Динамическое программирование: один параметр

На столе лежат N камней. За ход игрок может взять:

- 1 или 2 камня, если N делится на 3;

- 1 или 3, если N при делении на 3 дает остаток один;

- 1, 2 или 3, если N при делении на 3 дает остаток два.

Каждый ход можно сделать при наличии достаточного количества камней. Проигрывает тот, кто хода сделать не может.

 

Входные данные: вводится целое число \(0 < N <= 100\).

 

Выходные данные: выведите 1 или 2 – номер игрока, который выиграет при правильной игре.

В небоскребе n этажей. Известно, что если уронить стеклянный шарик с этажа номер p, и шарик разобьется, то если уронить шарик с этажа номер p+1, то он тоже разобьется. Также известно, что при броске с последнего этажа шарик всегда разбивается.

 

Вы хотите определить минимальный номер этажа, при падении с которого шарик разбивается. Для проведения экспериментов у вас есть два шарика. Вы можете разбить их все, но в результате вы должны абсолютно точно определить этот номер.

 

Определите, какого числа бросков достаточно, чтобы заведомо решить эту задачу.

 

Программа получает на вход количество этажей в небоскребе n.

 

Требуется вывести наименьшее число бросков, при котором можно всегда решить задачу.

 

Комментарий к первому примеру. Нужно бросить шарик со 2-го этажа. Если он разобьется, то бросим второй шарик с 1-го этажа, а если не разобьется - то бросим шарик с 3-го этажа.

 

1. Как следует действовать, если шарик был бы только один?

2. Пусть шариков два и мы бросили один шарик с этажа номер k. Как мы будем действовать в зависимости от того, разобьется ли шарик или нет?

3. Пусть f(n) - это минимальное число бросков, за которое можно определить искомый этаж, если бы в небоскребе было n этажей. Выразите f(n) через значения f(a) для меньших значений a.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4	2
2	7	3

При переработке радиоактивных материалов образуются отходы двух типов: А (неопасные) и B (особо опасные). Отходы каждого типа упаковываются в контейнеры, а затем контейнеры складываются в стопки. Стопка считается взрывоопасной, если в ней есть три или больше контейнеров с особо опасными отходами (типа B) расположены рядом. Для заданного количества контейнеров N определите, сколько есть способов составить безопасную стопку.

 

Входная строка содержит натуральное число – количество контейнеров N в стопке (1 <= N <= 35).

 

Программа должна вывести одно число – количество способов составить безопасную стопку из N контейнеров.

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3	7

В зоомагазине нужно расставить в один ряд клетки с животными. В ряд помещается N клеток, при этом есть одно ограничение: нельзя ставить рядом две клетки с собаками (иначе они передерутся). Предполагается, что в магазине есть неограниченное количество клеток с разными животными. Определите, сколькими безопасными способами можно расставить N клеток в ряд.

 

Входные данные

Входная строка содержит одно натуральное число – количество клеток в ряду N .

 

Выходные данные

Программа должна вывести количество безопасных способов расстановки N клеток в ряд.

Ввод	Вывод
5	13

Кузнечик прыгает по столбикам, расположенным на одной линии на равных расстояниях друг от друга. Столбики имеют порядковые номера от 1 до N . В начале Кузнечик сидит на столбике с номером 1. Он может прыгнуть вперед на расстояние от 1 до K столбиков, считая от текущего. Требуется найти количество способов, которыми Кузнечик может добраться до столбика с номером N. Учитывайте, что Кузнечик не может прыгать назад.

 

Поскольку количество способов, которое нужно найти, может быть очень велико, вычислите его по модулю \(10^6 + 7\) , то есть найдите остаток от деления этого числа на \(10^6 + 7\) .

 

Входные данные: входная строка содержит натуральные числа N и K, разделённые пробелом. Гарантируется, что \(1 <= N ,\ K <= 10000\).

 

Выходные данные: программа должна вывести одно число: количество способов, которыми Кузнечик может добраться до столбика с номером N , вычисленное по модулю \(10^6+7\).

Кузнечик прыгает по столбикам, расположенным на одной линии на равных расстояниях друг от друга. Столбики имеют порядковые номера от 1 до N . В начале Кузнечик сидит на столбике с номером 1. Он может прыгнуть вперед на расстояние от 1 до K столбиков, считая от текущего. Требуется найти количество способов, которыми Кузнечик может добраться до столбика с номером N . Учитывайте, что Кузнечик не может прыгать назад.

