Алгоритмы на графах

ID 33226. Количество дорог

ID 33227. Суммарная длина дорог

ID 38444. Деревни

В тридесятом государстве есть N деревень. Некоторые пары деревень соединены дорогами. В целях экономии, “лишних” дорог нет, т.е. из любой деревни в любую можно добраться по дорогам единственным образом.
Новейшие исследования показали, что тридесятое государство находится в сейсмически опасной зоне. Поэтому глава государства захотел узнать, какой именно ущерб может принести его державе землетрясение. А именно, он хочет узнать, какое минимальное число дорог должно быть разрушено, чтобы образовалась изолированная от остальных группа ровно из P деревень такая, что из любой деревни из этой группы до любой другой деревни из этой группы по-прежнему можно будет добраться по неразрушенным дорогам (группа изолирована от остальных, если никакая неразрушенная дорога не соединяет деревню из этой группы с деревней не из этой группы).
Вы должны написать программу, помогающую ему в этом.

Формат входных данных
Первая строка входного файла содержит два числа: N и P (1 ≤ P ≤ N ≤ 150). Все остальные строки содержат описания дорог, по одному на строке: описание дороги состоит из двух номеров деревень (от 1 до N), которые эта дорога соединяет. Все числа во входном файле разделены пробелами и/или переводами строки.

Формат выходных данных
В выходной файл выведите единственное число — искомое количество дорог.

Примеры

ID 38512. Шоссе и дороги

Есть N городов. Есть также шоссе K и железные дороги L, проходящие между городами. Каждое i-я шоссе двунаправленно соединяет рi и qi города, а каждая i-я железная дорога двунаправленно соединяет ri и si города. Нет двух шоссе, соединяющих одну и ту же пару городов. Точно так же, никакие две железные дороги не соединяют одну и ту же пару городов. Будем считать, что города A и B соединены шоссе, если до города B можно добраться из города A по некоторому количеству шоссе. Здесь любой город считается соединенным с собой шоссе. Аналогичным образом, мы также определим возможность сообщения железными дорогами. Для каждого города найдите количество городов, соединенных с этим городом как шоссе, так и железными дорогами.

Входные данные
Входные данные поступают в следующем формате:

N K L 
p1 q1 
...
pK qK 
r1 s1 
... 
rl sL

Примеры

ID 38516. Петербург?

– Это что за остановка – Бологое иль Поповка? – А с платформы говорят: – Это город Ленинград.
«Вот какой рассеянный», Самуил Маршак
Пытаясь спастись от мира спортивного программирования, Алина сбежала на вокзал и уехала прочь на ночной электричке. Минуты медленно уплывали в даль, и уставшую девочку клонило в сон. Ей снился город-сказка, где не надо программировать, а можно гулять, мечтать и наслаждаться жизнью. Внезапно дождь из интерактивных задач разрушил эту идиллию.

Проснувшись и открыв окно, Алина задалась вопросом весьма философского свойства: «Где я?». С перрона потерявшейся девочке сообщили, что этот город, не похожий ни на что вокруг, представляет собой неориентированный граф на n вершинах и m ребрах. Сeй невероятный факт, однако, нисколько не удивил Алину. Она давно мечтала побывать в одном таком городе — Петербурге. Его уникальной отличительной особенностью является то, что хотя бы половина его ребер — мосты (определение дано в конце условия). Так как никакие другие города Алине не интересны, она решила ограничиться расспросом находящихся на платформе эрудированных путешественников. Любой из их них может по данной вершине v сообщить любое ещё не названное ребро, исходящее из нее, или же заявить об отсутствии таковых.

Алина неуверена в своих силах, поэтому попросила вас помочь ей определить, попала ли она в Петербург. Так как её поезд скоро продолжит свой путь, задать больше 3n вопросов не получится.

Обратите внимание, что в графе могут присутствовать петли и кратные ребра.

Протокол взаимодействия
В первой строке стандартного потока ввода даны два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 100000 ) — число вершин и ребер в графе соответственно.

