Разреженные таблицы (sparse table)

Алексей, возможно, самый умный и при этом самый ленивый человек в мире. Сегодня он участвует в олимпиаде.

На олимпиаде участникам даны \(n\) задач, за правильное решение \(i\)-й задачи, участник получит \(a_i\) баллов, за неправильное решение баллов не дают. Дипломы призера дадут тем участникам, которые наберут хотя бы половину от суммарного числа баллов. Например, если на олимпиаде дано три задачи, стоимости которых в баллах равны \(1\), \(3\) и \(4\), соответственно, для получения диплома призера достаточно набрать четыре балла.

Алексей пришел на олимпиаду с целью получить диплом призера. При этом Алексей очень умен и может правильно решить любую задачу на олимпиаде. Но в то же время Алексей очень ленив и хочет решить как можно меньше задач.

Алексей настолько ленив, что даже задачи, которые он будет решать, выбирает лениво. Он хочет выбрать некоторую задачу с номером \(k\), а затем решать задачи с номерами \(k, k+1, k+2 \ldots\) до тех пор, пока ему не будет хватать баллов на диплом призера. Максимум, на что готов Алексей, это пропустить одну задачу и не решать ее, чтобы решить в итоге еще меньше задач.

Зная стратегию Алексея и информацию о задачах олимпиады, определите минимальное количество задач, которые нужно решить Алексею, чтобы получить диплом призера.

Формат входных данных
В первой строке дано одно натуральное число \(n\) — количество задач на олимпиаде (\(1 \le n \le 10^5\)).

Во второй строке заданы \(n\) чисел \(a_1, a_2, \dots a_n\) — стоимости каждой задачи в баллах (\(1 \le a_i \le 10^9\)).

Формат выходных данных
Выведите одно число — минимальное количество задач, которые может решить Алексей, придерживаясь своей стратегии, чтобы получить диплом призера.

В первом тесте из примера для получения диплома призера необходимо набрать хотя бы четыре балла. Алексей может начать решать с третьей задачи, пропустить четвертую и набрать четыре балла, решив две задачи.

Во втором тесте достаточно решить только вторую задачу, набрав три балла.

В этой задаче Вам вновь придется помочь Берляндии. Эта страна состоит из n городов, некоторые пары из которых соединены двусторонними дорогами, каждая дорога характеризуется своей длиной. Все города пронумерованы числами от 1 до n, столица имеет номер 1. Время от време ни Президент объезжает страну, посещая города страны. Целью каждой поездки является один из городов, к которому он едет из столицы вдоль дорог одним из кратчайших путей.

В далекие времена (когда задачи на алгоритм Дейкстры вызывали сложность) специальное ведомство составила такой набор дорог T, вдоль которого можно было проехать из столицы в любой город, причем единственным образом. Разумеется, путь по дорогам из набора T из столицы в каждый город являлся кратчайшим. Особо умные жители страны попросту называли этот набор дорог "деревом кратчайших путей". Известно, что Президент пользовался дорогами из T во время своих поездок. За прошедшие годы этот набор перестал быть секретным, и, поэтому, стал объектом повышенного внимания берляндских экстремистов. У специального ведомства новое задание. Для каждого города кроме столицы необходимо вычислить кратчайшее расстояние до него, при условии, что та дорога по которой Президент должен был закончить свой путь в этот город является атакованной и проезжать по ней нельзя.

Входные данные
В первой строке входного файла записана пара целых чисел n и m (2 ≤ n≤ 4000; n−1 ≤ m ≤100000), где n — количество городов в стране, а m— количество дорог в этой стране. Далее в m строках содержатся описания дорог, по одной дороге в строке. Каждая дорога задается четверкой целых чисел a_j, b_j, l_j, t_j , где a_j, b_j это номера городов, соединяемых дорогой (1 ≤ a_j,b_j ≤ n; a_j≠b_j), l_j — ее длина (1 ≤ l_j≤ 10⁵), а t_j равно 1 если дорога принадлежит дереву кратчайших путей и 0 в противном случае.

Гарантируется, что набор T удовлетворяет описанным выше свойствам. Между парой городов может быть более одной дороги. Все дороги двусторонние.

Выходные данные
Выведите n−1 число в строку через пробелы. i-ое число должно быть равно либо длине кратчайшго пути из столицы в город i+1, при условии, что по той дороге из T, которой Президент заканчивал свой путь в этот город, передвигаться нельзя, либо -1, если добраться до города i+1 вообще невозможно.