Алгоритмы поиска

В лицее на уроках информатики ответы учеников оцениваются целым числом баллов от 2 до 5. Итоговая оценка по информатике выставляется как среднее арифметическое оценок на всех уроках, округленное до ближайшего целого числа. Если среднее значение находится ровно посередине между двумя целыми числами, то оценка округляется вверх.

Примеры округления оценок приведены в таблице.
 

Оценки на уроках	Среднее арифметическое	Итоговая оценка
2, 3, 5	\({ {2 + 3 + 5} \over 3 }= 3 {1 \over 3}\)	3
3, 3, 4, 4	\({ {3 + 3 + 4 + 4} \over 4 }= 3 {1 \over 2}\)	4
5, 5, 5, 3, 5	\({ {5 + 5 + 5 + 3 + 5} \over 5 }= 4 {3 \over 5}\)	5

 

Ввод	Вывод
2 0 0	2

 

Дана возрастающая последовательность целых чисел 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, ... Она сформирована следующим образом: берется одно нечетное число, затем два четных, затем три нечетных и так далее. Выведите N-й элемент этой последовательности.

Программа должна работать быстрее, чем за линейный поиск
 

Одно целое число N (1 <= N <= 10⁹).

 

Выведите одно целое число - N-й элемент последовательности.
 

Ввод	Вывод
1	1
4	5

Дано N отрезков провода длиной L₁, L₂, ..., L_N сантиметров. Требуется с помощью разрезания получить из них K равных отрезков как можно большей длины, выражающейся целым числом сантиметров. Если нельзя получить K отрезков длиной даже 1 см, вывести 0.

 

Ограничения: 1 <= N <= 10 000, 1 <= K <= 10 000, 100 <= L_i <= 10 000 000, все числа целые.

Программа должна работать быстрее, чем за линейный поиск

 

В первой строке находятся числа N и К. В следующих N строках - L₁, L₂, ..., L_N, по одному числу в строке.

 

Вывести одно число - полученную длину отрезков.
 

Фермер Николай нанял двух лесорубов: Дмитрия и Федора, чтобы вырубить лес, на месте которого должно быть кукурузное поле. В лесу растут X деревьев.

 

Дмитрий срубает по A деревьев в день, но каждый K-й день он отдыхает и не срубает ни одного дерева. Таким образом, Дмитрий отдыхает в K-й, 2K-й, 3K-й день, и т.д.

 

Федор срубает по B деревьев в день, но каждый M-й день он отдыхает и не срубает ни одного дерева. Таким образом, Федор отдыхает в M-й, 2M-й, 3M-й день, и т.д.

 

Лесорубы работают параллельно и, таким образом, в дни, когда никто из них не отдыхает, они срубают A + B деревьев, в дни, когда отдыхает только Федор — A деревьев, а в дни, когда отдыхает только Дмитрий — B деревьев. В дни, когда оба лесоруба отдыхают, ни одно дерево не срубается.

 

Фермер Николай хочет понять, за сколько дней лесорубы срубят все деревья, и он сможет засеять кукурузное поле. 

 

Требуется написать программу, которая по заданным целым числам A, K, B, M и X определяет, за сколько дней все деревья в лесу будут вырублены.

Программа должна работать быстрее, чем за линейный поиск

 

Входные данные

Входной файл содержит пять целых чисел, разделенных пробелами: A, K, B, M и X (1 ≤ A, B ≤ 109 , 2 ≤ K, M ≤ 1018, 1 ≤ X ≤ 1018).

 

Выходные данные

Выходной файл должен содержать одно целое число — искомое количество дней.

Ввод	Вывод
2 4 3 3 25	7

В магазине проходит новогодняя распродажа – цены всех товаров снижены на 25 %. Оказалось, что первоначально все цены делились на 4, поэтому после снижения цен все цены также выражаются целым числом. Товаровед вечером перед распродажей снял ценники со всех товаров и напечатал для каждого товара ещё один ценник со сниженной ценой. Он оставил все ценники на столе, рассчитывая утром их развесить. Но, придя утром в магазин, он обнаружил, что уборщица смешала все ценники вместе, и теперь ему нужно отделить старые ценники от новых.

Помогите ему решить эту задачу. 
 