 

Входная строка содержит натуральные числа N и K , разделённые пробелом. Гарантируется, что 1 ≤ N , K ≤ 32 .

 

Программа должна вывести одно число: количество способов, которыми Кузнечик может добраться до столбика с номером N .
 

Ввод	Вывод
5 4	8

Кузнечик прыгает по столбикам, расположенным на одной линии на равных расстояниях друг от друга. Столбики имеют порядковые номера от 1 до N . В начале Кузнечик сидит на столбике с номером 1. Он может прыгнуть на следующий столбик или сразу на второй столбик, считая от текущего. Требуется найти количество способов, которыми Кузнечик может добраться до столбика с номером N . Учитывайте, что Кузнечик не может прыгать назад.

 

Входная строка содержит натуральное число N ( 1 ≤ N ≤ 45 ).

 

Программа должна вывести одно число: количество способов, которыми Кузнечик может добраться до столбика с номером N .
 

Ввод	Вывод
3	2
10	55

Кузнечик прыгает по столбикам, расположенным на одной линии на равных расстояниях друг от друга. Столбики имеют порядковые номера от 1 до N . В начале Кузнечик сидит на столбике с номером 1. Он может прыгнуть вперед на расстояние от 1 до K столбиков, считая от текущего.

 

На каждом столбике Кузнечик может получить или потерять несколько золотых монет (для каждого столбика это число известно). Определите, как нужно прыгать Кузнечику, чтобы собрать наибольшее количество золотых монет. Учитывайте, что Кузнечик не может прыгать назад.

 

Входные данные
- в первой строке вводятся два натуральных числа: N и K (\(2 <= N ,\ K <= 10000\)), разделённые пробелом;
- во второй строке записаны через пробел N-2 целых числа – количество монет, которое Кузнечик получает на каждом столбике, от 2-го до N-1-го. Если это число отрицательное, Кузнечик теряет монеты.
Гарантируется, что все числа по модулю не превосходят 10000.

 

- в первой строке программа должна вывести наибольшее количество монет, которое может собрать Кузнечик;
- во второй строке выводится число прыжков Кузнечика;
- в третьей строке – номера всех столбиков, которые посетил Кузнечик (через пробел в порядке возрастания).

 

Если правильных ответов несколько, выведите любой из них.

Мише приснился страшный сон  как будто ему очень быстро необходимо разминировать бомбу! На большом дисплее бомбы он видит одно число, рядом есть клавиатура с цифрами (явно для экстренной отмены взрыва), а где-то внизу уже идёт обратный отсчёт. По удачному стечению обстоятельств у него с собой есть инструкция для разминирования, в которой ему нужно срочно разобраться. В такой тяжялой ситуации мозги у Миши совсем отказали и ему явно нужна помощь.
 

Инструкция:

Посчитайте числовой код для числа на дисплее соответственно приведённым правилам и введите его. Применяется первое подошедшее правило:

1. Если число <= 2, то числовой код равен 1.

2. Если число заканчивается на 7, то нужно отнять от него 5. Посчитайте числовой код для нового числа и прибавьте 1.

3. Если число делится на 4 без остатка, его числовой код равен сумме кодов для числа,делённого на 4 и числа, делённого на 2.

4. Во всех остальных случаях к числу нужно прибавить 1.  Посчитайте числовой код для нового числа и прибавьте 2.
 

Какой числовой код нужно ввести Мише?

Формат входных данных

В единственной строке содержится одно число от 1 до 10⁸, которое отображается на дисплее.

Формат выходных данных

Выведите в ответ одно число, которое Мише нужно срочно ввести.

За билетами на премьеру нового мюзикла выстроилась очередь из N человек, каждый из которых хочет купить 1 билет. На всю очередь работала только одна касса, поэтому продажа билетов шла очень медленно, приводя "постояльцев" очереди в отчаяние. Самые сообразительные быстро заметили, что, как правило, несколько билетов в одни руки кассир продаёт быстрее, чем когда эти же билеты продаются по одному. 

Поэтому они предложили нескольким подряд стоящим людям отдавать деньги первому из них, чтобы он купил билеты на всех. 

 

Однако для борьбы со спекулянтами кассир продавала не более 3-х билетов в одни руки, поэтому договориться таким образом между собой могли лишь 2 или 3 подряд стоящих человека.

 

Известно, что на продажу i-му человеку из очереди одного билета кассир тратит A_i секунд, на продажу двух билетов - Bi секунд, трех билетов - Ci секунд. Напишите программу, которая подсчитает минимальное время, за которое могли быть обслужены все покупатели.

