Портал обучения информатике. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ, олимпиадам

Окопы и траншеи#55079

На полигоне, на котором проводятся военные учения сухопутных войск Флатландии, вырыты n окопов. Каждый окоп вырыт вдоль границы прямоугольника со сторонами, параллельными направлениям север–юг и запад–восток. При этом окопы могут иметь общие точки, но никакие два окопа не имеют общего участка ненулевой длины.

Очередные учения должны продемонстрировать способность солдат быстро и незаметно перемещаться из точки A в точку B.

Во время учений солдаты могут перемещаться либо по окопам, либо по траншеям, которые они могут прокапывать между окопами. При этом по окопам и выкопанным траншеям солдат может бегать настолько быстро, что временем перемещения от одной точки до другой можно пренебречь (будем считать его равным нулю). Траншеи же солдат копает со скоростью 1 метр в час.

Заданы точки A и B. Требуется определить, за какое минимальное время солдат во время учений сможет переместиться из А в B. Шириной траншей и окопов можно пренебречь.

Формат входных данных

Первая строка содержит число n — количество окопов на полигоне (1 ≤ n ≤ 500). Введем систему координат на полигоне таким образом, чтобы ось OX была ориентирована с запада на восток, а ось OY — с юга на север. Следующие n строк описывают окопы, каждый окоп описывается четырьмя целыми числами x₁, y₁, x₂, y₂ — координатами юго-западного и северо-восточного углов, соответственно (–10⁴ ≤ x₁ < x₁ ≤ 10⁴, –10⁴ ≤ y₁ < y₂ ≤ 10⁴).

Последние две строки содержат по два целых числа: x_A, y_A — координаты точки A и x_B, y_B — координаты точки B, соответственно (–10⁴ ≤ x_A, y_A, x_B, y_B ≤ 10⁴). Гарантируется, что точки A и B находятся в окопах. Все координаты заданы в метрах.

Формат выходных данных

Выведите одно вещественное число — количество часов, которое потребуется солдату, чтобы добраться из точки A до точки B. Ответ должен отличаться от правильного не более чем на 10^-6.

✓ 1✗ 2—Войти и решать

Свет#54303

В точке (0, 0) координатной плоскости расположена лампочка, которая представляет собой точечный источник света. Неподалеку от лампочки находится дом Пети, который представляет собой выпуклый многоугольник с N вершинами. Сам Петя находится в точке с координатами (x, y).

Петя хочет увидеть свет. Для этого ему необходимо оказаться в такое точке, что отрезок, соединяющей ее с началом координат, не пересекается с домом Пети (но может его касаться, в частности, проходить вдоль стороны многоугольника дома).

Петя может перемещаться по плоскости со скоростью v. Разумеется, Петя не может проходить сквозь дом (хотя он может двигаться по его границе).

Выясните, какое минимальное время требуется Пете, чтобы оказаться в освещенной точке.

Входные данные
В первой строке вводятся координаты Пети – два неотрицательных вещественных числа, не превышающих 1000, и его скорость v – вещественное число, 10^-2≤ v≤ 10⁴.

Вторая строка содержит N – число вершин в многоугольнике, задающем Петин дом ( 3≤N≤100). Далее в N строках вводится по два вещественных числа – координаты вершин многоугольника в порядке их обхода против часовой стрелки. Все координаты неотрицательны и не превышают 1000.

Гарантируется, что входные данные корректны, в частности, многоугольник выпуклый, и никакие три его последовательные вершины не лежат на одной прямой. Также гарантируется, что и Петя, и лампочка находятся снаружи от многоугольника, в частности, не находятся на его границе. Расстояние от точки, где находится Петя, до многоугольника и от начала координат до многоугольника не меньше 10^-2, расстояние от Пети до начала координат не меньше 10^-2.

Выходные данные
Выведите минимальное время, за которое Петя сможет попасть в освещенную точку. Ваш ответ должен отличаться от правильного не более чем на 10^-4.

Алгоритм Дейкстры Элементарная геометрия

✓ 1✗ 0—Войти и решать

Военный поход#53989

В одном феодальном государстве средневековой Европы было \(n\) городов и \(m\) дорог, каждая из которых соединяла некоторые два города. Каждая дорога принадлежала правителю одного из городов (не обязательно одного из тех, которые она соединяла). Однажды правитель города S решил объявить войну правителю города T. Перед ним сразу же встала нелегкая задача: как довести армию до города T.

