Экзамены и диагностики

(В. Шубинкин) Автомат получает на вход номер банковской карты (число N из 16 цифр) и строит по нему контрольное число S следующим образом (вариант алгоритма Лу́на):

– цифры числа нумеруются справа налево, начиная с ноля;

– цифры, стоящие на нечётных позициях, увеличиваются в два раза. Если при этом получается двузначное число, его цифры складываются;

– результат S вычисляется как сумма всех цифр на чётных позициях и преобразованных цифр на нечётных позициях.

Например, для числа 4096 8308 0309 8323 сумма цифр на чётных позициях (с конца) 3+3+9+3+8+3+6+0=35, сумма преобразованных цифр на нечётных позициях 4+7+0+0+0+7+9+8=35. Общая сумма S = 70.

Найдите наименьший номер банковской карты N, для которого результатом работы алгоритма будет число 30. В ответе укажите остаток от деления найденного числа N на 10₈.

(В. Шубинкин) Автомат производит первичную проверку правильности номера банковской карты. Он получает на вход число N из 16 цифр и обрабатывает его по следующим правилам (вариант алгоритма Лу́на):

– цифры числа нумеруются справа налево, начиная с нуля;

– цифры, стоящие на нечётных позициях, увеличиваются в два раза. Если при этом получается двузначное число, его цифры складываются;

– складываются все цифры на чётных позициях и преобразованные цифры на нечётных позициях;

– если полученная сумма кратна 10, считается, что номер корректный.

Например, для числа 4096 8308 0309 8323 сумма цифр на чётных позициях (с конца) 3+3+9+3+8+3+6+0=35, сумма преобразованных цифр на нечётных позициях 4+7+0+0+0+7+9+8=35. Общая сумма 70 кратна 10, значит номер корректен.

Определите наименьшее число N, большее 1234 5678 9101 1121, которое может быть корректным номером согласно указанному алгоритму. Укажите в ответе последние 8 цифр числа.

(А. Сардарян) На вход алгоритма подаётся два натуральных числа N и M. Алгоритм строит по ним новое число R следующим образом.

1. Вычисляется число SN как квадрат суммы цифр двоичной записи числа N.

2. Вычисляется число SM как квадрат суммы цифр двоичной записи числа M.

3. Результат R вычисляется как SN – SM.

Укажите минимальную сумму чисел N и M, при которых получается R = 33.

(А. Сардарян) На вход алгоритма подаётся четырёхзначное натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Если число N четное, то цифры этого числа сортируются в порядке убывания, затем полученное число делится на 2 нацело (остаток отбрасывается). Полученное значение является числом R.

Пример: N = 1488 => R = 8841//2 = 4420.

2. Если число N нечетное, то цифры этого числа сортируются в порядке возрастания, затем полученное число умножается на 2. Полученное значение является числом R.

Пример: N = 3807 => R = 378·2 = 756.

Укажите наименьшее число R, которое больше соответствующего исходного числа N на 1.

(А. Сардарян) На вход алгоритма подаётся два натуральных числа N и M. Алгоритм строит по ним новое число R следующим образом.

1. Вычисляется произведение P₁ всех ненулевых чётных цифр чисел N и M.

2. Вычисляется произведение P₂ всех нечётных цифр чисел N и M.

3. Результат R вычисляется как модуль разности P₁ и P₂.

Например, для N = 256 и M = 108 получаем P₁ = 2·6·8 = 96 и P₂ = 5·1 = 5, так что R = |96 - 5|= 91. Укажите минимальное число M, при котором для N = 120 получается R = 29.

(ЕГЭ-2022) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается 0, а затем два левых разряда заменяются на 10;

б) если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается 1, а затем два левых разряда заменяются на 11.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 6 = 110₂ результатом является число 1000₂ = 8, а для исходного числа 4 = 100₂ результатом является число 1101₂ = 13.

Укажите максимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, меньшее, чем 35.