Для того, чтобы узнать очередное ребро, исходящее из u-й вершины (1 ≤ u ≤ n), нужно вывести « ? u  ». После этого ваша программа на вход получит целое число v (−2 ≤ v ≤ −1 или 1 ≤ v ≤ n)  — v=a+b−u, если существует ребро ab, которое инцидентно вершине u и ещё не было названо , −1, если такого ребра не существует и −2, если вы превысили допустимое число запросов. В последнем случае ваша программа должна немедленно завершиться, в ином случае жюри не гарантирует корректность полученного вами вердикта.

Вам разрешается задать не более 3n вопросов.

Чтобы сообщить, что ответ найден, требуется вывести « ! Yes » или « ! No », в зависимости от того, является ли загаданный граф Петербургом. В случае положительного ответа выведите \( {m \over 2}\) строк, по два целых числа u_i и v_i в каждой (1 ≤ u_i, v_i ≤ n), обозначающих, что ребро (u_i, v_i) является мостом. Любое ребро в приведенном списке должно встречаться не более одного раза (кратные ребра считаются различными).

Запрос на вывод ответа не входит в ограничение на 3n запросов.

Примечание
В условии в примере взаимодействия вводимые и выводимые данные расположены для удобства восприятия в хронологическом порядке, при реальном взаимодействии никакие «лишние» переводы строк возникать не должны.

Ввод-вывод в примерах демонстрирует пример взаимодействия вашей программы с проверяющей системой.

В первом примере был загадан граф на трех вершинах с ребрами (1, 2) , (2, 3)  и (3, 1) .

Во втором примере была загадан граф на четырех вершинах с ребрами (1, 2) , (2, 3) , (3, 4)  и (2, 3) .

Ребро, соединяющее вершины u и v, называется мостом, если после его удаления между вершинами u и v не существует пути.

Примеры

ID 38521. Кандидаты в не кратчайший путь

Дан неориентированный связный взвешенный граф с N вершинами и M ребрами, который не содержит ни петель, ни двойных ребер. I-е (\(1<=i<=M\)) ребро соединяет вершину ai и вершину bi на расстоянии ci. Будем считать, что петля - это ребро, где \(a_i=b_i\) (\(1<=i<=M\)), а двойные ребра - это два ребра, где \((a_i,b_i)=(a_j,b_j) \) или \((a_i,b_i)=(b_j,a_j)\) (\(1<=i<j<=M\)). Связный граф - это граф, в котором есть путь между каждой парой разных вершин. Найдите количество ребер, которые не входят ни в один кратчайший путь между любой парой различных вершин.

Входные данные
В первой строке задаются два целых числа N и M (\(2<=N<=100\), \(N-1<=M<=min(N \cdot (N-1)/2,1000)\)). Далее идет M строк по три целых числа в каждой строке: ai, bi, ci (\(1<=a_i, b_i<=N\), \(1<=c_i<=1000\)). Данный граф не содержит петель и двойных ребер. Данный граф является связанным.

Выходные данные
Выведите количество ребер в графе, которые не входят ни в один кратчайший путь между любой парой различных вершин.
 

Примеры

3 3
1 2 1
1 3 1
2 3 3

1

3 2
1 2 1
2 3 1

0

ID 38585. Транзитный путь

Вам дано дерево с N вершинами. Здесь дерево - это разновидность графа, а точнее, связный неориентированный граф с N−1 ребром, где N - количество его вершин. I-е ребро (\(1<=i<=N-1\)) соединяет вершины ai и bi и имеет длину ci.
Вам также дано Q запросов и целое число K. Для каждого j-го запроса (\(1<=j<=Q\)) найдите длину кратчайшего пути от вершины xj к вершине yj через вершину K.

Входные данные
В первой строке записано целое число N (\(3<=N<=10^5\)). В следующих N строках записаны вершины ai и bi (\(1<=a_i,b_i<=N\), \(1<=i<=N-1\)) и длина между ними ci (\(1<=c_i<=10^9\), \(1<=i<=N-1\))
Далее идут два числа Q и K (\(1<=Q<=10^5\), \(1<=K<=N\)). В последних Q строках записаны целые числа xj, yj (\(x_j \neq y_j\),\(x_j \neq K\), \(y_j \neq K\) \(1<=j<=Q\), ). 
Заданный граф является деревом.

Выходные данные
Выведите ответы на запросы в Q строках. В j-й строке выведите ответ на j-й запрос.