Правитель каждого города требует плату за проход войск через его город. Кроме того, правитель города S может перемещать войска только по дорогам, которые принадлежат ему. При этом он может купить любую дорогу у ее владельца за определенную плату (даже если владелец — правитель города T). К сожалению, все деньги из казны города S были потрачены на предыдущий неудачный военный поход, поэтому сначала правителю придется продать некоторые свои дороги (разумеется, после этого он не сможет провести по ним войска).

Помогите правителю выяснить, какие дороги следует продать, а какие купить, чтобы довести войска от города S до города T и оплатить проход через все промежуточные города. Все операции продажи и покупки дорог надо осуществить до начала похода, пока правители других городов не догадались о воинственных намерениях правителя города S.

Формат входных данных
Первая строка содержит целые числа \(n\) и \(m\) — количество городов и дорог соответственно (\(2 \le n \le 2\,000\), \(1 \le m \le 50\,000\)). Города нумеруются от 1 до \(n\), города S и T имеют номера 1 и \(n\) соответственно.

Следующие \(n\) строк содержат под одному целому числу \(r_i\) — плату за проезд через город \(i\) (\(0 \le r_i \le 10\,000\), \(r_1 = r_n = 0\)).

Следующие \(m\) строк содержат описания дорог. Дорога описывается четырьмя целыми числами: \(a_i\), \(b_i\), \(p_i\) и \(c_i\). Здесь \(a_i\) и \(b_i\) — номера городов, которые соединяет дорога, \(p_i\) — номер города, правителю которого она принадлежит, \(c_i\) — ее стоимость (\(a_i \ne b_i\), \(1 \le c_i \le 10\,000\)). По дороге можно перемещаться в обоих направлениях. Любые два города соединены не более чем одной дорогой.

Формат выходных данных
На первой строке выведите список дорог, которые нужно продать в следующем формате: сначала число дорог, а затем их номера. Дороги нумеруются с единицы в том порядке, в котором они заданы во входных данных. На второй строке выведите список дорог, которые нужно купить, в том же формате. На третьей строке выведите маршрут похода — номера городов в порядке следования войска. Если решений несколько, выведите любое.

Если решения нет, выведите в выходной файл число \(-1\).

Алгоритм Дейкстры

✓ 1✗ 1—Войти и решать

В школу на велосипеде#53975

Петя любит ездить в школу на велосипеде. Но ездить на велосипеде по тротуарам запрещено, а ездить по дороге опасно. Поэтому Петя ездит только по специальным велосипедным дорожкам. К счастью, и Петин дом, и Петина школа находятся в непосредственной близости от таких дорожек.

В городе, где живет Петя, есть ровно две велосипедных дорожки. Каждая дорожка имеет форму окружности. В точках их пересечения можно переехать с одной дорожки на другую.

Петя знает точку, в которой он заезжает на дорожку, и точку, в которой следует съехать, чтобы попасть в школу. Петю заинтересовал вопрос: какое минимальное расстояние ему следует проехать по дорожкам, чтобы попасть из дома в школу.

Входные данные
Будем считать, что в городе введена прямоугольная декартова система координат.

Первые две строки входных данных описывают велосипедные дорожки. Каждая из них содержит по три целых числа – координаты центра окружности, которую представляет собой соответствующая дорожка, и ее радиус. Координаты и радиус не превышают 200 по абсолютной величине, радиус – положительное число. Гарантируется, что дорожки не совпадают.

Следующие две строки содержат по два вещественных числа – координаты точки, где Петя заезжает на дорожку, и точки, в которой Петя съезжает с дорожки. Гарантируется, что каждая из точек с высокой точностью лежит на одной из дорожек (расстояние от точки до центра одной из окружностей отличается от ее радиуса не более, чем на 10^-8). Точки могут лежать как на одной дорожке, так и на разных.

Выходные данные
Выведите минимальное расстояние, которое следует проехать Пете по велосипедным дорожкам, чтобы попасть из дома в школу. Ответ должен отличаться от правильного не более, чем на 10^-4.

Если доехать из дома до школы по велосипедным дорожкам невозможно, выведите число -1.