Входные данные
Первая строка входных данных содержит общее количество ценников N, 2 <= N <= 10⁵, N – чётное число. Следующие N строк содержат целые положительные числа, не превосходящие 10⁹, идущие в порядке неубывания по одному в строке – числа, записанные на всех ценниках (как старых, так и новых). Гарантируется, что входные данные корректны,то есть решение существует.

Выходные данные
Программа должна вывести N/2  целых чисел в порядке неубывания – стоимости товаров после понижения цен.

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Примечание
1	6 30 40 42 45 56 60	30 42 45	До распродажи цены товаров были 40, 56, 60, после снижения цены на эти товары стали равны 30, 42, 45.

В зале ожидания на вокзале стоят N рядов из M кресел. Чтобы ожидающие не скучали, вместо некоторых кресел установлено K мощных Wi-Fi роутеров. Ожидающие стараются занять места ближе к роутерам, так как тогда они смогут смотреть ролики с Youtube или VK с более высоким разрешением, без задержек. Если пассажир сидит на месте с номером c в ряде r, а i-й роутер расположен на месте C_i в ряде R_i, то расстояние до i-го роутера вычисляется как max(|r−R_i|,|c−C_i|), где |x| – абсолютное значение x. Креслам в зале ожидания был присвоен приоритет от 1 до N⋅M−K, меньшие номера получили кресла с меньшим расстоянием до ближайшего роутера, среди кресел с одинаковым расстоянием до роутеров более удобными считаются кресла, стоящие в ряду с меньшим номером, а среди них — с меньшим номером места в ряду. На рисунке показан приоритет кресел в зале ожидания с 4 рядами из 7 кресел, в котором установлены 2 роутера (их позиции помечены черным цветом). Темно-серым цветом выделены кресла, стоящие на расстоянии 1 от роутеров, светло-серым — на расстоянии 2, белым — 3.
 

Напишите программу, которая вычисляет расстояние до ближайшего роутера от кресла с некоторым заданным приоритетом.

Первая строка ввода содержит четыре целых чисел — количество рядов N (2 ≤ N ≤ 10⁹) и мест в ряду M (2 ≤ M ≤ 10⁹), количество роутеров K (1 ≤ K ≤ 100, K < N⋅M), количество запросов Q (1 ≤ Q ≤ 100). Далее следует K строк, содержащих два целых числа — местонахождение роутеров: номер ряда Ri (1 ≤ R_i ≤ N) и номер места в ряду C_i (1 ≤ С_i ≤ M). Среди них нет совпадающих. Далее следует строка, содержащая Q целых чисел в диапазоне от 1 до N⋅M−K – приоритеты кресел.

Вывести для каждого запроса на отдельной строке одно целое число — расстояние до ближайшего роутера от кресла с заданным приоритетом.
 

Ввод	Вывод
4 7 2 4 2 5 4 4 1 6 16 26	1 1 2 3

Студенты одного из вузов спроектировали робота для частичной автоматизации процесса сборки авиационного двигателя.

 

В процессе сборки двигателя могут встречаться операции 26 типов, которые обозначаются строчными буквами латинского алфавита. Процесс сборки состоит из N операций.

 

Предполагается использовать робота один раз для выполнения части подряд идущих операций из процесса сборки.

 

Память робота состоит из K ячеек, каждая из которых содержит одну операцию. Операции выполняются последовательно, начиная с первой, в том порядке, в котором они расположены в памяти. Выполнив последнюю из них, робот продолжает работу с первой. Робота можно остановить после любой операции. Использование робота экономически целесообразно, если он выполнит хотя бы K + 1 операцию.

 

Требуется написать программу, которая по заданному процессу сборки определит количество экономически целесообразных способов использования робота.

 

В первой строке записано число K > 0 - количество операций, которые можно записать в память робота.

Вторая строка состоит из N > K строчных латинских букв, обозначающих операции - процесс сборки двигателя. Операции одного и того же типа обозначаются одной и той же буквой (N <= 200000).

 

Выведите единственное целое число - количество экономически целесообразных способов использования робота.
 

Ввод	Вывод
2 zabacabab	5
2 abc	0

На прямой расположены стойла, в которые необходимо расставить коров так, чтобы минимальное расcтояние между коровами было как можно больше.