Примеры

ID 38655. Метро Давилона

Давилон - самый крупный город на Луне. На Давилоне есть собственная система метро, состоящая из N станций и M железнодорожных линий. Станции пронумерованы от 1 до N. Каждой линией управляет компания. У каждой компании есть идентификационный номер. I-я (1<=i<=M) линия соединяет станцию pi и qi двунаправленно. Промежуточной станции нет. Этой линией управляет компания ci . Можно делать пересадки на станции, где доступно несколько линий. Система оплаты проезда, используемая в этой системе метро, немного странная. Когда пассажир использует только те линии, которые обслуживаются одной и той же компанией, тариф составляет 1 сантик (валюта Давилона). Каждый раз, когда пассажир переходит на линию, которой управляет компания, отличная от текущей линии, с пассажира взимается дополнительная плата за проезд в размере 1 сантик. В случае, если пассажир, перешедший с линии компании А на линию другой компании, снова переходит на линию компании А, дополнительный тариф взимается снова. Незнайка сейчас на станции 1 и хочет добраться до станции N на метро. Найдите минимально необходимый тариф.

Входные данные
В первой строке задается два целых числа N (2<=N<=10⁵) и M (0<=M<=2*10⁵). В каждой из следующих M строк записаны по 3 числа: pi, qi и ci; 1<=pi<=N (1<=i<=M), 1<=qi<=N, 1<=ci<=10⁶, pi ≠ qi. 

Выходные данные
Выведите минимальный требуемый тариф. Если добраться до станции N на метро невозможно, выведите -1.

Примеры

ID 33230. Школа

ID 44037. Ускорители для Деда Мороза

Дед Мороз за ночь должен посетить N городов. У него есть двумерный план расположения всех городов. План нарисован в декартовой системе координат, в которой точкой (0, 0) обозначено место старта Деда Мороза. Каждый город на плане отмечен точкой с координатой (Xi, Yi). Также на карте обозначены M точек с координатами (Pi, Qi), в которых расположены ускорители. Чтобы успеть разнести все подарки, Дед Мороз может воспользоваться ускорителем, который увеличивает его скорость в два раза (а может им и не пользоваться).

Дед Мороз в Новогоднюю ночь начинает с места старта, посещает все N городов и возвращается обратно.

Начальная скорость Деда Мороза равна 1. Найдите наименьшее время, необходимое Деду Морозу, чтобы посетить все города и вернуться обратно. Временем, при котором он раскладывает все подарки будем пренебрегать!

Примеры

ID 21903. Магические порталы

В некотором королевстве есть n городов, соединенных магическими порталами. Каждая пара различных городов соединена ровно одним магическим порталом, позволяющим мгновенно перемещаться из одного города в другой.

Из-за свойств магии, определяющей работу порталов, каждый портал можно использовать только в одну сторону. Для каждой пары городов A и B известно, можно ли воспользоваться порталом для перемещения напрямую из A в B или из B в A.

Из-за особенностей магических порталов иногда при перемещении жителей королевства из одного города в другой приходится использовать несколько порталов. Также могут существовать такие пары городов, что из одного города в другой нельзя добраться, используя только магические порталы.

Жители королевства называют город совершенным, если из него можно добраться до любого другого города в королевстве, используя только магические порталы. Пусть изначально количество совершенных городов в королевстве равно k.

Недавно король принял решение выбрать пару городов и изменить разрешенное направление перемещения по порталу, соединяющему их, на противоположное. Для выбора лучшего варианта король хочет понять, какое количество совершенных городов может оказаться в королевстве после перенастройки ровно одного портала.

Для получения этой информации король планирует запросить в министерстве транспорта соответствующий отчет. Король может запросить либо частичный, либо полный отчет. Содержимое отчета зависит от параметра L, для частичного отчета L = k + 1, для полного отчета L = 1.

Отчет содержит для каждого целого числа m, такого что m ≥ L, число таких пар городов A и B, для которых выполняются следующие условия:
- исходно магический портал позволяет перемещаться напрямую из города A в город B;
- если изменить направление перемещения этого магического портала на противоположное, чтобы он позволял напрямую перемещаться из города B в город A, то количество совершенных городов в королевстве станет равным m.

