sqrt декомпозиция


Плюсануть
Поделиться
Класснуть
Запинить


Условие задачи Прогресс
ID 29649. Сумма на отрезке - 1
Темы: sqrt декомпозиция   

Дан массив a длины n (\(1 <= n <= 2 \cdot 10^6\), \(1 <= a_i <= 10^9\)). Также даны m (\(1 <= m <= 500\)) запросов вида l, r (\(1 <= l <= r <= n\)).

На каждый запрос нужно вывести сумму чисел на отрезке от l до r включительно. Элементы нумеруются с 1 до n.

 

Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
4
1 2 3 4
2
1 4
1 1
 10
1
2
5
5 5 5 5 5
1
5 5
 5

ID 33699. Максимумы на подотрезках
Темы: Дерево отрезков, RSQ, RMQ    sqrt декомпозиция   

Реализуйте структуру данных для эффективного вычисления максимумов подряд идущих элементов массива.

Входные данные
В первой строке вводится одно натуральное число N (\(1 <= N <= 100000\)) — количество чисел в массиве. Во второй строке вводятся N чисел от 1 до 100000 — элементы массива. В третьей строке вводится одно натуральное число K (\(1 <= K <= 30000\)) — количество запросов на вычисление максимума. В следующих K строках вводится по два числа — номера левого и правого элементов отрезка массива (считается, что элементы массива нумеруются с единицы).

Выходные данные
Для каждого запроса выведите значение максимального элемента на указанном отрезке массива. Числа выводите в одну строку через пробел.

 

Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1 5
2 2 2 1 5
2
2 3
2 5		 2 5

ID 29650. Сумма на отрезке - 2
Темы: sqrt декомпозиция   

Дан массив a длины n (\(1 <= n <= 2 \cdot 10^6\), \(1 <= a_i <= 10^9\)). Также даны m (\(1 <= m <= 500\)) запросов вида t, l, r (\(0 <= t <= 1\), \(1 <= l <= r <= n\)).

Если \(t = 0\), то на запрос нужно вывести сумму чисел на отрезке от l до r включительно. Если \(t = 1\), то элементу с номером l присваивается значение r. Элементы нумеруются с 1 до n. 

 

Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
5
1 2 3 4 5
4
0 1 2
1 1 5
0 1 2
0 1 1
 3
7
5

ID 29651. Максимум на матрице
Темы: sqrt декомпозиция   

Дана матрица a размером \(n \cdot n\) (\(1 <= n <= 1000\), \(1 <= a_i <= 10^9\)). Также даны m (\(1 <= m <= 1000\)) запросов вида x1, y1, x2, y2 (\(1 <= x_1 <= n\), \(1 <= y_1 <= n\), \(x_1 <= x_2 <= n\), \(y_1 <= y_2 <= n\)).
На каждый запрос нужно вывести максимальный элемент в подматрице с координатами краёв x1, y1 и x2, y2.

 

Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
4
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
1
1 1 3 4
 6

ID 29652. Умножение на отрезке
Темы: sqrt декомпозиция   

Дан массив a длины n (\(1 <= n <= 2 \cdot 10^6\), \(1 <= a_i <= 10^9\)). Также даны m (\(1 <= m <= 500\)) запросов вида *, l, r, k (\(1 <= l <= r <= n\), \(0 <= k <10\)) и запросов вида ?, i (\(1 <= i <= n\)).

В первом случае нужно умножить числа на отрезке от l до r включительно на k.

Во втором случае нужно вывести число, стоящее на позиции i.

Элементы нумеруются с 1 до n.

 

Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
5
1 1 1 1 1
3
? 3
* 2 3 9
? 3
 1
9

ID 29653. Поиск числа на отрезке
Темы: sqrt декомпозиция   

Дан массив a длины n (\(1 <= n <= 10^6\), \(1 <= a_i <= 10^9\)). Также даны m (\(1 <= m <= 500\)) запросов вида +, l, r, k (\(1 <= l <= r <= n\), \(-10^9 <= k <= 10^9\)) и запросов вида ?, l, r, k (\(1 <= l <= r <= n\), \(-10^9 <= k <= 10^9\)).

В первом случае нужно добавить к числам на отрезке от l до r включительно, число k.
Во втором случае нужно вывести 1, если на отрезке от l до r включительно, есть число k, иначе вывести 0.

Элементы нумеруются с 1 до n.

Гарантируется, что после любого запроса любой элемент массива a лежит в диапазоне от \(-10^9\) до \(10^9\) включительно.

 

Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1
5
1 2 1 1 3
3
? 1 4 3
* 2 3 2
? 1 4 3
 0
1

ID 38511. Путешествие по строке
Темы: Дерево отрезков, RSQ, RMQ    sqrt декомпозиция    Хеш    Суффиксный массив    Динамическое программирование    Хеш   

Скажем, что последовательность строк t1 , ..., tk является путешествием длины k , если для всех i > 1 ti является подстрокой ti - 1 строго меньшей длины. Например, { ab , b } является путешествием, а { ab , c } или { a , a } — нет.

Определим путешествие по строке s как путешествие t1 , ..., tk , все строки которого могут быть вложены в s так, чтобы существовали (возможно, пустые) строки u1 , ..., uk + 1 , такие, что s = u1t1u2 t2 ... uk tk uk + 1 . К примеру, { ab , b } является путешествием по строке для abb , но не для bab , так как соответствующие подстроки расположены справа налево.