Алгоритм Дейкстры Элементарная геометрия

✓ 1✗ 0—Войти и решать

Ананасы на Шешинеру#38832

Аборигены с планеты Шешинера очень любят земные ананасы. Побывав у них в гостях, Алиса решила отправить несколько штук им в подарок. На то, чтобы доставить ананасы свежими есть всего 24 часа.

Алиса хочет хочет отправить как можно большее число ананасов. Капитан Полосков решил ей помочь и с радостью согласился слетать на своем космическом корабле. Но есть один нюанс: на некоторых космических маршрутах можно дозаправить корабль, не превышающий максимально установленный вес. А заправлять корабль в пути нужно всегда, иначе он просто не долетит. Поэтому если корабль заполнить ананасами по максимуму, то, его не получится дозаправить в пути и поэтому не удастся воспользоваться самым коротким маршрутов, и придётся лететь через другие планеты. Может случиться даже так, что корабль не успеет долететь до Шешинеры вовремя, и ананасы испортятся.
Итак, сколько же ананасов можно погрузить в космический корабль, чтобы доставить груз вовремя?

Входные данные
Программа получает на вход несколько строк. В первой строке находятся числа n (1 <= n <= 500) и m - количество планет и количество космических маршрутов между планетми, соответственно. В следующих m строках записана информация о маршрутах. Каждый маршрут описывается в отдельной строке следующим образом. Сначала указаны номера планет, которые соединяются космическим маршрутом, потом время, которое тратится на перелет по этому маршруту, и, наконец, максимальный космического корабля, который можно заправить на этом маршруте. Известно, что все космические маршруты соединяют различные планеты, причем для каждой пары планет есть не более одного маршрута, непосредственно их соединяющий. Все числа разделены одним или несколькими пробелами.

Планеты нумеруются числами от 1 до n. Планеты Земля имеет номер 1, а планета Шешинера - номер n. Время перелета по маршруту задано в минутах и не превосходит 1440 (24 часа). Ограничение на массу задано в граммах и не превосходит одного миллиарда. Кроме того, известно, что один ананас весит 100 грамм, а пустой корабль - 3 тонны.

Выходные данные
Выведите одно число - максимальное количество ананасов, которое можно доставить, потратив не более 24часов.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 3 1 2 10 3000220 2 3 20 3000201 1 3 1 3000099	2

Обход в ширину

✓ 2✗ 1—Войти и решать

Игрушечный лабиринт#38829

Игрушечный лабиринт представляет собой прозрачную плоскую прямоугольную коробку, внутри которой есть препятствия и перемещается шарик. Лабиринт можно наклонять влево, вправо, к себе или от себя, после каждого наклона шарик перемещается в заданном направлении до ближайшего препятствия или до стенки лабиринта, после чего останавливается. Целью игры является загнать шарик в одно из специальных отверстий – выходов. Шарик проваливается в отверстие, если оно встречается на его пути (шарик не обязан останавливаться в отверстии).

Первоначально шарик находится в левом верхнем углу лабиринта. Гарантируется, что решение существует и левый верхний угол не занят препятствием или отверстием.

Входные данные

В первой строке входного файла записаны числа N и M – размеры лабиринта (целые положительные числа, не превышающие 100). Затем идет N строк по M чисел в каждой – описание лабиринта. Число 0 в описании означает свободное место, число 1 – препятствие, число 2 – отверстие.

Выходные данные

Выведите единственное число – минимальное количество наклонов, которые необходимо сделать, чтобы шарик покинул лабиринт через одно из отверстий.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 5 0 0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0	3

Обход в ширину

✓ 5✗ 0—Войти и решать

Кандидаты в не кратчайший путь#38521

Дан неориентированный связный взвешенный граф с N вершинами и M ребрами, который не содержит ни петель, ни двойных ребер. I-е (\(1<=i<=M\)) ребро соединяет вершину a_i и вершину b_i на расстоянии c_i. Будем считать, что петля - это ребро, где \(a_i=b_i\) (\(1<=i<=M\)), а двойные ребра - это два ребра, где \((a_i,b_i)=(a_j,b_j) \) или \((a_i,b_i)=(b_j,a_j)\) (\(1<=i<j<=M\)). Связный граф - это граф, в котором есть путь между каждой парой разных вершин. Найдите количество ребер, которые не входят ни в один кратчайший путь между любой парой различных вершин.

