Системы счисления

Преобразуйте дробь.

Входные данные
Дана запись двоичной дроби, как в задаче "Binary periodical fraction to decimal", но в целых числах точки может не быть. Необходимо представить ее в виде несократимой рациональной дроби n/m.

Выходные данные
Программа должна вывести значения n и m .

Дано рациональное число. Запишите его в виде двоичной периодической дроби.

Входные данные
На вход программа получает два натуральных числа n и m, каждое из которых не превосходит 1000.

Выходные данные
Программа должна вывести значение n/m, записанное в виде двоичной периодической дроби, при этом длина непериодической дробной части и длина периода должны быть минимально возможными. Если данное число является конечной двоичной дробью, периодическую часть выводить не надо.

Преобразуйте двоичное число.

Входные данные
Дана запись целого двоичного числа или двоичной периодической дроби, которая включает в себя:

1. Необязательную целую часть.
2. Необязательный символ точки, отделяющий целую часть от дробной. 

3. Необязательную дробную непериодическую часть. 

4. Необязательную периодическую дробную часть, записываемую в круглых скобках.

Выходные данные
Необходимо определить значение этой дроби, сохранить его в переменной типа double и вывести на экран с точностью не менее 12 знаков. Общая длина входной строки не превосходит 30 символов.

Переведите десятичное число в двоичную систему.

Входные данные
Дано действительное неотрицательное число, не превосходящее 100, записанное в десятичном виде. Целые числа при этом могут не содержать точку.

Выходные данные
Необходимо представить число в виде двоичной дроби с фиксированной точкой и вывести это представление. Ответ должен отличаться от правильного не более, чем на 2 − 32 , то есть необходимо вывести не менее 32 двоичных цифр после точки.

Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную.

Входные данные
Дано число, представленное в виде двоичной дроби: запись длиной не более 30 символов, содержащая цифры 0 и 1 и, возможно, одну точку.

Выходные данные
Необходимо вывести данное число в виде десятичной дроби (тип переменной double с точностью не менее 12 знаков).

В 3141 году очередная экспедиция на Марс обнаружила в одной из пещер таинственные знаки. Они однозначно доказывали существование на Марсе разумных существ. Однако смысл этих таинственных знаков долгое время оставался неизвестным. Недавно один из ученых, профессор Очень-Умный, заметил один интересный факт: всего в надписях, составленных из этих знаков, встречается ровно K
 различных символов. Более того, все надписи заканчиваются на длинную последовательность одних и тех же символов.

Вывод, который сделал из своих наблюдений профессор, потряс всех ученых Земли. Он предположил, что эти надписи являются записями факториалов различных натуральных чисел в системе счисления с основанием K. А символы в конце - это конечно же нули - ведь, как известно, факториалы больших чисел заканчиваются большим количеством нулей. Например, в нашей десятичной системе счисления факториалы заканчиваются на нули, начиная с 5!=1·2·3·4·5 . А у числа 100! в конце следует 24 нуля в десятичной системе счисления и 48 нулей в системе счисления с основанием 6 - так что у предположения профессора есть разумные основания!

Теперь ученым срочно нужна программа, которая по заданным числам N и K найдет количество нулей в конце записи в системе счисления с основанием K числа N!=1·2·3·...·(N-1)·N, чтобы они могли проверить свою гипотезу. Вам придется написать им такую программу!

Входные данные
В первой строке входных данных содержатся числа N и K, разделенные пробелом, (1 <= N <= 10⁹, 2 <= K <= 1000).

Выходные данные
Выведите число X - количество нулей в конце записи числа N! в системе счисления с основанием K.

Переведите натуральное число из двоичной системы в десятичную (в двоичном числе не более 10 цифр).

Входные данные
Вводится натуральное число, записанное в двоичной системе.

Выходные данные
Выведите число, записанное в десятичной системе.

Переведите число {1} из 10-й СС в двоичную СС
 

В гостинице для жирафов администрация хочет запастись подушкам так, чтобы удовлетворить потребности любого своего возможного постояльца. Известно, что жирафам в зависимости от длины их шеи нужно сложить стопку подушек (в стопке одна или несколько подушек) толщиной от \(1\) до \(n\) сантиметров. При этом администрация хочет обойтись как можно меньшим числом подушек, а среди наборов подушек, удовлетворяющих этим требованиям, администрация выберет набор минимальной суммарной толщины, чтобы он занимал минимальный объём в шкафу.

Помогите администрации составить нужный набор подушек, позволяющий получить стопку любой высоты от \(1\) до \(n\) сантиметров включительно.