Таким образом, частичный отчет содержит информацию только о тех способах перенастройки одного портала, которые строго увеличивают количество совершенных городов в королевстве. Полный отчет содержит информацию обо всех способах перенастройки одного портала.

Требуется написать программу, которая по информации о разрешенных направлениях перемещения с использованием магических порталов, и информации о том, требуется предоставить частичный или полный отчет, формирует соответствующий отчет и выводит его в описанном ниже формате.

Формат входного файла
Первая строка входного файла содержит два целых числа: n — количество городов в королевстве (2 ≤ n ≤ 2000) и p, равное либо 0, если требуется вывести частичный отчет, либо 1, если требуется вывести полный отчет. Последующие n строк содержат по n символов, каждый из которых может быть «+», «–» или «.», и i-я из этих строк описывает магические порталы, соединяющие i-й город с другими городами.
В i-й строке j-й символ равен «+», если магический портал позволяет напрямую перемещаться из i-го города в j-й, равен «–», если магический портал позволяет напрямую перемещаться из j-го города в i-й, и равен «.», если i = j.
Формат выходного файла
Первая строка выходного файла должна содержать одно целое число k — количество совершенных городов в королевстве.
Если требуется частичный отчет (p = 0), то вторая строка выходного файла должна содержать (n – k) целых неотрицательных чисел, разделенных пробелами, где i-е из этих чисел должно быть равно количеству пар городов, изменение направления портала между которыми на противоположное приводит к тому, что количество совершенных городов в королевстве станет равным (k + i). Если при этом k = n, то вторая строка может отсутствовать, либо быть пустой.
Если требуется полный отчет (p = 1), то вторая строка должна содержать n целых неотрицательных чисел, разделенных пробелами, где i-е из этих чисел должно быть равно количеству пар городов, изменение направления портала между которыми на противоположное приводит к тому, что количество совершенных городов в королевстве станет равным i.

Пример:

ID 21953. Пожар в НИИЧАВО

В научно-исследовательском институте чародейства и волшебства пожар! Во время опыта Кор- неева В. П. по превращению всей морской и океанской воды планеты в живую воду произошло короткое замыкание, и теперь его кабинет объят пламенем. Задача первостепенной важности — спасти из огня ценные лабораторные приборы, в особенности единственный в своём роде диван- транслятор µ-поля. Ваша задача — перенести диван-транслятор из кабинета Корнеева в запасную лабораторию изучения µ-поля.

НИИЧАВО состоит из N кабинетов, соединённых M коридорами. Кабинеты пронумерованы це- лыми числами от 1 до N, при этом кабинет Корнеева имеет номер A, а лаборатория изучения µ-поля расположена в кабинете номер B. Благодаря специальному искажению пространства внутри инсти- тута, все коридоры имеют одинаковую длину, которую можно пройти за 1 минуту, если двигаться быстрым шагом.

Ситуация усугубляется тем, что диван-транслятор — прибор, очень чувствительный к резким пе- репадам температуры. Внутри каждого коридора НИИЧАВО поддерживается свой температурный режим. Если абсолютная величина разности температур в двух последовательных коридорах на пути из кабинета Корнеева в лабораторию окажется больше D градусов, то диван-транслятор пе- рейдёт в нестабильное состояние, что может привести к катастрофическим последствиям. Обратите внимание, что на своём пути вы не заходите в сами кабинеты, а только переходите из коридора в коридор, поэтому климат внутри кабинетов не влияет на диван-транслятор. В силу причин магиче- ского характера, войдя в коридор, вы обязаны дойти до его конца, иными словами, останавливаться или разворачиваться посреди коридора запрещено. По каждому коридору можно перемещаться в обоих направлениях.

Определите, за какое минимальное время можно добраться из кабинета Корнеева до запасной лаборатории, не допуская резкого перепада температур. В рамках данной задачи вам предлагается ответить на поставленный вопрос для нескольких пар значений A и B.

