Префиксные суммы(минимумы, ...)

ID 57757. Длина последовательности

Рассмотрим отрезок целых неотрицательных чисел от \(l\) до \(r\). Запишем их подряд в десятичной системе счисления, получив строку \(a\). Например, если \(l=3\), \(r=10\), то \(a=345678910\).

Найдите такой отрезок подряд идущих неотрицательных чисел \([l,r]\) (\(0 \le l \le r \le 10^{18}\)), что записанная для него строка \(a\) имеет длину ровно \(S\), а количество чисел на отрезке \([l,r]\) максимально.

Формат входных данных
Первая строка содержит одно целое число \(S\) (\(1 \le S \le 10^{18}\)).

Формат выходных данных
В первой строке выведите длину отрезка \([l,r]\). Если решения не существует, выведите одно целое число \(-1\).

Если решение существует, во второй строке выведите искомые границы отрезка \(l\) и \(r\).

Если существуют несколько решений, выведите любое из них.

ID 50403. Вася и Петя

Друзья Вася Л. и Петя П. — талантливые мальчики, которые любят писать песни собственного сочинения. В будущем они хотят стать популярными музыкантами. Ребята знают: чтобы добиться успеха, нужно регулярно тренироваться. Именно поэтому они каждый день пишут по новой песне, совершенствуя свое мастерство.

Однажды Петя в очередной раз написал грустную песню про любовь и поспешил показать ее Васе. Песня представляет собой строку из маленьких букв английского алфавита. У Васи сразу возникло \(q\) вопросов про эту песню. Каждый вопрос представляет собой некоторый отрезок песни с позиции \(l\) до позиции \(r\) включительно. Вася рассматривает подстроку, образованную символами на этом отрезке, а затем повторяет каждую букву в этой подстроке \(k\) раз, где \(k\) — порядковый номер соответствующей буквы в алфавите. Например, если Вася выбрал подстроку <<abbcb>>, то он повторит букву <<a>> один раз, каждую из букв <<b>> — по два раза, букву <<c>> — три раза, и полученная строка будет равна <<abbbbcccbb>>, ее длина равна 10. Вася интересуется именно длиной полученной строки.

Помогите Пете ответить Васе на его вопросы, а именно, для каждого из заданных вопросов определите длину строки, которую выпишет Вася.

Формат входных данных
В первой строке вводятся числа \(n, q\) (\(1\leq n\leq 100\,000, 1\leq q \leq 100\,000\)) — длина песни и количество вопросов.

Во второй строке дана строка \(s\) — сама песня, представляющая собой строку длины \(n\) из маленьких букв английского алфавита.

В следующих \(q\) строках даны описания вопросов. Каждое описание состоит из двух чисел \(l\) и \(r\) \((1 \leq l \leq r \leq n)\) — границы каждого из вопросов.

Формат выходных данных
Выведите \(q\) строк — для каждого вопроса выведите длину строки, которую выпишет Вася.

В первом примере Васю интересуют три вопроса. В первом вопросе Вася рассматривает подстроку <<aba>>, которая превратится в <<abba>>, а значит, ответ на этот вопрос равен 4. Во втором вопросе Вася рассматривает подстроку <<baca>>, которая превратится в <<bbaccca>>, а значит, ответ на этот вопрос будет равен 7. В третьем вопросе Вася рассматривает всю строку <<abacaba>>, которая превратится в <<abbacccabba>> — строку длины 11.

Для получение номера буквы можно использовать следующий код:

• В языке python3 или pypy3 выражение ord(x) - 96, например ord(a) - 96 равно 1, а ord(x) - 96 равно 24.

• В языке c++ выражение x - 96, например a - 96 равно 1, а x - 96 равно 24.

• В языке pascal выражение ord(x) - 96, например ord(a) - 96 равно 1, а ord(x) - 96 равно 24.

ID 49446. Битовый баланс двоичной строки

Битмен ищет битовый баланс у двоичной строки (строки, состоящей только из 0 и 1). Чтобы найти битвой баланс, Битмен разбивает строку на две непустые подстроки (левую подстроку и правую подстроку). Затем Битмен считает сумму количества нулей в левой подстроке и количества единиц в правой подстроке. Битовый баланс двоичной строки равен максимальной сумме, полученной после какого-либо разбиения строки на подстроки.

Формат входных данных
На вход подается строка (2 <= длина строки <= 1000). Строка состоит только из символов 0 и 1. 

Формат выходных данных
Выведите одно число - битовый баланс строки.