(ЕГЭ-2022) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:

а) если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается 0, а затем два левых разряда заменяются на 10;

б) если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается 1, а затем два левых разряда заменяются на 11.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Например, для исходного числа 6 = 110₂ результатом является число 1000₂ = 8, а для исходного числа 4 = 100₂ результатом является число 1101₂ = 13.

Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число R, не меньшее, чем 16.

(Е. Джобс) На вход алгоритма подаётся натуральное девятиразрядное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Вычисляется сумма разрядов десятичной записи числа N.

2. Полученное число переводится в двоичную систему счисления.

3. К записи, полученной на предыдущем этапе, дописываются разряды по следующему правилу:

a. Если количество единиц четное дописывается единица слева и два нуля справа,

b. Если количество единиц нечетное дописывается 10 слева и 1 справа.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Пример. Дано число N = 123456789. Алгоритм работает следующим образом:

1. Сумма разрядов равна 45.

1. Двоичная запись числа 45 = 101101₂.

2. Число единиц четное, следовательно, получаем 1+101101+00.

3. На экран выводится число 436 = 110110100₂.

Сколько существует чисел N таких, что в результате работы автомата будет выведено число 21?

(Е. Джобс) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К полученной записи дописываются разряды. Если в числе четное количество единиц, слева дописывается 1 и справа два нуля, если нечетное – слева дописываются две единицы.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Пример. Дано число N = 13. Алгоритм работает следующим образом:

1. Двоичная запись числа N: 1101.

2. Число единиц нечетное, следовательно слева дописываем две единицы слева – 11 + 1101 = 111101.

3. На экран выводится число 61 = 111101₂.

Для какого наименьшего значения N результат работы автомата – число, не меньшее 412?

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К полученной записи дописываются разряды. Если число четное, слева дописывается 1, а справа – 10, если число нечетное – слева дописывается 11 и справа 0.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Пример. Дано число N = 13. Алгоритм работает следующим образом:

1. Двоичная запись числа N: 1101.

2. Число нечетное, следовательно слева дописываем 11, справа 0 – 11+1101+0 = 1111010.

3. На экран выводится число 122.

Сколько различных результатов, принадлежащих отрезку [800; 1500], может быть получено в результате работы автомата?

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К полученной записи дописываются разряды. Если число четное, слева дописывается 1, а справа – 11, если число нечетное – слева дописывается 11 и справа 0.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Пример. Дано число N = 13. Алгоритм работает следующим образом:

1. Двоичная запись числа N: 1101.

2. Число нечетное, следовательно слева дописываем 11, справа 0 – 11+1101+0 = 1111010.

3. На экран выводится число 122.

Сколько существует значений N, для которых в результате работы автомата на экране появляется число из отрезка [500; 1000]?

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К полученной записи дописываются разряды. Если число четное, слева дописывается 10, а справа – 1, если число нечетное – слева дописывается 1 и справа 01.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Пример. Дано число N = 13. Алгоритм работает следующим образом:

1. Двоичная запись числа N: 1101.

2. Число нечетное, следовательно слева дописываем 1, справа 01 – 1+1101+01 = 1110101.

3. На экран выводится число 117.

В результате работы автомата на экране появилось число, большее 420. Для какого наименьшего значения N данная ситуация возможна?

(Досрочный ЕГЭ-2022) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К полученной записи дописываются разряды. Если число четное, справа дописывается 10, если число нечетное – слева дописывается 1 и справа 01.

3. Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.

Пример. Дано число N = 13. Алгоритм работает следующим образом:

1. Двоичная запись числа N: 1101.

2. Число нечетное, следовательно слева дописываем 1, справа 01 – 1+1101+01 = 1110101.

3. На экран выводится число 117.

В результате работы автомата на экране появилось число, большее 516. Для какого наименьшего значения N данная ситуация возможна?

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К этой записи дописываются ещё несколько разрядов по следующему правилу:

а) Если N чётное, то к нему справа приписывается в двоичном виде сумма цифр его двоичной записи;

6) Если N нечётное, то к нему справа приписываются два нуля, а слева единица.