Формат входных данных
Во входных данных записано единственное целое число \(n\) — максимально возможная длина шеи жирафа (\(1 \leq n \leq 10^9\)).

Формат выходных данных
В единственной строке через пробел выведите толщину каждой подушки в этом наборе в произвольном порядке. Если ответов несколько, выведите любой из них.

Замечание

В примере из условия необходимо подобрать такой набор из минимального числа подушек, чтобы используя данные подушки удавалось сложить стопку любой целочисленной толщины от \(1\) до \(9\) см. Таким набором является набор из подушек толщиной \(1\), \(2\), \(3\), \(3\) см. Действительно, стопку толщины \(1\), \(2\), \(3\) см можно сложить из одной подушки. Оставшиеся числа получены так: \(4=1+3\), \(5=2+3\), \(6=3+3\), \(7=1+3+3\), \(8=2+3+3\), \(9=1+2+3+3\). Возможны и другие варианты ответа с тем же количеством подушек и их суммарной толщиной. Выполнить условие задачи, используя только три подушки, нельзя.

Тимофей готовится к ЕГЭ. Для отработки навыка скорости и точности поиска ответов на задания по теме «Системы счисления» ему часто приходится решать примеры типа «сколько значащих нулей (или единиц) содержит двоичная запись значения выражения 2^a + 2^b − 2^c?». Значащими называются все цифры, кроме нулей в начале числа (которые обычно и не записываются). Например, десятичное число 20 в двоичной системе счисления записывается как 10100, и в этой записи две значащие цифры «1» и три значащие цифры «0».

Помогите Тимофею по известным a, b и c узнать ответ на задачу.

Входные данные

Программа получает на вход четыре целых неотрицательных числа: a, b, c и d, записанные в отдельных строках. Числа a, b и c соответствуют показателям степеней двоек в задании (0 ≤a, b, c, ≤10⁹). При этом гарантируется, что 2^a + 2^b − 2^c > 0 и a ≠ b.

Число d равно либо 0, либо 1 — цифра, количество которых в значении выражения нужно узнать.

Выходные данные

Программа должна вывести одно неотрицательное целое число — ответ на задачу.

Пример

Ввод	Вывод	Пояснение
4 3 2 1	2	Нужно узнать количество единиц в двоичной записи значения выражения 24 + 23 − 22. Вычислим: 16 + 8 - 4 = 20. 2010 = 101002. Всего две единицы. Такой же результат можно получить, выполнив действия в столбик, не переводя числа в десятичную систему счисления (см. ниже).

 10000
+ 1000
 -----
 11000

 11000
-  100
 -----
 10100

Банк «Кисловодск» переходит на новый вид банковских карт. Для этого производятся одинаковые заготовки, на которых есть специальное место для идентификации клиента. Изначально на этом месте записывается кодовое число X. В банке с помощью специального прибора можно стирать некоторые цифры числа X. Оставшиеся цифры, будучи записанными подряд, должны образовывать номер счета клиента. Например, при X = 12013456789 номера счетов 5, 12, 17 или 12013456789 получить можно, а номера 22 или 71 получить нельзя.

Способ распределения номеров счетов в банке очень прост. Счетам присваиваются последовательно номера 1, 2, … Очевидно, что при таком способе в какой-то момент впервые найдется номер счета N, который нельзя будет получить из цифр X указанным выше способом. Руководство банка хочет знать значение N.

Напишите программу, которая находила бы N по заданному X.

Формат входных данных
Вводится натуральное число X без ведущих нулей (1 ≤ X ≤ 101000). 

Формат выходных данных
Выведите искомое N без ведущих нулей.

Маленький Миша летом гостит у бабушки в деревне. Каждый день он съедает по одному фрукту и отмечает это в своем блокноте. Миша еще слишком мал и умеет рисовать только палочки (I) и галочки (V).  Каждый день, после того как он съел свой фрукт, он в блокнот рисует карандашом одну палочку (I) . Раз в пять дней он стирает четыре предыдущие палочки и рисует галочку (V).
Вас просят определить, какая запись получится у Миши на n-й день пребывания в деревне у бабушки.
 

Формат входных данных
На ввод подается одно число \(n\) (\(1 \le n \le 10\,000\)).

Формат выходных данных
Выведите запись, которая получится в блокноте у Миши на \(n\)-й день.

Если вас интересует математика, то эта задача для вас.

Будем называть целое число \(n\) \(k\)-степенным, если его можно разложить в сумму различных степеней числа \(k\), то есть если \(n\) представимо в виде \(n = k^{a_1} + k^{a_2} + \ldots + k^{a_d}\), где все \(a_i\) целые и \(a_i \ne a_j\) для всех \(i \ne j\).