Примечание
В тестовом примере все возможные способы разить строку на 2 непустые строки следующие:

left = "0" и right = "11101", сумма = 1 + 4 = 5 
left = "01" и right = "1101", сумма = 1 + 3 = 4 
left = "011" и right = "101", сумма = 1 + 2 = 3 
left = "0111" и right = "01", сумма = 1 + 1 = 2 
left = "01110" и right = "1", сумма = 2 + 1 = 3

Битовый баланс равен максимальному значению суммы, следовательно ответ 5.

ID 49321. Опорная точка

Назовем опорным числом последовательности натуральных чисел - целое число x, такое что:

• Сумма всех элементов между 1 и x включительно равна сумме всех элементов между x и n включительно.

Например, для числовой последовательности из 8 элементов (числа от 1 до 8 включительно) опорным числом будет число 6 (1+2+3+4+5+6 = 6+7+8).

Для заданного натурального числа n, найдите минимальную опорную точку последовательности натуральных чисел от 1 до n.

Формат входных данных
Программа получает на вход натуральное число n (1 <= n <= 2000).

Формат выходных данных
Выведите минимальную опорную точку последовательности натуральных чисел от 1 до n. Если такой точки не существует, вернуть -1.

ID 49190. Подсчет прибыли

ID 49127. Средний индекс массива

Дан массив целых чисел nums (первый элемент массива имеет индекс 0). Найдите наименьший "средний" индекс массива.

Средний индекс - это индекс, для которого выполняется условие: сумма элементов слева от индекса равна сумме элементов справа от индекса (не включая сам элемент со средним индексом). То есть

leftSum[middle] = rightSum[middle].

Где:

middle - средний индекс массива.
leftSum[middle] - сумма элементов, стоящих слева от элемента nums[middle]. Если таких элементов нет, то leftSum[middle] = 0. 
rightSum[middle] - сумма элементов, стоящих справа от элемента nums[middle]. Если таких элементов нет, то rightSum[middle] = 0.

Формат входных данных
Первая строка содержит натуральное число N (1 <= N <= 105) - количество элементов в массиве nums. Вторая строка содержит N чисел numsi - элементы массива nums (|numsi|<=1000, 0 <= i < N).

Формат выходных данных
Выведите одно число - наименьший "средний" индекс массива. Если такого индекса нет, то выведите -1.

ID 48795. Разность сумм

Дан массив целых чисел (nums) с индексацией, начинающейся с 0. Сформируйте новый массив целых чисел (ans), в котором i-й элемент вычисляется по формуле:

 ans[i] = |leftSum[i] - rightSum[i]|.

Где:

leftSum[i] - сумма элементов, стоящих слева от элемента nums[i]. Если таких элементов нет, то leftSum[i] = 0.
rightSum[i] - сумма элементов, стоящих справа от элемента nums[i]. Если таких элементов нет, то rightSum[i] = 0.

Выведите элементы нового массива на экран в одну строку, разделяя элементы одним пробелом. Количество элементов нового массива должно быть равно количеству элементов исходного.

Формат входных данных
Первая строка содержит число n (n <= 10⁵). Во второй строке записаны n целых чисел numsi - элементы массива nums (|numsi| < 10⁶).

Формат выходных данных
Выведите на экран n чисел - элементы нового массива на экран в одну строку, разделяя элементы одним пробелом.

ID 43722. Непрерывная подпоследовательность

Дана последовательность из N натуральных чисел. Известно, что сумма всех чисел последовательности не превышает 10⁹. Рассматриваются все её непрерывные подпоследовательности, в которых количество нечётных чисел кратно K = 7. Найдите наибольшую сумму такой подпоследовательности. 

Входные данные
Первая строка входных данных содержит одно число N (1 <= N <= 1 000 000) -  количество чисел. Каждая из следующих N строк содержит одно натуральное число, не превышающее 1 000.
 
Входные данные
Выведите ответ на задачу

ID 43721. Два мусоровоза

На каждом километре кольцевой автодороги с двусторонним движением установлены контейнеры для мусора. Длина кольцевой автодороги равна N километров. Нулевой километр и N-й километр автодороги находятся в одной точке. Известно количество мусора, которое накапливается ежедневно в каждом из контейнеров.
На автодороге работают два мусоровоза. Один едет по часовой стрелке, другой против. Оба мусоровоза выезжают из центра переработки одновременно навстречу друг другу и встречаются возле одного из контейнеров. Из одного контейнера вывезти мусор может только один мусоровоз. Время доставки мусора вычисляется как произведение количества мусора на расстояние от пункта до центра переработки. Центр переработки отходов открыли в одном из пунктов сбора мусора таким образом, чтобы общее время сбора мусора двумя мусоровозами было минимально.
Определите, возле контейнера с каким номером необходимо поставить центр переработки, чтобы потребовалось минимальное время мусоровозам для сбора мусора.

