ЕГЭ-14. Позиционные системы счисления

(В. Лашин) Операнды равенства записаны в системе счисления с некоторым основанием p:

KOT_p + GOLODNI_p = MEEOW_p·100_p — 20194023088₁₀

Определите наименьшее возможное основание системы счисления, при котором данное равенство будет выполняться. Для найденной системы счисления p вычислите и укажите в ответ значение арифметического выражения PURR_p в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

20⋅3²⁴³ + 17⋅81⁷⁰ + 14⋅243³⁵ + 254 − 224⋅3³⁰

записали в системе счисления с основанием 243. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых не превышает 20 и является простым числом.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

30⋅36²³¹ + 18⋅6¹⁰¹ − 3⋅36⁴⁵ − 2357

записали в системе счисления с основанием 36. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых кратно либо 5, либо 3, но не кратно 5 и 3 одновременно.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

39⋅121³¹⁹ + 46⋅11⁹¹³ − 15⋅1331¹⁵ − 1993

записали в системе счисления с основанием 121. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых не менее 64 и не более 104.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

77⋅81²⁰³¹ + 23⋅729¹⁰³⁷ − 7⋅9³⁰²³

записали в системе счисления с основанием 81. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых кратно 4.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения

15⋅49²³⁷ + 37⋅343⁵⁰⁰ − 14⋅7³⁵

записали в системе счисления с основанием 49. Определите количество цифр в этой записи, числовое значение которых превышает 15.

(А. Богданов) Некоторое число X записали в системах счисления с основаниями 32, 16 и 8. При этом часть символов потерялась, этим (не обязательно одинаковые) символы были заменены на звёздочки:

X = 1C*₃₂ = **D₁₆ = **3*₈

Найдите наибольшее возможное значение X и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(А. Богданов) Некоторое число X записали в системах счисления с основаниями 32, 16 и 8. При этом часть символов потерялась, этим (не обязательно одинаковые) символы были заменены на звёздочки:

X = *D*₃₂ = *A*₁₆ = 2**5₈

Найдите наибольшее возможное значение X и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения 49⁷¹+7¹⁵— x, где x — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в семеричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в семеричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится не менее 11 цифр шесть. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) Значение арифметического выражения 25⁷⁵ — x, где x — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в пятеричной системе счисления. Определите наименьшее значение x, при котором в пятеричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится не более одной единицы. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(А. Богданов) Арифметическое выражение

SIRIUS_p + LYCEUM_q

содержит числа, записанные в системах счисления с основаниями р и q. Заглавные латинские буквы от A до Z обозначают цифры со значениями от 10 до 35 соответственно. Найдите минимальную сумму p+q, при которых значение этого выражения кратно 2025. Запишите в ответе частное от деления значения этого выражения на 2025 в десятичной системе счисления. Примечание: значения p и q могут быть больше, чем 36.

В системе счисления с основанием p выполняется равенство

y09x + yy7w = wzyzy .

Буквами x, y, z и w обозначены некоторые цифры из алфавита системы счисления с основанием p, все эти цифры различные. Определите наименьшее возможное значение p и вычислите xyzw_p; запишите в ответе десятичное значение этого числа.

(О. Лысенков) Операнды арифметического выражения A23xAC0₂₂ + GBx21670₂₂ записаны в системе счисления с основанием 22. В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 22-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 21. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 22 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Значение арифметического выражения

5·9²² + 3·9¹² + 2·81⁵ + 5·729² + 30 — x,

где x — натуральное число, записали в системе счисления с основанием 9. Определите наименьшее значение x, при котором в этой записи восьмёрок будет больше, чем нулей. В ответе запишите найденное значение x в десятичной системе счисления.

Значение арифметического выражения

5·7²² + 3·7¹⁵ + 2·49⁶ + 5·343³ + 30 — x,

где x — натуральное число, записали в системе счисления с основанием 7. Определите наименьшее значение x, при котором в этой записи шестёрок будет больше, чем нулей. В ответе запишите найденное значение x в десятичной системе счисления.

В числах BA3x98ADF₁₅₃ и C1x78A75₁₅₃ переменная x обозначает некоторую цифру из алфавита системы счисления с основанием 153. Определите наибольшее значение x, при котором произведение приведённых чисел кратно 152. В ответе запишите значение числа 5xA₁₅₃ в десятичной системе счисления.

В числах A7FxDA6F3₉₇ и A1xDE052₉₇ переменная x обозначает некоторую цифру из алфавита системы счисления с основанием 97. Определите наибольшее значение x, при котором произведение приведённых чисел кратно 96. В ответе запишите значение числа 4xB₉₇ в десятичной системе счисления.

В числах F53xFE6D7₅₇ и C3xDE052₅₇ переменная x обозначает некоторую цифру из алфавита системы счисления с основанием 57. Определите наибольшее значение x, при котором произведение приведённых чисел кратно 56. В ответе запишите значение числа 3xA₅₇ в десятичной системе счисления.

В числах F53xA1DEB₃₇ и C3xDE052₃₇ переменная x обозначает некоторую цифру из алфавита системы счисления с основанием 37. Определите наибольшее значение x, при котором произведение приведённых чисел кратно 36. В ответе запишите значение числа 2x5₃₇ в десятичной системе счисления.

(А. Родионов) Значение арифметического выражения 5 · 3^98765432101 — 3⁹⁸⁷ + 3⁶⁵⁴³ — 21

записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?