Ответьте на множество запросов: какое минимальное целое число, большее либо равное \(n_i\), является \(k_i\)-степенным?

Формат входных данных
Первая строка ввода содержит целое число \(q\) — количество запросов, на которые вам предстоит ответить (\(1 \le q \le 10^5\)).

Каждая из следующих \(q\) строк содержит два целых числа \(n_i\) и \(k_i\), описывающие \(i\)-й запрос (\(1 \le n_i \le 10^9\); \(2 \le k_i \le 10^9\)).

Формат выходных данных
Выведите \(q\) строк, в \(i\)-й из которых выведите минимальное \(k_i\)-хорошее число, большее либо равное \(n_i\).

Для заданного в 10-й с/с дробного числа требуется определить разницу длин целой и дробной части этого числа в 5-й с/с при переводе с точностью до 8 разрядов.
Входные данные
положительное число в 10-й с/с, целая и дробная часть которого не превышают 8 разрядов каждая. Целая и дробная части разделяются точкой. Дробная часть может отсутствовать.
Выходные данные
неотрицательное целое число - разница между количеством разрядов целой и дробной части в пятеричной системе счисления.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Примечание
1	8.4	1	8.410=13.25, количество разрядов целой части на 1 больше, чем дробной
2	1.5	7	1.510=1.(2)5=1.222222225, в 5-й с/с дробь не имеет конечного представления, поэтому ограничиваем длину 8 дробными разрядами

Переведите {1}  из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

После четвёртого сезона Шерлок и Мориарти осознали бессмысленность баталии, развернувшейся между ними, и решили дальше соревноваться в мирную игру “Банковские карты”.

Правила у этой игры предельно просты: каждый игрок приносит свою любимую банковскую карту с \(n\)-значным номером. Далее оба игрока по очереди называют последовательные цифры из банковской карты. Если цифры не совпадают, то участник, цифра которого оказывается меньше, получает щелбан от другого игрока. Например, если \(n=3\) и у Шерлока номер карты \(123\), а у Мориарти \(321\), то сначала Шерлок называет число \(1\), а Мориарти называет число \(3\) и Шерлок получает щелбан. Затем и Шерлок и Мориарти называют число \(2\), и щелбан не получает никто. Наконец на третьем шаге, Шерлок называет \(3\), а Мориарти называет \(1\) и получает щелбан.

Шерлок, конечно, будет играть честно, но Мориарти, как настоящий злодей, подсмотрел номер карты Шерлока и теперь хочет называть цифры своей банковской карты не последовательно, а в некотором другом порядке (однако количество каждой из цифр он не изменяет). Например в случае выше, Мориарти мог бы назвать цифры в последовательности \(3\), \(2\), \(1\) и не получил бы щелбанов вообще, а мог назвать \(2\), \(3\) и \(1\) и выдать Шерлоку целых два щелбана.

Вам поручено вычислить, какое минимальное количество щелбанов Мориарти точно получит и какое максимальное число Мориарти может дать Шерлоку. Обратите внимание, что это две разные цели, и они могут достигаться при использовании разных порядков.

Формат входных данных
В первой строке находится одно целое число \(n\) (\(1 \leqslant n \leqslant 1000\)) — количество цифр в банковских картах Шерлока и Мориарти.

Во второй строке записана последовательность из \(n\) цифр — номер кредитной карточки Шерлока.

В третьей строке записана последовательность из \(n\) цифр — номер кредитной карточки Мориарти.

Формат выходных данных
В первой строке выведите одно число — минимальное число щелбанов, которое обязательно получит Мориарти.

Во второй строке выведите так же одно число — максимальное число щелбанов, которое Мориарти может дать Шерлоку.

В данной задаче 50 тестов, помимо тестов из условия, каждый из них оценивается в 2 балла. Результаты работы ваших решений на первых 30 тестах будут доступны во время соревнования. Результаты работы на остальных 20 будут доступны после окончания соревнования.

Решения, корректно работающие при \(1 \leq n \leq 3\), наберёт не менее \(10\) баллов.

Решения, корректно работающие при \(1 \leq n \leq 8\), наберет не менее \(30\) баллов.

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	1	YES
2	4	YES
3	5	NO

По данному натуральному числу N выведите такое наименьшее целое число k, что \(2^k >= N\).

Входные данные
Программа получает на вход натуральное число N.

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	10	4

Дано натуральное число N. Выведите слово YES, если число N является точной степенью двойки, или слово NО в противном случае. Операцией возведения в степень пользоваться нельзя!

Входные данные
Программа получает на вход натуральное число N (N < 10⁹). 

Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5	NO
2	32	YES
3	1	YES