Входные данные
Первая строка входных данных содержит число N (1 <= N <= 10 000 000) – количество пунктов сбора мусора на кольцевой автодороге. В каждой из следующих N строк находится число – количество мусора в контейнере (все числа натуральные, количество мусора в каждом пункте не превышает 1000). Числа указаны в порядке расположения контейнеров на автомагистрали, начиная с первого километра.

Выходные данные
Выведите на экран одно число - ответ на задачу.
 

Примеры

ID 43720. Дартс

Петя и Ваня решили придумать свои правила для игры Дартс. Они взяли круглое игровое поле и поделили его на сектора. Сектора нумеруются натуральными числами. Каждому сектору назначили количество очков, которое можно получить, если попасть дротиком в него. Перед началом игры выбирается нулевой сектор, который служит точкой отсчета: количество очков, которое набирает игрок, попадая в сектор, считается как количество очков, указанное в секторе, умноженное на расстояние (количество секторов) от нулевого сектора. При попадании в нулевой сектор количество очков равно нулю.

Поскольку заранее неизвестно, в какие именно сектора попадут игроки, нулевой сектор следует выбирать так, чтобы при однократном попадании во все сектора игрового поля игрок набирал максимальное количество очков.

Определите, какой сектор необходимо выбрать нулевым.


Входные данные
Первая строка входных данных содержит число N — количество секторов, на которые разделено игровое поле.
Следующие N строк содержат по одному числу — количество очков, которые набирают игроки, попадая в соответствующий сектор, начиная с сектора с номером 1.

Выходные данные
Выведите одно число — номер сектора, который необходимо выбрать как нулевой.
 

Примеры

ID 43124. Бинарная сортировка

Вы решили съездить проведать своего друга из Озерска. Однако на въезде в город вас остановили и попросили решить задачу, чтобы удостовериться, что вы действительно можете проехать на территорию закрытого города.
Бинарная строка это строка, состоящая только из символов 0 и 1. Полицейский дал вам бинарную строку s₁s₂ ... s_n. Нужно отсортировать эту строку (то есть превратить ее в строку вида 00 ... 0011 ... 11) за наименьшее количество операций. За одну операцию вы можете сделать следующее:
• Выбрать произвольный индекс в строке 1 <= i <= n;
• Для всех j >= i поменять значение в j-й позиции на противоположное, то есть если s_j = 1, то сделать s_j = 0, и наоборот.

Входные данные
Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит целое число t (1 <= t <= 10⁴) количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.
Первая строка каждого набора входных данных содержит единственное целое число n (1 <= n <= 10⁵) длину строки.
Вторая строка каждого набора входных данных содержит бинарную строку s длины n.
Гарантируется, что сумма n по всем наборам входных данных не превосходит 2 ·10⁵.

Выходные данные
Для каждого набора входных данных выведите единственное целое число минимальное количество операций, которое потребуется сделать, чтобы отсортировать строку.
 

Примеры

ID 41228. XOR и любимое число

У Эвана есть любимое число k и массив a_i длины n. Теперь он просит вас ответить на m запросов.

Для каждого запроса, задаваемого парой чисел l и r, требуется найти количество пар целых чисел i и j таких, что l ≤ i ≤ j ≤ r и xor чисел a_i, a_i + 1, ..., a_j равен k.

Входные данные:
В первой строке даны целые числа n, m и k (1 ≤ n, m ≤ 10⁵, 0 ≤ k ≤ 10⁶) — длина массива, количество запросов и любимое число Эвана соответственно.
Во второй строке записаны n целых чисел ai (0 ≤ a_i ≤ 10⁶) — имеющийся у Эвана массив.
Дальше идут m строк. В i-й строке записаны числа l_i и r_i (1 ≤ l_i ≤ r_i ≤ n), определяющие i-й запрос.

Выходные данные:
Выведите m строк, ответы на запросы в порядке их появления во входных данных.

Примеры:
 

ID 39964. Максимальные вопросы

У Макс в блокноте были записаны две строки s длины n и t длины m, состоящие из букв «a» и «b» латинского алфавита. Причем Макс знает, что строка t имеет вид «abab...», то есть на нечетных позициях строки стоит буква «a», а на четных — «b».