 

Обратите внимание, что билеты на группу объединившихся людей всегда покупает первый из них. Также никто в целях ускорения не покупает лишних билетов (то есть билетов, которые никому не нужны).

 

Входные данные: 
- в первой строке записано число N - количество покупателей в очереди (\(1<=N<=5000\));
- далее идет N троек натуральных чисел Ai, Bi, Ci. Каждое из этих чисел не превышает 3600. Люди в очереди нумеруются начиная от кассы.

 

Выходные данные: выведите одно число - минимальное время в секундах, за которое могли быть обслужены все покупатели.

 

Шахматная ассоциация решила оснастить всех своих сотрудников такими телефонными номерами, которые бы набирались на кнопочном телефоне ходом коня. Например, ходом коня набирается телефон 340-4927. При этом телефонный номер не может начинаться ни с цифры 0, ни с цифры 8.

 

Клавиатура телефона выглядит так:

 

Напишите программу, определяющую количество телефонных номеров длины N, набираемых ходом коня.

 

Входные данные: на вход подается целое число N (\(1<=N<=50\)).

 

Выходные данные: выведите файл искомое количество телефонных номеров.

На прямой дощечке вбиты гвоздики. Любые два гвоздика можно соединить ниточкой. Требуется соединить какие-то пары гвоздиков ниточками так, чтобы к каждому гвоздику была привязана хотя бы одна ниточка, а суммарная длина всех ниточек была минимальна.

 

- в первой строке записано число N - количество гвоздиков (\(2 <= N <= 100\));
- в следующей строке записано N чисел - координаты всех гвоздиков (неотрицательные целые числа, не превосходящие 10000).

 

Выходные данные: выведите единственное число - минимальную суммарную длину всех ниточек.

Чтобы подготовиться к предстоящей битве Bonkisilver должен прокачать свой скил, а, как известно, лучшим способом это сделать, является употребление mtn dew при прослушивании дабстепа в 4:20 по МСК. Полученный скилл вычисляется по формуле:

f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) + f(n / 2),
где n - количество литров mtn dew, выражаемое целым числом. Операция n/2 означает целочисленное деление числа n на 2.

Также, известно, что

f(1) = 1 microCoinZ 
f(x) = 0 microCoinZ, при x < 1.

Помогите Bonkisilver сосчитать полученное количество microCoinZ.
 

На вход подается число n (0 <= n <= 70).
 

Выведите одно число - полученный скилл. 

PS: Mountain Dew, также MTN DEW — безалкогольный сильногазированный прохладительный напиток, торговая марка американской компании PepsiCo. 

Bonkisilver очень хочет стать MLG pro и попасть в FaZe clan. Для этого он каждый день практикуется в стрельбе из снайперской винтовки. В качестве поощрения, за каждый noscope он получает 2 пачки doritos, а за каждый quickscope - одну. Сколько вариантов сделать выстрелы было у Bonkisilver, если в итоге у него была n-1 пачка.
 

На вход подается число n (1 <= n <= 50).
 

Выведите одно число - количество вариантов сделать выстрелы. 

 

 

Задача Иосифа Флавия

 

Существует легенда, что Иосиф Флавий - известный историк первого века - выжил и стал известным благодаря математической одаренности. 

В ходе иудейской войны он в составе отряда из 41 иудейского воина был загнан римлянами в пещеру. Предпочитая самоубийство плену, воины решили 

выстроиться в круг и последовательно убивать каждого третьего из живых до тех пор, пока не останется ни одного человека. 

Однако Иосиф наряду с одним из своих единомышленников счел подобный конец бессмысленным - он быстро вычислил спасительные места 

в порочном круге, на которые поставил себя и своего товарища. И лишь поэтому мы знаем его историю.

 

В нашем варианте мы начнем с того, что выстроим в круг N человек, пронумерованных числами от 1 до N, и будем исключать каждого k-ого до тех пор, пока не уцелеет только 

один человек. (Например, если N=10, k=3, то сначала умрет 3-й, потом 6-й, затем 9-й, затем 2-й, затем 7-й, потом 1-й, потом 8-й, за ним - 5-й, и потом 10-й. Таким образом, уцелеет 4-й.)

 

Задача: определить номер уцелевшего.

 

Входные данные: числа N и k вводятся из строки. 

Ограничения: 1<=N<=500, 1<=k<=100.

 

Выходные данные: Программа должна выдавать номер уцелевшего человека.

 

Пример входного файла:

10 3

 

Пример выходного файла:

4