Экзамены и диагностики

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 50. Если при этом в куче оказалось не более 100 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что он сделал свой ход.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 49.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

 

Вопрос 1

При каком минимальном значении S у Вани есть выигрышная стратегия, при которой он побеждает своим первым ходом?

 

Вопрос 2

Сколько существует таких значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

В ответе запишите одно число - количество таких значений S.

 

Вопрос 3

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

 

Формат ввода ответов 

На каждое задание ответы пишите с новой строки. Например, если ответ на первый вопрос 1, на второй 2, на третий 4, то ответы надо записать так:

1
2
4

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи два камня или уменьшить количество камней в куче в два раза (если в куче нечетное количество камней, остается на один меньше, чем забрали. Например, если было 15 камней, останется 7). Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 21. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 21 или меньше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 22 ≤ S.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

 

Вопрос 1

Найдите максимальное значение S, при котором Ваня победит своим первым ходом при любой игре Пети?

 

Вопрос 2

Найдите максимальное и минимальное значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

 

Вопрос 3

Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

 

Формат ввода ответов 

На каждое задание ответы пишите с новой строки. Например, если ответ на первый вопрос 1, на второй 2 и 3, на третий 4, то ответы надо записать так:

1
2 3
4

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи один или два камня или уменьшить количество камней в куче в два раза (только если в куче в текущий момент четное количество камней). Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 10. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 10 или меньше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 11 ≤ S.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

 

Вопрос 1

При каком значении S Ваня победит первым ходом при любой игре Пети?

 

Вопрос 2

Найдите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

 

Вопрос 3

Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

 

Формат ввода ответов 

На каждое задание ответы пишите с новой строки. Например, если ответ на первый вопрос 1, на второй 2 и 3, на третий 4, то ответы надо записать так:

1
2 3
4

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или пять камней или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 27. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 27 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 26.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

 

Вопрос 1

Сколько существует таких значений S, что Ваня выигрывает своим первым ходом независимо от того, как сходил Петя?

 

Вопрос 2

Сколько существует таких значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

 

Вопрос 3

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

 

Формат ввода ответов 

На каждое задание ответы пишите с новой строки. Например, если ответ на первый вопрос 1, на второй 2, на третий 4, то ответы надо записать так:

1
2
4

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 34. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 34 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 33.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

 

Вопрос 1

Известно, что Ваня победил своим первым ходом после первого хода Пети. При каком минимальном значении S это возможно?

 

Вопрос 2

Найдите минимальное и максимальное среди таких значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

 

Вопрос 3

Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

 

Формат ввода ответов 

На каждое задание ответы пишите с новой строки. Например, если ответ на первый вопрос 1, на второй 2 и 3, на третий 4, то ответы надо записать так:

1
2 3
4

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 70. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 70 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 69.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

 

Вопрос 1

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

 

Вопрос 2

Найдите три таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

 

Вопрос 3

Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

 

Формат ввода ответов 

На каждое задание ответы пишите с новой строки. Например, если ответ на первый вопрос 1, на второй 2, 3 и 4, на третий 5, то ответы надо записать так:

1
2 3 4
5

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 33. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 33 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 32.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

 

Вопрос 1

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

 

Вопрос 2

Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

 

Вопрос 3

Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

 

Формат ввода ответов 

На каждое задание ответы пишите с новой строки. Например, если ответ на первый вопрос 1, на второй 2 и 3, на третий 4, то ответы надо записать так:

1
2 3
4

В аэропорту города Че начал работать новый аэропорт.  В первые сутки работы был записан файл с временем прилета и вылета самолетов. Самолеты, которые улетали на следующие сутки в файл не были записаны. Определите максимальное число самолетов, которые находились в аэропорту одновременно и в течении какого максимального промежутка времени (в минутах) находилось в аэропорту такое число самолетов. Учитываются только самолеты, информация о которых записана в файле.

Входные данные
Первая строка содержит число N - общее количество самолетов за весь день. В каждой из следующих N строк содержится пара значений, где первое значение в паре показывает время прилета самолета, а второе значение - время вылета (время прилета и вылета находится в диапазоне от 00:00 до 23:59, причем гарантируется, что время прилета меньше времени вылета) . Все данные в строках разделены одним пробелом. 
При совпадающем времени считается, что прилет происходит раньше вылета.

В ответе запишите два целых числа через пробел: сначала максимальное количество самолетов, которые находились в аэропорту одновременно, затем максимальный промежуток времени (в минутах), в течении которого в аэропорту было такое число транзитных самолетов. 

Если самолет прилетел в 12:00, а вылетел в 12:01, то считается, что он пробыл в аэропорту 2 минуты.