Например, двоичная запись числа 1101 будет преобразована в 1110100.

Полученная таким образом запись (в ней как минимум на один разряд больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Сколько существует различных чисел N, для которых результат работы данного алгоритма принадлежит отрезку [500; 700]?

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К этой записи дописываются ещё несколько разрядов по следующему правилу:

а) Если N чётное, то к нему справа приписывается в двоичном виде сумма цифр его двоичной записи;

6) Если N нечётное, то к нему справа приписываются два нуля, а слева единица.

Например, двоичная запись числа 1101 будет преобразована в 1110100.

Полученная таким образом запись (в ней как минимум на один разряд больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите наибольшее число N, для которого результат работы данного алгоритма меньше 1000. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

(Пробный КЕГЭ, 2022) На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К этой записи дописываются ещё несколько разрядов по следующему правилу:

а) Если N чётное, то к нему справа приписывается в двоичном виде сумма цифр его двоичной записи;

6) Если N нечётное, то к нему справа приписываются два нуля, а слева единица.

Например, двоичная запись числа 1101 будет преобразована в 1110100.

Полученная таким образом запись (в ней как минимум на один разряд больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите наименьшее число N, для которого результат работы данного алгоритма больше 215. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Вычисляется сумма S₁ всех чётных цифр десятичной записи числа N. Если чётных цифр нет, сумма S₁ считается равной 0. 2. Вычисляется сумма S₂ всех цифр десятичной записи числа N, стоящих в чётных разрядах. Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0. 3. Вычисляется результат R как модуль разности S₁ и S₂.

Пример: Дано число N = 4321. Сумма чётных цифр S₁ = 4 + 2 = 6. Сумма цифр в чётных разрядах S₂ = 3 + 1 = 4. Результат работы алгоритма R = 6 – 4 = 2.

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого по данному алгоритму получится число 26.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Вычисляется сумма S₁ всех нечётных цифр десятичной записи числа N. Если нечётных цифр нет, сумма S₁ считается равной 0. 2. Вычисляется сумма S₂ всех цифр десятичной записи числа N, стоящих в чётных разрядах. Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0. 3. Вычисляется результат R как модуль разности S₁ и S₂.

Пример: Дано число N = 1234. Сумма нечётных цифр S₁ = 1 + 3 = 4. Сумма цифр в чётных разрядах S₂ = 2 + 4 = 6. Результат работы алгоритма R = 6 – 4 = 2.

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого по данному алгоритму получится число 29.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Вычисляется сумма S₁ всех нечётных цифр десятичной записи числа N. Если нечётных цифр нет, сумма S₁ считается равной 0. 2. Вычисляется сумма S₂ всех цифр десятичной записи числа N, стоящих на позициях с чётными номерами. Позиции нумеруются слева направо, начиная с 1. Для однозначных чисел сумма S₂ считается равной 0. 3. Вычисляется результат R как модуль разности S₁ и S₂.

Пример: Дано число N = 1234. Сумма нечётных цифр S₁ = 1 + 3 = 4. Сумма цифр в позициях с чётными номерами S₂ = 2 + 4 = 6. Результат работы алгоритма R = 6 – 4 = 2.

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого по данному алгоритму получится число 29.

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1. Вычисляется сумма S₁ всех нечётных цифр десятичной записи числа N. Если нечётных цифр нет, сумма S₁ считается равной 0. 2. Вычисляется сумма S₂ всех цифр десятичной записи числа N, стоящих на позициях с нечётными номерами. Позиции нумеруются слева направо, начиная с 1. 3. Вычисляется результат R как модуль разности S₁ и S₂.

Пример: Дано число N = 4321. Сумма нечётных цифр S₁ = 3 + 1 = 4. Сумма цифр в позициях с нечётными номерами S₂ = 4 + 2 = 6. Результат работы алгоритма R = 6 – 4 = 2.

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого по данному алгоритму получится число 31.