ЕГЭ-14. Позиционные системы счисления

Значение арифметического выражения \(3 \cdot 27^9 + 2 \cdot 27^6 + 27^3 - x\), где x – целое положительное число, не превышающее 27 000, записывали в 27-ричной системе счисления.

Определите наименьшее значение x, при котором в 27-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 6 нулей.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(В. Лашин) Операнды равенства записаны в системе счисления с некоторым основанием p:

KOT_p + GOLODNI_p = MEEOW_p·100_p — 20194023088₁₀

Определите наименьшее возможное основание системы счисления, при котором данное равенство будет выполняться. Для найденной системы счисления p вычислите и укажите в ответ значение арифметического выражения PURR_p в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(Р. Косов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с некоторым основанием p:

22A12E_p + 2F1391_p — 1H05D0_p

Определите наименьшее возможное основание системы счисления, при котором значение данного арифметического выражения кратно 19. Для найденной системы счисления p вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 19 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(Р. Косов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с некоторым основанием p:

2465123_p + 251341_p

Определите наименьшее возможное основание системы счисления, при котором значение данного арифметического выражения кратно 17. Для найденной системы счисления p вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 17 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(Р. Косов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с некоторым основанием p:

11353712_p + 135421_p

Определите наибольшее возможное основание системы счисления, при котором значение данного арифметического выражения не превышает 10⁹. Для найденной системы счисления p вычислите значение данного арифметического выражения укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(Р. Косов) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с некоторым основанием p:

11353712_p + 135421_p

Определите наименьшее возможное основание системы счисления, при котором значение данного арифметического выражения кратно 31. Для найденной системы счисления p вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 31 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

20⋅3²⁴³ + 17⋅81⁷⁰ + 14⋅243³⁵ + 254 − 224⋅3³⁰

записали в системе счисления с основанием 243. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых не превышает 20 и является простым числом.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

30⋅36²³¹ + 18⋅6¹⁰¹ − 3⋅36⁴⁵ − 2357

записали в системе счисления с основанием 36. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых кратно либо 5, либо 3, но не кратно 5 и 3 одновременно.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

17⋅125⁴⁵³ + 117⋅5²³¹ − 3⋅5¹³ − 2357

записали в системе счисления с основанием 125. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых не превышает 37.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

39⋅121³¹⁹ + 46⋅11⁹¹³ − 15⋅1331¹⁵ − 1993

записали в системе счисления с основанием 121. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых не менее 64 и не более 104.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

77⋅81²⁰³¹ + 23⋅729¹⁰³⁷ − 7⋅9³⁰²³

записали в системе счисления с основанием 81. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых кратно 4.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

15⋅49²³⁷ + 37⋅343⁵⁰⁰ − 14⋅7³⁵

записали в системе счисления с основанием 49. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых превышает 15.

(А. Богданов) Некоторое число X записали в системах счисления с основаниями 32, 16 и 8. При этом часть символов потерялась, этим (не обязательно одинаковые) символы были заменены на звёздочки:

X = 1C*₃₂ = **D₁₆ = **3*₈

Найдите наибольшее возможное значение X и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(А. Богданов) Некоторое число X записали в системах счисления с основаниями 32, 16 и 8. При этом часть символов потерялась, этим (не обязательно одинаковые) символы были заменены на звёздочки:

X = *D*₃₂ = *A*₁₆ = 2**5₈

Найдите наибольшее возможное значение X и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения 49⁷¹+7¹⁵— x, где x — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в семеричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в семеричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится не менее 11 цифр шесть. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения 25⁷⁵ — x, где x — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в пятеричной системе счисления. Определите наименьшее значение x, при котором в пятеричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится не более одной единицы. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(А. Богданов) Дано арифметическое выражение:

13_88x88 + 14x₁₀₀

Основания систем счисления записаны в десятичной системе счисления, переменной х обозначена неизвестная цифра. Определите значение х, при котором значение данного арифметического выражения кратно 99. Для найденного значения х вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 99 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(А. Богданов) Дано арифметическое выражение:

13_9x87 + 1x9₁₀₀

Основания систем счисления записаны в десятичной системе счисления, переменной х обозначена неизвестная цифра. Определите значение х, при котором значение данного арифметического выражения кратно 99. Для найденного значения х вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 99 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(А. Богданов) Дано арифметическое выражение:

75_37x + 37_x73

Основания систем счисления записаны в десятичной системе счисления, переменной х обозначена неизвестная цифра. Определите значение х, при котором значение данного арифметического выражения кратно 99. Для найденного значения х вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 99 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(А. Богданов) Дано арифметическое выражение:

77_25x − 33_x25

Основания систем счисления записаны в десятичной системе счисления, переменной х обозначена неизвестная цифра. Определите значение х, при котором значение данного арифметического выражения кратно 99. Для найденного значения х вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 99 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.