Использование сортировки

**Примечание. Ограничение по времени для этой задачи – 4 секунды, что в 2 раза больше, чем по умолчанию.**

\(N\) коров фермера Джона (\(1\le N\le 1,5\cdot 10^5\)) имеют целую продуктивность \(a_1,\dots,a_N\). То есть \(i\)я корова производит \(a_i\) единиц молока за минуту ( \(0 \leq a_i \leq 10^8\)).

Каждое утро фермер Джон начинает с того, что все \(N\) коров подключены к его дойке. От него требуется отцеплять их по одной, отправляя прочь для их ежедневных упражнений. Первая корова, которую он отправляет, снимается с крючка после всего 1 минуты дойки, вторая корова, которую он отправляет, отцепляется после двух минут дойки и так далее. Поскольку первая корова (скажем, корова \(x\)) тратит только одну минуту на доильном аппарате она вносит только \(a_x\) единиц общего количества молока. Вторая корова (скажем, корова \(y\)) тратит на доение всего две минуты и, таким образом, дает \(2a_y\) единиц общего количества молока. Третья корова (скажем, корова \(z\)) приносит всего \(3a_z\) единиц и так далее. Пусть \(T\) представляет собой максимально возможное количество молока, которое может собрать фермер Джон, если он отцепляет своих коров в оптимальном порядке.

Фермеру Джону интересно, как повлияет на \(T\), если часть производительностей молока в его стаде были другими. Для каждого из запросов \(Q\) (\(1\le Q\le 1.5\cdot 10^5\)) каждое из которых задано двумя целыми числами \(i\) и \(j\), пожалуйста, рассчитайте, какой будет новое значение \(T\), если \(a_i\) было установлено в \(j\) (\(0 \leq j \leq 10^8\)). Обратите внимание, что каждый запрос рассматривает временное потенциальное изменение независимо от всех других запросов; то есть \(a_i\) возвращается к исходному значению перед следующим запросом.

• Если высоты двух соседних стогов сена различаются не более чем на \(K\) (\(1\le K\le 10^9\)), она может поменять местами два стога

Какую лексикографически минимальную последовательность высот Беси может получить после некоторой последовательности таких операций?

**Примечание: ограничения на время и память для этой задачи 4сек и 512 Мбт, что в 2 раза больше значений по умолчанию.**

Имеется \(N\) (\(1 \le N \le 10^5\)) коров, которые потенциально могут посещать университет. Каждая корова готова платить за обучение максимум \(c_i\) (\(1 \le c_i \le 10^6\)). Фермер Джон может установить плату за обучение, которую все коровы должны оплатить. Если эта плата больше, чем корова готова платить, она не платит и не учится в университете. Фермер Джон хочет установить такую оплату, чтобы получить максимальную сумм оплат. Определите эту максимальную сумму и установленную плату за обучение.

В настоящий момент коровы выстроились в линию в порядке \(p_1, p_2, p_3, \dots, p_N\), и ФД стоит перед коровой \(p_1\). Он хочет переупорядочить коров так, чтобы они стали в порядке \(1, 2, 3, \dots, N\), с коровой \(1\) перед ФД.

Фермера Джона слышит только корова, которая стоит перед ним. В этот момент ФД может сказать ей перейти на \(k\) позиций назад (\(k\) в интервале \(1 \ldots N-1\).). \(k\) коров, которых она проходит, двигаются вперёд, освобождая место для неё, в которое она и становится.

Например, пусть \(N=4\) и коровы стоят в таком порядке

 ФД: 4, 3, 2, 1 

Единственная корова, которая слышит ФД, это корова \(4\). Если он скажет ей сдвинуться на 2 позиции, порядок станет таким:

 ФД: 3, 2, 4, 1 

Теперь ФД слышит только корова \(3\). Теперь ей можно давать инструкцию и т.д.

Определите последовательность инструкций (с минимальным их количеством), которые должен дать ФД, чтобы отсортировать всех коров.

В настоящий момент коровы выстроились в линию в порядке \(p_1, p_2, p_3, \dots, p_N\), и ФД стоит перед коровой \(p_1\). Он хочет переупорядочить коров так, чтобы они стали в порядке \(1, 2, 3, \dots, N\), с коровой \(1\) перед ФД.

Фермера Джона слышит только корова, которая стоит перед ним. В этот момент ФД может сказать ей перейти на \(k\) позиций назад (\(k\) в интервале \(1 \ldots N-1\).). \(k\) коров, которых она проходит , двигаются вперёд, освобождая место для неё, в которое она и становится.