Назовём длиной путешествия количество строк, из которых оно состоит. Определите максимально возможную длину путешествия по заданной строке s .

Входные данные
В первой строке задано целое число n ( 1 ≤ n ≤ 500 000 ) — длина строки s .

Во второй строке содержится строка s , состоящая из n строчных английских букв.

Выходные данные
Выведите одно число — наибольшую длину путешествия по строке s .

Примечание
В первом примере путешествием по строке наибольшей длины является { abcd , bc , c } .

Во втором примере подходящим вариантом будет { bb , b } .

Примеры
№ Входные данные Выходные данные
1 7
abcdbcc		 3
2 4
bbcb		 2

ID 50977. Машинное обучение
Темы: sqrt декомпозиция   

На курсе машинного обучения вам выдали первое домашнее задание — вам предстоит проанализировать некоторый массив из \(n\) чисел.

В частности, вы интересуетесь так называемой равномерностью массива. Предположим, что в массиве число \(b_1\) встречается \(k_1\) раз, \(b_2\) — \(k_2\) раз, и т.д. Тогда равномерностью массива называется такое минимальное целое число \(c \ge 1\), что \(c \ne k_i\) для любого \(i\).

В рамках вашего исследования вы хотите последовательно проделать \(q\) операций.

  • Операция \(t_i = 1\), \(l_i\), \(r_i\) задаёт запрос исследования. Необходимо вывести равномерность массива, состоящего из элементов на позициях от \(l_i\) до \(r_i\) включительно.

  • Операция \(t_i = 2\), \(p_i\), \(x_i\) задаёт запрос уточнения данных. Начиная с этого момента времени \(p_i\)-му элементу массива присваивается значения \(x_i\).

Формат входных данных
Первая строка содержит \(n\) и \(q\) (\(1 \le n, q \le 100\,000\)) — размер массива и число запросов соответственно.

Во второй строке записаны ровно \(n\) чисел — \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_n\) (\(1 \le a_i \le 10^9\)).

Каждая из оставшихся \(q\) строк задаёт очередной запрос.

Запрос первого типа задаётся тремя числами \(t_i = 1\), \(l_i\), \(r_i\), где \(1 \le l_i \le r_i \le n\) — границы соответствующего отрезка.

Запрос второго типа задаётся тремя числами \(t_i = 2\), \(p_i\), \(x_i\), где \(1 \le p_i \le n\) — позиция в которой нужно заменить число, а \(1 \le x_i \le 10^9\) — его новое значение

Формат выходных данных
Для каждого запроса первого типа выведите одно число — равномерность соответствующего отрезка массива.

Примечание

Первый запрос состоит из ровно одного элемента — \(1\). Минимальное подходящее \(c = 2\).

Отрезок второго запроса состоит из четырёх \(2\), одной \(3\) и двух \(1\). Минимальное подходящее \(c = 3\).

Отрезок четвёртого запроса состоит из трёх \(1\), трёх \(2\) и одной \(3\). Минимальное подходящее \(c = 2\).

 
ID 50984. Ребрендинг
Темы: Динамическое программирование    sqrt декомпозиция   

Костя и Женя — создатели группы <<Бумага>> — после выпуска легендарного альбома решили создать новое музыкальное объединение <<дневные грузчики>>, для этого им нужно найти двух новых людей.

Они пригласили на кастинг \(n\) человек. Кастинг продлится \(q\) дней. В \(i\)-й из дней Костя и Женя хотят найти двух человек на отрезке с \(l_i\) по \(r_i\), которые больше всего подходят их объединению. Так как <<дневные грузчики>> занимаются современным искусством,  музыкальные навыки им не важны, и они смотрят лишь на внешние признаки: им хочется, чтобы разница роста двух людей была как можно меньше.

Помогите им, и для каждого дня укажите минимальную разницу роста людей с кастинга на данном отрезке!

Формат входных данных
В первой строке вам дано два числа \(n, q\) (\(2 \leqslant n \leqslant 4 \cdot 10^5, 1 \leqslant q \leqslant 10^6\)) — количество людей, которые пришли на кастинг, а также количество дней кастинга.

Во второй строке вам даны \(n\) чисел \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\) (\(1 \leqslant a_i \leqslant n\)) — рост каждого из кандидатов.

Также гарантируется, что все \(a_i\) различны.

В следующих \(q\) строках даны по \(2\) числа \(l_i, r_i\) (\(1 \leqslant l_i < r_i \leqslant n\)) — отрезок людей для рассмотрения в \(i\)-й день кастинга.

Формат выходных данных
Выведите \(q\) строк. В \(i\)-й строке должна быть минимальная разница роста между двумя кандидатами на отрезке в \(i\)-й день кастинга.

 

Примечание
В первом примере минимальная разность на отрезке \([1, 2]\) составляет \(2\) (\(3 - 1 = 2\)), на отрезке \([2, 3]\) – \(1\), на отрезке \([1, 3]\) также \(1\).

В третьем примере минимальную разность на отрезке \([4, 6]\) составляют числа \(3, 5\) (\(5 - 3 = 2\)). На отрезке \([1, 2]\) минимальную разность имеют числа \(2, 6\) (\(6 - 2 = 0\)). На отрезке \([3, 6]\) минимальную разность имеют числа \(1, 3\) (\(3 - 1 = 2\)). На отрезке \([1, 3]\) минимальную разность образуют числа \(1, 2\) (\(2 - 1 = 1\)).