Формат входных данных
В первой строке входных данных следуют три целых числа N, M и D (2 <= N <= 100 000, 1 <= M <= 200 000, 0 <= D <= 2 · 10⁸ ), обозначающие количество кабинетов, количество коридоров в НИИЧАВО и максимальный допустимый перепад температур для дивана-транслятора в граду- сах. В последующих M строках находятся описания коридоров. Каждая строка содержит по три целых числа ui , vi , ti — номера двух кабинетов, соединённых i-м коридором, и значение температуры в этом коридоре, выраженное в градусах (1 <= ui , vi <= N, −109 <= ti <= 10⁹ ). Как вы уже могли понять, НИИЧАВО — весьма необычное заведение, поэтому между двумя кабинетами может пролегать несколько коридоров, возможно с разными температурами, а некоторые коридоры могут соединять кабинет с самим собой. Гарантируется, что коридоры перечислены во входном файле в порядке неубывания ti . В следующей строке находится целое число Q (1 <= Q <= 50) — количество пар A и B, которые вам требуется обработать. В каждой из последующих Q строк находятся по два целых числа Ai , Bi , обозначающих номер кабинета Корнеева и номер кабинета, в котором расположена лаборатория (1 <= A_i , B_i <= N, A_i != B_i).

Формат выходных данных
Для каждого набора данных выведите в отдельной строке минимальное количество минут, ко- торое требуется потратить, чтобы добраться из кабинета Корнеева до лаборатории, либо выведите −1, если сделать это, используя допустимый для дивана-транслятора маршрут, невозможно.

Примеры

ID 21952. Выборы

Скоро в Соединенных Штатах Берляндии пройдут выборы президента. На эту ответственную должность претендуют два кандидата: Дядя Сэм и Дядя Фродо. Вы работаете аналитиком в пред- выборном штабе Дяди Сэма, и вам поручено помочь ему победить конкурента. Раздуть газетный скандал из одержимости оппонента бросанием колец в жерла вулканов не получилось, так что при- дётся воспользоваться математикой.

Казалось бы, чтобы выиграть, необходимо убедить проголосовать за нашего кандидата более половины пришедших на выборы. Оказывается, что иногда нужно гораздо меньше! Для того чтобы понять, как это возможно, рассмотрим подробнее процедуру голосования.

Как вы знаете, Соединенные Штаты Берляндии разделены на несколько административных ре- гионов первого уровня — штатов. Сначала в каждом из штатов проходят местные выборы, по итогам которых каждый штат отдаёт свой голос за одного из кандидатов. Если не менее половины штатов выбрало Дядю Сэма, то выигрывает он (в случае равенства голосов Дядя Сэм имеет преимущество как действующий президент), иначе побеждает Дядя Фродо. Все штаты, в свою очередь, состоят из административных регионов второго уровня, каждый из которых представлен выборщиком из административных регионов третьего уровня и так далее. Последний уровень состоит из отдельных жителей Берляндии. Всего в Берляндии N жителей и K уровней административных единиц. Одним из ключевых принципов этой страны является равенство, так что любой регион i-го уровня делится на одинаковое число регионов следущего уровня (в том числе содержит одинаковое число граждан).

Так получилось, что делением на регионы поручили заняться именно вам, то есть в ваших руках назначить, на сколько именно административных единиц i-го уровня делится (i−1)-ая администра- тивная единица.

Также у вас есть сильный инструмент влияния на выбор людей — нефтяные бурли. Чтобы заста- вить одного избирателя отдать свой голос за Дядю Сэма, достаточно дать ему скромный подарок в размере одного нефтяного бурля.

К несчастью, изначально все N жителей Соединённых Штатов Берляндии собираются отдать свой голос за Дядю Фродо. Требуется определить минимальное количество нефтяных бурлей, ко- торое достаточно потратить для победы на выборах.

Формат входных данных

В единственной строке ввода находятся два целых числа N и K (1 <= N <= 10¹⁵ , 1 <= K <= 10).

Формат выходных данных
Требуется вывести единственное число — минимальное количество нефтяных бурлей, которое придётся потратить на предвыборные подарки при наилучшем разбиении на регионы.

Примеры

ID 27116. Boolean Satisfiability

Boolean satisfiability problem (SAT) is known to be a very hard problem in computer science. In this problem you are given a Boolean formula, and you need to find out if the variables of a given formula can be consistently replaced by the values true or false in such a way that the formula evaluates to true. SAT is known to be NP-complete problem. Moreover, it is NP-complete even in case of 3-CNF formula (3-SAT). However, for example, SAT problem for 2-CNF formulae (2-SAT) is in P.