 

- в первой строке вводятся числа N  (\(2 < N < 10001\)) – количество стойл, и K  (\(1 < K < N \)) – количество коров;
- во второй строке задаются N натуральных чисел в порядке возрастания – координаты стойл (координаты не превосходят \(10^9\)).

 

Выходные данные: выведите одно число – наибольшее возможное допустимое расстояние.

В первой строке подается 3 числа: N – кол-во дней, L и C (\(1 <= L, C <= N <= 1 000 000\)).

Во второй строке содержится N чисел a_i (\(1 <= |a_i| <= 1 000 000 000\)).

Входные данные

Требуется вывести ответ на задачу.

Коровы Фермера Джона стоят в различных точках (x₁,y₁)…(x_n,y_n) его поля (1≤N≤100,000, все x_i и y_i - положительные нечётные целые числа, не превышающие 1,000,000. ФД хочет разделить своё поле изгородью бесконечной длины с севера на юг, описываемой уравнением x=a (a - чётное целое, так обеспечивается, что изгородь не пройдёт через позицию ни одной коровы). Также он хочет построить изгородь бесконечной длины с востока на запад, которая описывается уравнением y=b, где b - чётное целое. Эти две изгороди пересекаются в точке (a,b), и вместе делят поле на четыре региона.

ФД хочет выбрать a и b так, чтобы получить "сбалансированное" количество коров во всех регионах, т.е. чтобы не было региона, который содержит слишком много коров. Пусть M - максимальное количество коров в этих четырёх регионах, ФД хочет, чтобы M было как можно меньше. Помогите ФД определить это минимально возможное значение для M.

 

ФОРМАТ ВВОДА:

Первая строка ввода содержит одно целое число, N. Каждая из следующих n строк содержит местоположение одной коровы, указанное её координатами x и y.

Выведите минимально возможное значение M, которое может достичь ФД оптимальным расположением изгородей.
 

Ввод	Вывод
7 7 3 5 5 7 13 3 1 11 7 5 3 9 1	2

В галактике находится n планет, на каждой из которых обитают множество различных живых существ. И каждое из них может оказаться в беде! Космические спасатели прекрасно знают об этом и всегда готовы помочь каждому, кому эта помощь действительно понадобится. Стоит только позвать.

 

Сейчас космические спасатели планируют построить самую большую в истории галактики спасательную базу, однако месторасположение будущей базы пока еще не определено. Поскольку помощь иногда требуется абсолютно неотложно, спасатели стремятся найти такую точку в галактике, из которой можно было бы добраться до самой удаленной планеты за наименьшее возможное время. Другими словами, необходимо найти такую точку в пространстве, чтобы расстояние от нее до самой удаленной от нее планеты было наименьшим из всех возможных точек в пространстве. К сожалению, они не в силах решить такую задачу.

 

Поскольку планеты достаточно удалены друг от друга, их можно считать точками в евклидовом трехмерном пространстве. Расстояние между точками (x_i, y_i, z_i) и (x_j, y_j, z_j) вычисляется по формуле:

Соня, в отличие от многих студентов мат-меха, спортивна не только в программировании. В один прекрасный день она отправилась поиграть в футбол с друзьями. К сожалению, нигде поблизости не оказалось специально оборудованного футбольного поля, только высокая берёза одиноко красовалась в глубине двора. Покопавшись дома в кладовке, Соня нашла две палки и решила соорудить футбольные ворота из палок и берёзы. Конечно, берёза будет использована как одна из боковых стоек ворот. Осталось сделать из двух палок вторую стойку и перекладину.

Соня, конечно, хочет забить как можно больше голов. Поэтому она решила сделать ворота максимальной площади. Стандартные футбольные ворота имеют прямоугольную форму, но Соня — человек креативный, и она считает, что ворота могут иметь форму произвольного четырёхугольника.

Можно считать, что берёза является отрезком прямой и растёт строго перпендикулярно земле.
 

Источник: Уральская региональная командная олимпиада по программированию 2011

Чтобы помешать появлению СЭС в лагере, администрация ЛКШ перекопала единственную дорогу, соединяющую «Берендеевы поляны» с Судиславлем, теперь проехать по ней невозможно. Однако, трудности не остановили инспекцию, хотя для СЭС остается только одна возможность — дойти до лагеря пешком. Как известно, Судиславль находится в поле, а «Берендеевы поляны» — в лесу.

