ЕГЭ-19-21. Другие игры

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x, y) в одну из трех точек: (x-10, y+5), (x-5, y-5), (x+5, y-5). Например, при если фишка стоит в позиции (10,5), то за один ход можно получить любую из трёх позиций: (0,10), (5, 0), (15,0). Игра завершается в тот момент, когда расстояние от фишки до точки с координатами (0, 0) становится больше 20 единиц. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший позицию, от которой расстояние до точки с координатами (0, 0) больше 20 единиц. В начальный момент фишка находится в позиции (-1, S), S-- целое число. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите количество всех возможных S, при которых игра имеет смысл, т. е. для которых расстояние от начальной позиции до точки с координатами (0, 0) не больше 20. Задание 20. Найдите два числа: первое – количество значения S, при которых Петя выигрывает первым ходом; и второе число – количество значений S при которых, у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Задание 21 Найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, в которую записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить одно из чисел пары (по своему выбору) на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция (2, 20), то после его хода будет позиция (22,20) или (2, 22). Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары станет не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в сумму чисел пары 62 и более. В начальный момент в табличке записана пара чисел (10, S), 1 ≤ S ≤ 51. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание 19. Укажите наименьшее значение S, при котором Петя может выиграть за один ход.
Задание 20. Найдите два наибольших значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21 Найдите количество значений S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.