ЕГЭ-14. Позиционные системы счисления

Значение арифметического выражения \(3 \cdot 27^9 + 2 \cdot 27^6 + 27^3 - x\), где x – целое положительное число, не превышающее 27 000, записывали в 27-ричной системе счисления.

Определите наименьшее значение x, при котором в 27-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 6 нулей.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

17⋅125⁴⁵³ + 117⋅5²³¹ − 3⋅5¹³ − 2357

записали в системе счисления с основанием 125. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых не превышает 37.

Значение арифметического выражения 4²¹⁰ + 4¹¹⁰ — x, где x — целое положительное число, не превышающее 3000, записали в четверичной системе счисления. Определите наименьшее значение x, при котором в четверичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится наибольшее количество нулей.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

3⋅4²³³ + 2⋅8¹⁰ + 321 − x,

где x — натуральное число, записали в системе счисления с основанием 8. Найдите значение x, при котором значение выражения положительно и сумма значений цифр в этой записи наибольшая.

В системе счисления с основанием p выполняется равенство

y07x + wy9z = zxyxy .

Буквами x, y, z и w обозначены некоторые цифры из алфавита системы счисления с основанием p, все эти цифры различные. Определите наименьшее возможное значение p и вычислите xyzw_p; запишите в ответе десятичное значение этого числа.

(К. Багдасарян) Значение арифметического выражения 7⁴⁰⁰ + 7³⁰⁰ — х, где х — натуральное число, не превышающее 7⁴⁰⁰, записали в системе счисления с основанием 7. Определите наибольшее количество нулей, которое может содержать семиричная запись значения данного арифметического выражения.

(Демо-2025) Значение арифметического выражения

3 · 3125⁸ + 2 · 625⁷ — 4 · 625⁶ + 3 · 125⁵ — 5 · 25⁴ — 2025

записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

(ЕГЭ-2024) Значение арифметического выражения 6²⁰³⁰ + 6¹⁰⁰ — х, где х — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 6-ричной системе счисления. Определите наибольшее количество нулей, которое может содержать число, являющееся 6-ричной записью значения данного арифметического выражения.

(PRO100-ЕГЭ) Операнды арифметического выражения записаны в системах счисления с различными основаниями.

9A87x21₁₂ + 2x68₁₄ — 1x2F4₁₆

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 3. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 3 и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.

(М. Ишимов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 12.

591x8x8₁₂ + 522x1₁₂ + 8x6Ax₁₂ + 7x762₁₂

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 12-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(П. Финкель) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с различными основаниями:

5x9x4₁₂ + 7xx6₁₄ + 55xx8₁₆ — 3yx7₁₉

В записи чисел x и y обозначают неизвестные цифры из алфавита соответствующей системы счисления. Определите все пары цифр (x, y), при которых значение данного арифметического выражения является простым числом. В ответе запишите максимальное из произведений всех таких пар (x, y).

(В. Шубинкин) Операнды арифметического выражения записаны в системах счисления с основаниями 15 и 17.

131x1₁₅ + 13x3₁₇

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра, допустимая в данных системах счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

(А. Богданов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 18:

9009x₁₈ + 2257x₁₈

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 18-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 15. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 15 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

(А. Богданов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17:

9759x₁₇ + 3x108₁₇

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 17-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.