 

    - Судиславль находится в точке с координатами (0, 1).

    - «Берендеевы поляны» находятся в точке с координатами (1, 0).

    - Граница между лесом и полем — горизонтальная прямая y=a, где a — некоторое число (0 ≤ a ≤ 1).

    -  Скорость передвижения СЭС по полю составляет V_p, скорость передвижения по лесу — V_f. Вдоль границы можно двигаться как по лесу, так и по полю.

Администрация ЛКШ хочет узнать, сколько времени у нее осталось для подготовки к визиту СЭС. Она попросила вас выяснить, в какой точке инспекция СЭС должна войти в лес, чтобы дойти до «Берендеевых полян» как можно быстрее.

 

В первой строке входного файла содержатся два положительных целых числа V_p  и V_f  (1≤ V_p, V_f ≤ 10⁵) . Во второй строке содержится единственное вещественное число — координата по оси Oy  границы между лесом и полем a  (0 ≤ a ≤ 1) .

 

В единственной строке выходного файла выведите вещественное число с точностью не менее 8 знаков после запятой — координата по оси Ox точки, в которой инспекция СЭС должна войти в лес.
 

Ввод	Вывод
5 3 0.4	0.783310604
5 5 0.5	0.500000000

Велосипедисты, участвующие в шоссейной гонке, в некоторый момент времени, который называется начальным, оказались в точках, удалённых от места старта на x₁, x₂, ..., x_n метров (n – общее количество велосипедистов). Каждый велосипедист двигается со своей постоянной скоростью v₁, v₂, ..., vn метров в секунду. Все велосипедисты двигаются в одну и ту же сторону.

 

Репортёр, освещающий ход соревнований, хочет определить момент времени, в который расстояние между лидирующим в гонке велосипедистом и замыкающим гонку велосипедистом станет минимальным, чтобы с вертолёта сфотографировать сразу всех участников велогонки.

 

Требуется написать программу, которая по заданному количеству велосипедистов n, заданным начальным положениям велосипедистов x₁, x₂, ..., x_n и их скоростям v₁, v₂, ..., vn, вычислит момент времени t, в который расстояние l между лидирующим и замыкающим велосипедистом будет минимальным.

 

Первая строка входного файла содержит целое число n – количество велосипедистов.

 

В последующих n строках указаны по два целых числа: x_i – расстояние от старта до i-го велосипедиста в начальный момент времени (0 ≤ x_i ≤ 10⁷ ) и v_i – его скорость (0 ≤ v_i ≤ 10⁷ ).

 

В выходной файл необходимо вывести два вещественных числа: t – время в секундах, прошедшее от начального момента времени до момента, когда расстояние в метрах между лидером и замыкающим будет минимальным, l – искомое расстояние.

 

Числа t и l должны иметь абсолютную или относительную погрешность не более 10^–6, что означает следующее. Пусть выведенное число равно x, а в правильном ответе оно равно y. Ответ будет считаться правильным, если значение выражения |x – y| /  max(1,  |y| )  не превышает 10^–6.

 

Подзадачи и система оценки

Данная задача содержит четыре подзадачи. Для оценки каждой подзадачи используется своя группа тестов. Баллы за подзадачу начисляются только в том случае, если все тесты из этой группы пройдены.
 

Ввод	Вывод
3 0 40 30 10 40 30	1 30
5 90 100 100 70 100 70 110 60 120 35	0.5 5.000000000000

 

Министерство дорожного транспорта решило построить себе новый офис. Поскольку министр регулярно выезжает с инспекцией наиболее важных трасс, было решено, что офис министерства не должен располагаться слишком далеко от них.

 

Наиболее важные трассы представляют собой прямые на плоскости. Министерство хочет выбрать такое расположение для своего офиса, чтобы максимум из расстояний от офиса до трасс был как можно меньше.

 

Требуется написать программу, которая по заданному расположению наиболее важных трасс определяет оптимальное расположение дома для офиса министерства дорожного транспорта.

 

Первая строка входного файла содержит одно целое число n — количество наиболее важных трасс (1  ≤ n ≤ 10⁴ ).