Входные данные
В первой строке задаются два целых числа N и M (\(2<=N<=100\), \(N-1<=M<=min(N \cdot (N-1)/2,1000)\)). Далее идет M строк по три целых числа в каждой строке: a_i, b_i, c_i (\(1<=a_i, b_i<=N\), \(1<=c_i<=1000\)). Данный граф не содержит петель и двойных ребер. Данный граф является связанным.

Выходные данные
Выведите количество ребер в графе, которые не входят ни в один кратчайший путь между любой парой различных вершин.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснения
1	3 3 1 2 1 1 3 1 2 3 3	1	В данном графе кратчайшие пути между всеми парами различных вершин следующие: Кратчайший путь от вершины 1 к вершине 2: вершина 1 → вершина 2, длина пути равна 1. Кратчайший путь от вершины 1 к вершине 3: вершина 1 → вершина 3, длина пути равна 1. Кратчайший путь из вершины 2 в вершину 1: вершина 2 → вершина 1, длина пути равна 1. Кратчайший путь от вершины 2 к вершине 3: вершина 2 → вершина 1 → вершина 3, длина пути равна 2. Кратчайший путь от вершины 3 до вершины 1: вершина 3 → вершина 1, длина пути равна 1. Кратчайший путь от вершины 3 к вершине 2: вершина 3 → вершина 1 → вершина 2, длина пути равна 2. Таким образом, единственное ребро, которое не содержится ни в одном кратчайшем пути, - это ребро длины 3, соединяющее вершину 2 и вершину 3, поэтому на выходе должно быть 1.
2	3 2 1 2 1 2 3 1	0	Каждое ребро содержится в некотором кратчайшем пути между парой различных вершин.

Алгоритмы на графах Кратчайшие пути в графе

✓ 3✗ 3—Войти и решать

Игра с фишками#38434

Вы являетесь одним из разработчиков новой компьютерной игры. Игра происходит на прямоугольной доске, состоящей из W×H клеток. Каждая клетка может либо содержать, либо не содержать фишку (см. рисунок).
Важной частью игры является проверка того, соединены ли две фишки путем, удовлетворяющим следующим свойствам:
1. Путь должен состоять из отрезков вертикальных и горизонтальных прямых.
2. Путь не должен пересекать других фишек.
При этом часть пути может оказаться вне доски. Например:

Фишки с координатами (1, 3) и (4, 4) могут быть соединены. Фишки с координатами (2, 3) и (5, 3) тоже могут быть соединены. А вот фишки с координатами (2, 3) и (3, 4) соединить нельзя — любой соединяющий их путь пересекает другие фишки.
Вам необходимо написать программу, проверяющую, можно ли соединить две фишки путем, обладающим вышеуказанными свойствами, и, в случае положительного ответа, определяющую минимальную длину такого пути (считается, что путь имеет изломы, начало и конец только в центрах клеток (или “мнимых клеток”, расположенных вне доски), а отрезок, соединяющий центры двух соседних клеток, имеет длину 1).

Формат входных данных
Первая строка входного файла содержит два натуральных числа: W — ширина доски, H — высота доски (1 ≤ W, H ≤ 75). Следующие H строк содержат описание доски: каждая строка состоит ровно из W символов: символ “X” (заглавная английская буква “экс”) обозначает фишку, символ “.” (точка) обозначает пустое место. Все остальные строки содержат описания запросов: каждый запрос состоит из четырех натуральных чисел, разделенных пробелами — X₁, Y₁, X₂, Y₂, причем 1 ≤ X₁, X₂ ≤ W, 1 ≤ Y₁, Y₂ ≤ H. Здесь (X₁, Y₁) и (X₂, Y₂) — координаты фишек, которые требуется соединить (левая верхняя клетка имеет координаты (1, 1)). Гарантируется, что эти координаты не будут совпадать (кроме последнего запроса). Последняя строка содержит запрос, состоящий из четырех чисел 0; этот запрос обрабатывать не надо. Количество запросов не превосходит 20.