#SAT is the extension of SAT problem. In this problem you need to check if it is possible, and count the number of ways to assign values to variables. This problem is known to be #P-complete even for 2-CNF formulae. We ask you to solve #1-DNF-SAT, which is #SAT problem for 1-DNF formulae.
You are given a Boolean formula in 1-DNF form. It means that it is a disjunction (logical or) of one or more clauses, each clause is exactly one literal, each literal is either variable or its negation (logical not). Formally:

ID 27216. Switch Grass

1
3
3
1

ID 44510. Возрастающие пути

Дано дерево на n вершинах (связный неориентированный ациклический граф c n−1 рёбрами), где у каждого ребра есть вес w. Назовём простой путь длины k возрастающим , если существует такое целое x>=2, что вес первого ребра пути делится на x, второго ребра — делится на x2, ……, вес k-го ребра делится на xk.

Требуется найти максимальную длину k возрастающего пути, где k — количество рёбер в нём.

В первой строке вводится единственное целое число n (1 <= n <= 100000) - число вершин в дереве.

В следующих n−1 строках вводятся по три целых числа u, v, w ( 1<= v <= n, 1<= w <= n, u ≠ v, 1 <= w <= 10⁷) - номера вершин, которые соединяет очередное ребро, и его вес.

Выведите одно целое число k - максимальную длину возрастающего пути.

Простым путем называется такой путь, что все вершины в нем различны.

В 1-м примере есть путь длины 2: 3 — 1 — 2. Тогда для него подходящий x = 2. Можно показать, что возрастающего пути большей длины не существует.

Во 2-м примере есть путь длины 3: 3 — 4 — 5 — 6. Тогда для него подходящий x = 2. Можно показать, что возрастающего пути большей длины не существует.

Примеры

4
1 2 8
1 3 6
1 4 3

2

6
1 2 2
2 3 4
3 4 2
4 5 4
5 6 8

3

ID 33124. Мониторинг труб

строку si — саму спецификацию (1 ≤ wi ≤ 10⁹). Суммарная длина строк si не превышает 10⁶.
 

Формат выходных данных

Первая строка выходных данных должна содержать одно число — минимальную

суммарную стоимость запусков робота, в результате которых все трубы будут проверены.

Если проверить все трубы невозможно, требуется вывести «–1».

Если t = 0, то больше ничего выводить не требуется.

Если t = 1 и проверить трубы возможно, то далее следует вывести список описаний

запусков робота. В этом случае вторая строка выходных данных должна содержать

число k — количество запусков робота, которое необходимо выполнить для проверки труб. В

следующих k строках необходимо вывести по три целых числа ai, bi и ci — номер узла, в

котором начинается запуск, номер узла, в котором заканчивается запуск, и номер

спецификации, которой соответствует запуск.

Если оптимальных способов проверки несколько, требуется вывести любой из них.
 

Ввод	Вывод
3 3 0 1 a 2 b 3 a 4 b 2 a	6
7 3 1 1 a 2 a 3 b 3 b 1 b 6 b 3 aab 5 b 2 ab	15 4 1 4 1 2 5 3 1 6 2 6 7 2

 

Пояснение к примеру

Система труб, заданная во втором примере входных данных, и оптимальный способ

проверки всех труб для этого случая приведены на рисунке ниже.

 

 

Необходимо обратить внимание на следующие моменты:

- трубу можно проверять несколько раз, так в приведенном примере дважды

проверена труба из узла 2 в узел 3;

- одну и ту же спецификацию разрешается использовать несколько раз, в

приведенном примере вторая спецификация используется дважды, для

проверки труб из узла 1 в узел 6 и из узла 6 в узел 7;

ID 52269. Загадка у костра

Однажды Юрик оказался в лесу у костра, где собрались \(n\) человек. Оказалось, что некоторые из них знакомы друг с другом. Для удобства пронумеруем людей целыми числами от \(1\) до \(n\). Обозначим как \(d_i\) количество людей, сидящих у костра, с которыми знаком \(i\)-й человек. Неожиданно оказалось, что два человека с номерами \(i\) и \(j\) (\(i \ne j\)) знакомы друг с другом тогда и только тогда, когда \(d_i = d_j\).

