ЕГЭ-15. Математическая логика

ID 95320. ЕГЭ-15К. Делители и пересечение: большие числа

Элементами множеств \(A\), \(P\) и \(Q\) являются натуральные числа. Множество \(P\) — это все натуральные делители числа 720, множество \(Q\) — все натуральные делители числа 1080.

Известно, что выражение

\(((x \in A) \rightarrow (x \in P)) \land (\lnot(x \in Q) \rightarrow \lnot(x \in A))\)

истинно при любом значении переменной \(x\). Определите наибольшее возможное количество элементов множества \(A\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95319. ЕГЭ-15К. Делители и объединение множеств (средний+)

Элементами множеств \(A\), \(P\) и \(Q\) являются натуральные числа. Множество \(P\) — это все натуральные делители числа 360, множество \(Q\) — все натуральные делители числа 540.

Известно, что выражение

\((x \in A) \rightarrow ((x \in P) \lor (x \in Q))\)

истинно при любом значении переменной \(x\). Определите наибольшее возможное количество элементов множества \(A\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95318. ЕГЭ-15К. Делители и пересечение множеств (средний)

Элементами множеств \(A\), \(P\) и \(Q\) являются натуральные числа. Множество \(P\) — это все натуральные делители числа 240, множество \(Q\) — все натуральные делители числа 600.

Известно, что выражение

\(((x \in A) \rightarrow (x \in P)) \land (\lnot(x \in Q) \rightarrow \lnot(x \in A))\)

истинно при любом значении переменной \(x\). Определите наибольшее возможное количество элементов множества \(A\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95317. ЕГЭ-15К. Делители: наименьшее y (сложный)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[10;40]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 22, отличных от 1 и самого числа 22; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наименьшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95316. ЕГЭ-15К. Делители: двойное исключение (сложный)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[3;100]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 291, отличных от 1 и самого числа 291; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95315. ЕГЭ-15К. Делители: ловушка на чётность (средний)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[2;50]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 15, отличных от 1 и самого числа 15; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95314. ЕГЭ-15К. Отрезок и делители (средний)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[4;38]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 51, отличных от 1 и самого числа 51; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95313. ЕГЭ-15К. Делители: граница и исключение (средний+)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[5;72]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 355, отличных от 1 и самого числа 355; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95312. ЕГЭ-15К. Делители: граница и исключение (средний+)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[4;66]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 305, отличных от 1 и самого числа 305; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95311. ЕГЭ-15К. Делители: верхнее простое в B (средний)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[3;40]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 74, отличных от 1 и самого числа 74; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95310. ЕГЭ-15К. Отрезок и делители: вариант 3 (лёгкий)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[7;28]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 91, отличных от 1 и самого числа 91; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95309. ЕГЭ-15К. Отрезок и делители: вариант 2 (лёгкий)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[3;45]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 14, отличных от 1 и самого числа 14; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95308. ЕГЭ-15К. Отрезок и делители: вариант 1 (лёгкий)

На числовой прямой дан отрезок \(A=[2;30]\). Пусть \(B\) — множество всех натуральных делителей числа 6, отличных от 1 и самого числа 6; \(C\) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \(y\), отличных от 1 и самого числа \(y\) (число \(y\) таково, что множество \(C\) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \(y\), при котором выражение

\((x \in C) \rightarrow ((x \in A) \land \lnot(x \in B))\)

истинно при любом значении переменной \(x\).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95286. ЕГЭ-15. Координатная плоскость: произведение (большие числа)

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (x\cdot y \gt A) \lor (x \gt y) \lor (1000 \gt x) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

ID 95285. ЕГЭ-15. Координатная плоскость: произведение (базовая)

Для какого наибольшего натурального числа \( A \) выражение

\( (x\cdot y \gt A) \lor (x \gt y) \lor (11 \gt x) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

ID 95284. ЕГЭ-15. Координатная плоскость: линейное (большие числа)

Для какого наименьшего натурального числа \( A \) выражение

\( (x \lt A) \land (y \lt 2A) \lor (3x + y \gt 20001) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

ID 95283. ЕГЭ-15. Координатная плоскость: линейное (базовая)

Для какого наименьшего натурального числа \( A \) выражение

\( \big((x \lt A) \land (y \lt 2A)\big) \lor (3x + y \gt 90) \)

тождественно истинно для любых натуральных чисел \( x \) и \( y \)?

В ответе укажите одно целое число.

ID 95282. ЕГЭ-15. Числовые отрезки (большие координаты)

На числовой прямой даны два отрезка: \( P = [2000; 5500] \) и \( Q = [3500; 8000] \). Укажите наименьшую возможную длину отрезка \( A \), при которой выражение

\( (x\in P) \to \big((x\in Q)\land \neg(x\in A) \to \neg(x\in P)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95281. ЕГЭ-15. Числовые отрезки (базовая)

На числовой прямой даны два отрезка: \( P = [20; 55] \) и \( Q = [35; 80] \). Укажите наименьшую возможную длину отрезка \( A \), при которой выражение

\( (x\in P) \to \big(((x\in Q)\land \neg(x\in A)) \to \neg(x\in P)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.

ID 95280. ЕГЭ-15. Крылов: оригинал, вариант 2

На числовой прямой дан отрезок \( A = [7; 26] \). Пусть \( B \) — множество всех натуральных делителей числа 77, отличных от 1 и самого числа 77; \( C \) — множество всех натуральных делителей некоторого натурального числа \( y \), отличных от 1 и самого числа \( y \) (число \( y \) таково, что множество \( C \) непусто).

Укажите наибольшее возможное значение числа \( y \), при котором выражение

\( (x \in C) \to \big((x \in A) \land \neg(x \in B)\big) \)

истинно при любом значении переменной \( x \).

В ответе укажите одно целое число.