Статья Автор: Лебедев Дмитрий

Решаем задание типа 14. Системы счисления

В демоверсии 2025 года указано, что задание типа 14 (повышенный уровень, по спецификации 3 минуты на решение) может быть одного из трех типов. Рассмотрим эти типы на примере демоверсии.
 

Модель А.
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19.
98897x2119 + 2x92319
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления.
Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18.
Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно
Формулировка в заданиях ЕГЭ связана с математическими свойствами, позволяющими быстро определить значение x без компьютера. Однако для нахождения ответа компьютер потребуется.
Разбор задания данной модели смотри здесь

Модель Б.

Значение арифметического выражения 
3⋅31258+2⋅6257−4⋅6256+3⋅1255−2⋅254−2025 
записали в системе счисления с основанием 25.
Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

Задание можно решить "программно" - вычислить значения в десятичной системе счисления и, при переводе в систему счисления с соответствующуем основанием, подсчитеть количество нужных цифр.
Для понимания "процесса", задание  можно выполнить  "руками" (без компьютера). Подробности смотрим здесь  
 

Модель В.
Значение арифметического выражения 7170+7100−x ,
где x – целое положительное число, не превышающее 2030,
записали в 7-ричной системе счисления.
Определите наибольшее значение x, при котором в 7-ричной записи числа,
являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 71 нуль.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления
Задание такого типа  появилось в 2024 году.  Решение этого задания желательно делать "комбинированным" способом (программа + "ручной" способ)
Подробности смотрим здесь
 

Рассмотрим "перспективное" задание

Числа AB267D1p и F024A89p записаны в системе счисления с основанием p.
При каком минимальном p сумма этих чисел будет делиться на p–1?

Для решения этого задания надо:
  • учитывать, что p > F 
  • "придется вспомнить" способ нахождения остатка  по модулю (p-1). Это остаток совпадает с остатком "суммы цифр".
Найдем сумму цифр S = (A+B+2+6+7+D+1) + (F+0+2+4+A+8+9)= 50 + 48 = 98 
Минимальный делитель 98  больший 14 (15-1) равен 49. Следовательно p=50.  

Добавим несколько простых правил для позиционных систем счисления 
  • \(10_P = P_{10}\)
  • \(10^k_P = 10_{p^k}\)
  • \(11_P = 10_{P+1}\)

 
Пропустить Навигационные Ссылки.
Чтобы оставить комментарий нужна авторизация
Печать