. Исходное число 12₁₀ = 20₆ делится на 3, поэтому в конец шестеричной записи 20₆ дописываются её две первых цифры 20, так что результатом работы автомата является число 2020₆ = 444₁₀.

Укажите минимальное число R, большее 680, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(Е. Джобс) Автомат обрабатывает натуральное девятиразрядное число N по следующему алгоритму:

1. Находится сумма разрядов числа N.

2. Полученное число переводится в двоичную систему счисления.

3. К записи, полученной на предыдущем этапе, дописываются разряды по следующему правилу:

(a) Если количество единиц четное дописывается единица слева и два нуля справа,

(b) Если количество единиц нечетное дописывается 10 слева и 1 справа.

4. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Пример. Дано число N = 123456789. Алгоритм работает следующим образом:

1. Сумма разрядов 45.

2. Двоичная запись 101101.

3. Единиц четное количество, следовательно, получаем 1+101101+00 = 110110100.

4. 110110100₂ = 436.

Сколько существует чисел N, для которых результат работы автомата равен 21?

(Е. Джобс) На вход алгоритма подается натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. В этой записи последний ноль заменяется на первые две цифры полученной записи. Если нуля нет, алгоритм аварийно завершается.

3. Запись записывается справа налево (в обратную сторону).

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R. Для какого минимального значения N в результате работы алгоритма получится число 123?

(Е. Джобс) На вход алгоритма подается натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К полученной записи дописываются разряды. Если в числе четное количество единиц,

слева дописывается 1 справа два нуля, если нечетное – слева две единицы.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Пример. Дано число N = 13. Алгоритм работает следующим образом:

1. Двоичная запись числа N: 1101.

2. Число нечетное, следовательно, слева дописываем две единицы слева – 11 + 1101 = 111101.

3. На экран выводится число 111101₂ = 61.

В результате работы автомата на экране появилось число, не меньшее 412. Для какого наименьшего значения N данная ситуация возможна?

(Е. Джобс) На вход алгоритма подается натуральное число N > 1. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Из полученной записи убирается старшая (левая) единица.

3. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

a) если в полученной записи количество единиц четное, то слева дописывается 10;

b) если количество единиц нечётное, слева дописывается 1, справа 0.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 4 = 100₂ результатом будет являться число 8 = 1000₂, а

для исходного числа 6 = 110₂ результатом будет являться число 12 = 1100₂.

Укажите максимальное число R, меньшее 450, которое может являться результатом работы алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.

(Е. Джобс) На вход алгоритма подается натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Складываются все цифры полученной двоичной записи. Если сумма четная в конец дублируются два младших разряда, если нечетная – в конец дописываются проинвертированные два младших разряда.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Пример. Дано число N = 13. Алгоритм работает следующим образом:

1. Двоичная запись числа N: 1101

2. Число единиц нечетное, следовательно, дописываем инвертированные два младших разряда – 1101 + 10 = 110110₂ = 54₁₀.

В результате работы автомата на экране появилось число, большее 154. Для какого наименьшего значения N это возможно?

(Е. Джобс) На вход алгоритма подается натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N без ведущих нулей.

2. Если в полученной записи единиц больше, чем нулей, то справа приписывается ноль. Иначе справа приписывается две единицы.

3. Полученное число переводится в десятичную запись и выводится на экран.

Найдите наименьшее число N, после обработки которого автомат выдаст результат больший 2019.