Файл к заданию
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6 09:00 10:07 10:20 11:35 12:00 17:00 11:00 11:30 11:20 12:30 11:30 18:15	4 1

Квадрат разлинован на N × N клеток (1 < N < 30). Исполнитель ЭМУ может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вверх. По команде вправо ЭМУ перемещается в соседнюю правую клетку, по команде вверх – в соседнюю верхнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стены ЭМУ пройти не может. 
В начальный момент времени у ЭМУ имеется запас фруктов, равный числу, записанному в стартовой клетке. При переходе с клетки на клетку ЭМУ съедает определеное число фруктов. При перемещении вправо ЭМУ съедает столько фруктов сколько записанно в клетке, в котороую он перемещается, плюс еще 2. При перемещении вверх ЭМУ съедает удвоенное число фруктов, записанное в клетке, в которую он перемещается, Определите максимальное и минимальное число фруктов, которые останутся в запасе у ЭМУ, пройдя из левой нижней клетки (стартовая клетка) в правую верхнюю.
В ответе укажите два числа – сначала максимальное число, затем минимальное. Оба числа указываются в одной строке через один пробел.
Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером N × N, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщенными линиями.

В файле содержится последовательность целых чисел. Элементы последовательности могут принимать целые значения от -10 000 до 10 000 включительно. Определите количество пар последовательности, в которых оба числа четные, а сумма элементов пары не более максимального чётного элемента последовательности. В ответе запишите количество найденных пар, затем максимальную из сумм элементов таких пар (два числа через пробел в одной строке). В данной задаче под парой подразумевается два идущих подряд элемента последовательности.

Файл к заданию

Исполнитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть четыре команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1
2. Прибавить 3
3. Умножить на 2
4. Умножить на 3

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Известно, что исполнитель не может получить число, которое уже было им получено ранее на этом шаге из данного числа. Например, из числа 3 можно получить числа 4, 6, 6 и 9. Выполнить команду номер 3 исполнитель не сможет, потому что число 6 уже было получено ранее.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 5 результатом является число 51 и траектория вычислений не содержит число 42?

Исполнитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть четыре команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1
2. Прибавить 3
3. Умножить на 2
4. Умножить на 3

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Известно, что исполнитель не может получить число, которое уже было им получено ранее на этом шаге из данного числа. Например, из числа 3 можно получить числа 4, 6, 6 и 9. Выполнить команду номер 3 исполнитель не сможет, потому что число 6 уже было получено ранее.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 2 результатом является число 42?

Исполнитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1
2. Прибавить 3
3. Возвести в квадрат

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Известно, что исполнитель не может повторить команду, выполненную на предыдущем шаге. Например, если была выполнена команда 1, на следующем шаге могут быть выполнены только команды 2 или 3.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 2 результатом является число 33, и при этом траектория вычислений содержит число 5, но не содержит число 6?

Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 11, 12.

Исполнитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1

2. Прибавить 3

3. Умножить на 2

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Определите, сколько команд будет содержать самая короткая программа, при которой из числа 2 результатом является число 341.

В ответе запишите одно число - количество команд в подходящей под условие программе.

Исполнитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1
2. Умножить на 2

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Какое количество различных чисел будут повторяться в результатах из исходного числа 2, если известно, что траектория вычислений программы, включая исходное число, состоит ровно из 6 чисел?

Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из четырех чисел: 7, 8, 16, 17.

Исполнитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1

2. Умножить на 2

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Сколько различных чисел можно получить из исходного числа 2, если известно, что траектория вычислений программы, включая исходное число, состоит ровно из 6 чисел?

Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из четырех чисел: 7, 8, 16, 17.

Исполнитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1

2. Прибавить 3

3. Возвести в квадрат

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 3 результатом является число 30, и при этом траектория вычислений содержит число 15, но не содержит числа 10 и 20?

Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 11, 12.

Исполнитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 3

2. Умножить на 3

3. Возвести в квадрат

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 2 результатом является число 45, и при этом траектория вычислений содержит числа 12 и 36?

Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 10, 30, 33.

Исполнитель преобразует число на экране. У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1
2. Умножить на 2
3. Сделать нечетное

Команда “Сделать нечетное” прибавляет к числу 1, если оно четное.

Программа для исполнителя – это последовательность команд.
Сколько существует программ, для которых при исходном числе 5 результатом является число 25, и при этом траектория вычислений содержит число 10 и не содержит число 20? 
Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.

Исполнитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1

2. Умножить на 2

3. Сделать четное

Команда “Сделать четное” прибавляет к числу 1, если оно нечетное.

Программа для исполнителя – это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 7 результатом является число 25, и при этом траектория вычислений содержит число 12?

Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.