Вернувшись домой, Юрик задумался, какое минимальное количество пар людей могли быть знакомы, чтобы выполнялось это условие?

Формат входных данных
Единственная строка содержит одно целое число \(n\) (\(1 \le n \le 5\,000\)) — количество людей.

Формат выходных данных
Выведите одно целое число — минимальное количество пар знакомых людей.

Замечание
Рассмотрим первый пример из условия. Возможны следующие варианты:

1. Любые два человека знакомы друг с другом. В этом случае количество пар знакомых людей равно \(\frac{4 \cdot 3}{2} = 6\).

2. Некоторые три человека попарно знакомы друг с другом, четвертый человек не знаком ни с кем. В этом случае количество пар знакомых людей равно \(3\).

ID 53849. Восстановление графа

Пусть нам известны степени (количество ребер, инцидентных данной вершине) всех вершин неориентированного графа. Требуется построить неориентированный граф без петель и кратных ребер с заданными степенями вершин или сказать, что это невозможно.

Формат входных данных

Первая строка входного файла содержит натуральное число N (1 <= N <= 500), а во второй строке N чисел - степени вершин.

Формат выходных данных

В первой строке выходного файла выдать слово 'Yes', если граф построить можно, или 'No', если нет. Если построить возможно, то выдать в следующей строке количество ребер, далее список ребер, заданных парой вершин.

ID 53856. Лабиринт знаний

В ЛКШ построили аттракцион "Лабиринт знаний". Лабиринт представляет собой N комнат, занумерованных от 1 до N, между некоторыми из которых есть двери. Когда человек проходит через дверь, показатель его знаний изменяется на определенную величину, фиксированную для данной двери. Вход в лабиринт находится в комнате 1, выход - в комнате N. Каждый ЛКШонок проходит лабиринт ровно один раз и попадает в группу в зависимости от набранных знаний (при входе в лабиринт этот показатель равен нулю). Ваша задача показать наилучший результат.

Входные данные
Первая строка входного файла содержит целые числа N (1 <= N <= 2000) - количество комнат и M (1 <= M <= 10000) - количество дверей. В каждой из следующих M строк содержится описание двери - номера комнат, из которой она ведет и в которую она ведет, а также целое число, которое прибавляется к количеству знаний при прохождении через дверь (это число по модулю не превышает 10000). Двери могут вести из комнаты в нее саму, между двумя комнатами может быть более одной двери.

Выходные данные
В выходной файл выведите ":)" - если можно получить неограниченно большой запас знаний, ":(" - если лабиринт пройти нельзя, и максимальное количество набранных знаний в противном случае.

ID 53870. План уничтожения

Секретный бункер уходит на N этажей вниз. Под нижним этажом бункера находится сверхсекретная лаборатория. Злобный диверсант хочет вывести лабораторию из строя, залив её водой (даже очень небольшого количества воды хватит, чтобы запоганить сверхточные приборы). Для этого он использует лужицы воды, остающиеся от жизнедеятельности обитателей бункера. В лужицах i-го этажа находится Ei воды. Диверсанту известно, что если на нём скопится больше Сi воды, то перегородка не выдержит и вся вода сольется на этаж ниже. Он может проделать отверстия в некоторых перегородках, по которым вода также стечет вниз. Проделать отверстие в полу i-го этажа стоит Pi у.е. Помогите диверсанту уничтожить лабораторию с минимальными материальными затратами.

Входные данные
Первая строка содержит натуральное число N (1 <= N <= 50000) - количество этажей в бункере, в следующих N строках находятся тройки целых чисел C_i, E_i, P_i (0 < E_i <= Ci < 1000000; E₁+E₂+...+E_N < 2000000000; P_i > 0; P₁+P₂+...+P_N < 2000000000). Этажи нумеруются сверху вниз.

Выходные данные
В первой строке выдать количество денег, которое придется потратить злобному диверсанту, в следующих строках выведите номера этажей, в полу которых следует проделать отверстия.