Формат выходных данных
Для каждого запроса необходимо вывести одно целое число на отдельной строке — длину кратчайшего пути, или 0, если такого пути не существует.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 4 XXXXX X...X XXX.X .XXX. 2 3 5 3 1 3 4 4 2 3 3 4 0 0 0 0	5 6 0
2	4 4 XXXX .X.. ..X. X... 1 1 3 1 0 0 0 0	4

Двумерные массивы Обход в ширину

✓ 2✗ 0—Войти и решать

Считаем графы#38146

У Маши есть связный ненаправленный граф G с N вершинами, помеченными 1…N и M ребрами (\(1 \leq N \leq10^2\), \(N-1 \leq M \leq \frac {N^2+N}{2}\)). G может содержать петли (ребра из вершины в неё же), но не имеет параллельных ребер (несколько ребер, соединяющих одни и те же конечные точки).
Пусть \(f_G(a,b)\) это булевская функция, которая отвечает истина, если существует путь от вершины 1 до вершины a, который проходит ровно b ребер, для \(1 \leq a \leq N\) и \(0 \leq b\), и ложь иначе. Если по ребру проходим множество раз, это число включается в ответ.
Даша хочет повторить за Машей. В частности, она хочет сконструировать ненаправленный граф G′ такой, что \(f_{G'}(a,b)=f_G(a,b)\) для всех a и b.

Посчитайте количество различных графов G′, которые Даша может создать, по модулю \(10^9+7\). Как и G, G′ может содержать петли но не может иметь параллельные ребра (это означает, что имеется всего \(2^{ \frac {N^2+N} {2}}\) различных графов на N вершинах).
Каждый ввод содержит T (\(1 \leq T \leq \frac {10^5}{4}\)) тестов, которые должны решаться независимо. Гарантируется, что сумма \(N^2\) по всем тестам не превысит \(10^5\).

Входные данные
Первая строка ввода содержит T, количество тестов.
Первая строка каждого теста содержит два целых числа N и M.
Следующие M строк каждого теста содержат два целых числа x и y (\(1 \leq x \leq y \leq N\)), обозначающих ребро между x и y в G.

Тесты разделены пустой строкой для читабельности.

Выходные данные
Для каждого теста выведите количество различных G′ по модулю \(10^9+7\) на отдельной строке.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Примечание
1	1 5 4 1 2 2 3 1 4 3 5	3	`G′` может быть равен `G′` или одному из двух следующих графов: 5 4 1 2 1 4 3 4 3 5 5 5 1 2 2 3 1 4 3 4 3 5
2	7 4 6 1 2 2 3 3 4 1 3 2 4 1 4 5 5 1 2 2 3 3 4 4 5 1 5 5 7 1 2 1 3 1 5 2 4 3 3 3 4 4 5 6 6 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 6 7 1 2 2 3 1 3 1 4 4 5 5 6 1 6 10 10 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 22 28 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 1 7 1 8 3 9 8 10 10 11 10 12 10 13 10 14 11 15 12 16 13 17 14 18 9 15 9 16 9 17 9 18 15 19 19 20 15 20 16 21 21 22 16 22	45 35 11 1 15 371842544 256838540	Это пример более крупного теста. Обязательно выводите ответ по модулю \(10^9+7\). Обратите внимание, что ответ для предпоследнего теста - \(2^{45}\ \ (mod\ 10^9 + 7)\).

Вывод формулы графы Обход в ширину

✓ 1✗ 3—Войти и решать

Дейкстра: кратчайший путь через наибольшее число узлов#27208

Дан ориентированный взвешенный граф. Используя алгоритм Дейкстры, найдите кратчайший путь от одной заданной вершины до другой, проходящий через наибольшее число узлов.

Входные данные

В первой строке содержатся два числа: N, F (1≤N≤100, F≤N), где N – количество вершин графа, а F – конечная. В следующих N строках вводится по N чисел, не превосходящих 100, – матрица смежности графа, где -1 означает отсутствие ребра между вершинами, а любое неотрицательное число – присутствие ребра данного веса. На главной диагонали матрицы записаны нули.

Выходные данные

Требуется вывести последовательно все вершины того из путей до заданной, у которого количество переходов наибольшее.

Ввод	Вывод
3 1 0 1 1 4 0 1 2 1 0	2 3 1

Алгоритм Дейкстры кратчайшие пути

—Войти и решать