Например, пусть \(N=4\) и коровы стоят в таком порядке

 ФД: 4, 3, 2, 1 

Единственная корова, которая слышит ФД, это корова \(4\). Если он скажет ей сдвинуться на 2 позиции, порядок станет таким:

 ФД: 3, 2, 4, 1 

Теперь ФД слышит только корова \(3\). Теперь ей можно давать инструкцию и т.д.

Определите минимальное количество инструкций, которые должен дать ФД, чтобы отсортировать всех коров.

Назовём позицию между элементами \(i\) и \(i+1\) массива \(A\) точкой разбиения если максимум из \(A[...i]\) не больше чем минимум \(A[i+1 \ldots]\). Беси помнит, что быстрая сортировка реорганизует массив так, чтобы у него появилась точка разбиения, а затем рекурсивно сортирует две стороны \(A[...i]\) и \(A[i+1 \ldots]\). Однако хотя она помнит, что все точки разбиения можно найти за линейное время, она забыла как в быстрой сортировке реорганизуется массив, чтобы быстро создать точку разбиения. Она решила использовать пузырьковую сортировку для решения этой задачи

Ниже приведен алгоритм Беси Сначала она написала простую функцию, которая делает один проход пузырьковой сортировки:

bubble_sort_pass (A) {
   for i = 0 to length(A)-2
      if A[i] > A[i+1], swap A[i] and A[i+1]
}

Рекурсивный код Беси для "быстрой" сортировки такой:

quickish_sort (A) {
   if length(A) = 1, return
   do { // Main loop
      work_counter = work_counter + length(A)
      bubble_sort_pass(A)
   } while (no partition points exist in A) 
   divide A at all partition points; recursively quickish_sort each piece
}

Теперь Беси интересно, насколько быстро работает её код. Для простоты она считает, что её итерация работает линейно и поэтому она просто инкрементирует глобальную переменную work_counter внутри цикла текущим размером массива так, чтобы оценивать общую работу, выполненную алгоритмом.

По заданному входному массиву, предскажите финальное значение величины work_counter после завершения алгоритма quickish_sort.

У ФД есть \(N\) коров (\(1 \leq N \leq 100,000\)), каждая способна производить некоторое количество молока каждый день. \(M\) магазинов (\(1 \leq M \leq 100,000\)) недалеко от фермы Джона покупают определённое количество молока, каждый по своей цене. Более того, \(R\) (\(1 \leq R \leq 100,000\)) соседних фермеров заинтересованы в аренде коров по некоторой цене.

ФД должен выбрать для каждой коровы, доить её самому или отдать в аренду соседнему фермеру. Помогите ФД определить максимальное количество денег, которое он может заработать за один день.

Для красоты ФД хочет построить своих коров в ряд по возрастанию роста. К несчастью, сразу после того, как коровы выстроились в нужном порядке, Беси вышла со своего места и стала на другое.

ФД хочет обменять пары коров, так чтобы снова стадо выстроилось в нужном порядке. Определите минимальное количество обменов, которые должен сделать ФД, чтобы вернуть порядок в строю коров.

Коровы со всего мира прибывают в местный аэропорт, чтобы посетить съезд и поесть траву. А именно \(N\) (\(1 \leq N \leq 10^5\)) коров прибывают в аэропорт, и корова \(i\) прибывает в момент времени \(t_i\) (\(0 \leq t_i \leq 10^9\)). ФД организовал \(M\) (\(1 \leq M \leq 10^5\)) автобусов для транспортировки коров из аэропорта. Каждый автобус может вместить до \(C\) (\(1 \leq C \leq N\)) коров. ФД ждёт вместе с автобусами в аэропорту и собирается распределить прибывающих коров по автобусам. Автобус убывает из аэропорта в момент, когда прибывает последняя корова. ФД хочет, чтобы прибывающие коровы не ждали в аэропорту слишком долго. Каково наименьшее значение максимального времени ожидания из всех коров, если ФД оптимально назначит их по автобусам. Время ожидания коровы есть разность между временем её прибытия и временем отправления автобуса, в который она распределена.

Гарантируется, что \(MC \geq N\).

Она не будет включать в размещение два алмаза, если их размеры отличаются более чем на \(K\). По данному \(K\) определите максимальное количество алмазов, которые Беси разместит в амбаре.