 

Последующие n строк описывают трассы. Каждая трасса описывается четырьмя целыми числами x₁, y₁, x₂ и y₂ и представляет собой прямую, проходящую через точки (x₁, y₁)  и (x₂, y₂) . Координаты заданных точек не превышают по модулю 10⁴. Точки (x₁ , y₁)  и (x₂ , y₂)  ни для какой прямой не совпадают.

 

Выходной файл должен содержать два разделенных пробелом вещественных числа: координаты точки, в которой следует построить офис министерства дорожного транспорта. Координаты по модулю не должны превышать 10⁹, гарантируется, что хотя бы один такой ответ существует. Если оптимальных ответов несколько, необходимо выведите любой из них.

 

Ответ должен иметь абсолютную или относительную погрешность не более 10⁻⁶, что означает следующее. Пусть максимальное расстояние от выведенной точки до некоторой трассы равно x, а в правильном ответе оно равно y. Ответ будет засчитан, если значение выражения | x − y | /  max(1, |y| )  не превышает 10⁻⁶.

 

 

Ввод	Вывод
4 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2	0.5000000004656613 0.4999999995343387
7 376 -9811 376 -4207 6930 -3493 6930 -8337 1963 -251 1963 -5008 -1055 9990 -684 9990 3775 -348 3775 1336 7706 -2550 7706 -8412 -9589 8339 -4875 8339	4040.9996151750674 12003.999615175067

 

Входной файл содержит 12 чисел: x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃, x₄, y₄, v_1x, v_1y, v_2x, v_2y. Координаты вершин первого отрезка: (x₁, y₁) и (x₂, y₂), координаты вершин второго отрезка: (x₃, y₃) и (x₄, y₄), скорость первого отрезка (v1x, v1y), скорость второго отрезка (v2x, v2y). Все числа целые и не превосходят по модулю 104. В начальный момент времени веточки не соприкасаются. Гарантируется, что веточки имеют ненулевую длину.

 

Выведите в выходной файл время до ближайшего момента, когда веточки соприкоснутся, с ошибкой не более 10⁻⁴. Если веточки не соприкоснутся никогда, выведите число -1.
 

Ввод	Вывод
0 0 -1 3 4 4 7 7 3 0 0 -1	1.6
0 0 -1 3 4 4 7 7 1 0 0 -3	-1

Дима недавно поступил на работу в НИИ Плоских Кривых. Как следует из названия этого научно- исследовательского института, он занимается различными исследованиями в области плоских кривых. Недавно Димин начальник Георгий столкнулся с весьма интересной кривой, которая, как выяснилось после некоторого исследования, известна под названием Архимедовой спирали. Архимедова спираль плоская кривая, изображающая траекторию точки M, которая равномерно движется вдоль луча OK с началом в O, в то время как сам луч OK равномерно вращается вокруг точки O (см. рисунок). Другими словами, расстояние до начала координат ρ = OM линейно зависит от угла поворота φ луча OK. При этом повороту луча OK на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение расстояния ρ. 

 

Движение точки M можно задать с помощью ряда параметров:

 

• начального угла поворота α луча OK (измеряется в градусах против часовой стрелки относительно положительного направления оси OX);

 

• угловой скорости вращения ω луча OK (измеряется в градусах за единицу времени);

 

• начального расстояния R от точки M до начала координат (точки O);

 

• скорости движения V точки M по лучу OK.

 

Если, задав эти параметры, не ограничить время движения точки M, то получится бесконечная кривая, исследовать которую достаточно трудно. Поэтому Дима решил ограничиться исследованием некоторой части этой кривой той, которая получается при движении точки M от нулевого момента времени до момента времени T. Задача, которую решает Дима состоит в поиске прямоугольника минимальной площади со сторонами, параллельными осям координат, в который ее можно вписать.

 

Требуется написать программу, которая найдет искомый прямоугольник

 

Входной файл содержит четыре целых числа: ω (1 ≤ ω ≤ 100), V (1 ≤ V ≤ 100), R (0 ≤ R ≤ 100) и T (1 ≤ T ≤ 1000). В этой задаче считается, что начальный угол поворота α равен нулю.

 

В первой строке выходного файла выведите два вещественных числа — координаты левого нижнего угла искомого прямоугольника, а во второй строке — координаты правого верхнего угла искомого прямоугольника.

 

Ответ будет считаться правильным, если значение каждой из координат будет отличаться от истинного значения не более чем на 10-5.