Вдруг утром Макс обнаружила, что кто-то испортил ее строку s. Некоторые буквы s были заменены на символ «?».

Назовем последовательность позиций i, i + 1, ..., i + m - 1 вхождением строки t в s, если 1 ≤ i ≤ n - m + 1 и t₁ = s_i, t₂ = s_i + 1, ..., t_m = s_{i + m - 1}.

Красота строки s оценивается как максимальное количество непересекающихся вхождений строки t в нее. Макс может заменить некоторые из символов «?» на «a» или «b» (символы на разных позициях можно заменять на разные буквы). Макс хочет произвести замены так, чтобы красота строки s была максимально возможной. Из всех таких вариантов она хочет заменить как можно меньше символов «?». Найдите, сколько замен она должна сделать.

Входные данные:
Первая строка содержит одно целое число n (1 ≤ n ≤ 10⁵) — длину строки s.
Вторая строка входных данных содержит строку s длины n, состоящую только из букв «a» и «b» латинского алфавита, а также символов «?».
Третья строка содержит целое число m (1 ≤ m ≤ 10⁵) — длину строки t. Сама строка t содержит «a» на нечетных позициях, и «b» на четных.

Выходные данные:
Выведите единственное целое число — минимальное количество замен, которое должен сделать Вася, чтобы сделать красоту строки s максимально возможной.

Примеры:
 

ID 39675. Культурный контакт

В начале XVIII века группа европейских исследователей прибыла на остров, населённый группой племён, никогда не вступавших в контакт с представителями европейской цивилизации.

Для успешного налаживания контактов с аборигенами руководитель группы планирует делать подарок вождю каждого встреченного племени. С этой целью он привёз длинную цепочку из стекляшек, похожих на драгоценные камни. 
Представим цепочку как строку s, состоящую из маленьких букв английского алфавита, где каждая буква означает тип кусочка стекла на соответствующей позиции. 
Исследователи собираются разрезать цепочку на некоторые фрагменты, после чего вручать ровно один фрагмент вождю каждого встреченного группой племени. Руководитель исследователей решил разделить цепочку на фрагменты согласно следующим правилами:

• Чтобы не тратить на разрезания много времени, каждый фрагмент должен являться группой соседних стекляшек цепочки, то есть подстрокой строки s.
• Все стекляшки должны быть использованы, то есть каждая стекляшка должна оказаться включённой ровно в один фрагмент.
• Поскольку исследователи не знают, как аборигены оценят те или иные виды стекляшек, они хотят, чтобы каждому вождю достался один и тот же набор стекляшек без учёта порядка. Иными словами, для любого типа стекляшек количество стекляшек этого типа должно быть одинаковым в каждом из фрагментов.
• Исследователи не знают, сколько племён обитает на острове, поэтому количество подготовленных фрагментов должно быть максимальным.

ID 39674. Гекльберри Финн и две строки

У Гекльберри Финна есть две строки s и t одинаковой длины n.
Гекльберри Финну нравится, когда у строк одинаковые префиксы (начала), поэтому он может поменять местами два символа в строке s, чтобы общий префикс строк s и t стал больше.
Однако этот трюк довольно утомительный, поэтому Гекльберри Финн либо совсем не будет его делать, либо сделает ровно один раз.

Помогите Гекльберри Финну определить наибольшую длину общего префикса строк s и t, которую он может получить.


Входные данные:
В первой строке дано натуральное число n (1 <= n <= 200000) - длина строк s и t
Во второй строке дана строка s, состоящая из строчных латинских букв.
В третьей строке дана строка t, состоящая из строчных латинских букв.

Выходные данные:
Выведите одно натуральное число - наибольшую длину общего префикса s и t, которую можно получить, применив операцию обмена двух символов в строке s не более одного раза.

Примеры:
 

ID 39673. Чтение вслух

Том Сойер и Гекльберри Финн вместе читают вслух вырезку из газеты. Но получилось так, что Том Сойер начал читать с i-ого символа, а Гекльберри Финн с j-ого. 
Сколько букв они смогут прочитать, прежде чем обнаружат, что начали читать с разных мест или пока оба не дочитают до конца?

Входные данные:
В первой строке дана строка S (1 <= |S| <= 10⁵), состоящая из строчных латинских букв - надпись из газетной вырезки.
В следующей строке дано натуральное число q - количество запросов.
В следующих q строках дано по два натуральных числа i и j - позиции, с которых начинают читать Том Сойер и Гекльберри Финн соответственно.

Выходные данные:
Выведите q строк, в каждой из которых должно быть одно целое число - количество символов, совпадающих при чтении подстрок, начинающихся с i-ого и j-ого символа.

Примеры:
 

ID 39672. Том Сойер и слово на заборе

Во время покраски забора Том Сойер написал на нем слово s. Однако затем он решил, что слова-палиндромы смотрятся красивее.
Теперь он хочет дописать к имеющемуся слову s справа другое слово g так, чтобы получившееся слово sg было палиндромом. Однако в целях экономии краски длина g должна быть как можно меньше.
Помогите Тому Сойеру определить слово g.

Входные данные:
В первой строке дано слово s (1 <= |s| <= 200000), состоящее из строчных латинских букв.

Выходные данные:
Выведите минимально возможное по длине слово g, которое нужно дописать, чтобы слово sg на заборе стало палиндромом. Если дописывать ничего не надо, то выведите '-'.

Примеры:
 

ID 39671. Подстроки в строке

Дана строка S = s₁s₂...s_n и множество запросов вида (l₁, r₁, l₂, r₂). Для каждого запроса требуется ответить, равны ли подстроки s_l1...s_r1 и s_l2...s_r2.


Входные данные:
В первой строке дана строка S (1 <= |S| <= 10⁵), состоящая из строчных латинских букв. 
Во второй строке дано натуральное число q (1 <= q <= 10⁵) - количество запросов.
В следующих q строках дано по 4 натуральных числа - l₁, r₁, l₂, r₂ (1 <= l₁ <= r₁ <= |S|, 1 <=l₂ <= r₂ <= |S|).

Выходные данные:
Для каждого запроса выведите '+', если подстроки равны, и '-', в противном случае.

Примеры:
 

ID 39574. Нет времени рисовать

Беси недавно получила набор красок, и она хочет разрисовать длинную изгородь с одной стороны её пастбища. Изгородь состоит из N последовательных 1-метровых сегментов (1≤N≤10⁵). У Беси есть краски 26 различных цветов, которые она пометила буквами от 'A' до Z' в порядке возрастания темноты ('A' - самый светлый цвет, 'Z' - самый тёмный). Поэтому она может описывать раскраску изгороди как строку из N символов (где каждый символ один из - от 'A' до Z').
Изначально все сегменты изгороди не раскрашены. Беси может раскрасить любой непрерывный диапазон сегментов одним цветом за одно прикосновение кисти, также она никогда не красит более светлым поверх более темного (она может красить более темным поверх более светлого).

Например, изначально не покрашенный отрезок длины 4 она может покрасить так:

.... -> BBB. -> BBLL -> BQQL
Ограниченная во времени, Беси может оставить некоторые последовательные отрезки не покрашенными. Сейчас она рассматривает Q кандидатов отрезков (1≤Q≤10⁵), каждый задаётся двумя целыми числами (a,b) (1≤a≤b≤N), указывающих индексы конечных точек отрезка, которые должны остаться не раскрашенными.

Для каждого кандидата укажите минимальное количество прикосновений, которое требуется, чтобы раскрасить все сегменты вне этого диапазона с желаемым цветом, оставляя сегменты внутри диапазона не раскрашенными. Заметим, что Беси в реальности ничего не раскрашивает, поэтому ответы для каждого диапазона-кандидата независимы.

Входные данные
Первая строка содержит N и Q.
Следующая строка содержит N, представляющих желаемый цвет каждого сегмента изгороди.

Каждая из следующих Q строк содержит два разделённых пробелом целых числа a и b представляющих диапазон сегментов, которые возможно останутся не раскрашенными.

Выходные данные
Для каждого из Q кандидатов выведите ответ на новой строке.

Примеры

8 2
ABBAABCB
3 6
1 4

ID 39482. Подпоследовательность длиной L

Дана последовательность из N чисел. Рассматриваются все её непрерывные подпоследовательности, в которых количество отрицательных чисел не превышает С. Найдите среди них подпоследовательность с максимальной суммой, длины L. В ответе укажите сумму найденной подпоследовательности.

Входные данные
В первой строке записаны 3 числа: количество чисел N (1 <= N <= 1 000 000),  L и C (\(1 <= L, C <= N <= 1 000 000\)). Каждая из следующих N строк содержит одно число, не превышающее по модулю 1 000.

Пример организации исходных данных во входном файле (для L = 3 и С = 3):
5 3 3
1
-1
2
-2
3

В этом наборе можно выбрать несколько последовательностей, но с максимальной суммой равной 3 будет: 2+(-2)+3. 
Ответ (для С = 3 и L = 3): 3.