Элементарная геометрия

ID 65992. 65992

Город имеет форму круга радиуса R с центром в точке (0,0).
Сеть метро состоит из N линий метро (часть линий или все проходят через город).
Линия метро - ломаная из отрезков прямых, вершины которых имеют целочисленные координаты. Линия метро не имеет самопересечений и может быть замкнутой. Во всех точках с целочисленными координатами, через которые проходят линии метро расположены станции метро .
Для каждой точки с целочисленными координатами определим параметр вес вершины. Вес вершины — это количество станций метро, расстояние до которых не более 1 (длины клетки).
Город разбит на кварталы. Квартал — это единичная клетка с целочисленными координатами вершин, хотя бы одна из которых находящаяся строго внутри города.
Для каждого квартала определим параметр доступность. Доступность квартала равна сумме весов вершин квартала (вершина квартала может быть вне города)
Найдите значение "доступности" для каждого квартала. Для каждой полученной "доступности" определите число кварталов, имеющих эту доступность.
Входные данные
В первой строке заданы значения R, N (4<R<201, 0<N<1001)
В следующих N строках заданы описания линий метро.
Каждая линия описывается следующим образом:
первое число в строке M равно количеству вершин ломаной, далее даны координаты вершин (по два числа на вершину).
Замкнутые ломаные определяются тем, что координаты начальной и конечной вершины совпадают.
Выходные данные
В первой строке выведите число K - количество различных значений "доступности" (включая нулевую).
В следующих K строках выведите по два числа - значение "доступности" и число кварталов, имеющих такое значение "доступности"

Примеры:

 

ID 65796. 5

Саша и Маша живут в разных домах одного района. Их дома находятся возле пруда в форме квадрата. Однажды глава района предложил жителям нарисовать тропинки, которые они хотели бы видеть в своём районе, чтобы в дальнейшем проложить их. Потому ребята решили рассчитать самый короткий маршрут, который может быть, чтобы пройти от одного дома к другому. На изображении ниже представлен вариант расположения пруда и двух домов ребят (зелёная точка и оранжевая). Требуется рассчитать, какое самое кратчайшее расстояние требуется им преодолеть, чтобы оказаться друг у друга в гостях.


Примечание:

• дома могут находиться как по разные стороны пруда, так и поодну;
• требуется рассчитать ответ с точностью до десятых (если ответполучился целый, то выводить всегда после запятой один знак);
• передвигаться можно только по прямым, но не дугам;
• стороны пруда всегда параллельны осям OX и OY;
• точки, обозначающие дома могут лежать на границе пруда, и передвигать по границе пруда разрешено. 

ID 56778. Отражение точки

Заданы коэффициенты уравнения прямой ax + by + c = 0 и координаты точки A (xa, ya). Найдите точку B, которая является отражением точки A относительно заданной прямой.

В начале с клавиатуры вводятся коэффициенты уравнения прямой a, b, c, затем координаты точки A. Исходные данные являются целыми числами, по модулю не превышающими 1000

Выведите координаты точки B с точностью до пятого знака после запятой.

ID 56739. Собъем воздушный шарик

Винни Пух и Пятачок отправились воровать мед у пчел, и, в очередной раз влипли в неприятности. Пятачку опять потребовалось выстрелить из своего охотничьего ружья и пробить воздушный шарик, на котором Винни Пух поднялся к дуплу за медом. При этом желательно попасть именно в шарик, не задев медведя. Вычислите оптимальную позицию для стрельбы.

Поскольку Винни Пух очень любит покушать, то в данной задаче (да и не только в задаче) примем его за сферу радиуса  P. Центр медведя находится на высоте Hp над уровнем земли. Строго над медведем , находится еще одна сфера, радиуса S – воздушный шарик; центр шарика находится на высоте Hs над уровнем земли. Центры обеих сфер находятся на одной вертикальной прямой.  По понятным причинам гарантируется, что сферы не пересекаются J, однако могут касаться.

Считая, что ружье стреляет строго по прямой, вычислите минимальное расстояние L, на которое Пятачок должен отойти от места взлета, чтобы успешно поразить шарик. Шарик считается пораженным, если траектория пули хотя бы касается его поверхности; при этом если траектория пули касается медведя, то он считается невредимым.

Формат входных данных

C клавиатуры вводятся положительные целые числа P, Hp, S и Hs, не превосходящие 10000.

Формат входных данных

Выведите минимальное расстояние от точки взлета, с которого можно поразить шарик из ружья с точностью не менее 5 знаков после запятой.

ID 56720. Подсчёт зелёных насаждений

В рамках проекта по улучшению городской инфраструктуры вам необходимо провести анализ распределения зеленых насаждений (деревьев, кустарников и т.д.) вокруг новых жилых комплексов. Область вокруг жилых комплексов на плане города ограничена окружностью. Внутрь одной области, ограниченной окружностью, могут попадать несколько жилых комплексов. 

У вас есть массив points, где points[i] = [xi, yi] — координаты i-го зеленого насаждения на двумерной карте города.

Также у вас есть массив queries, где queries[j] = [xj, yj, rj] описывает j-ю круговую зоны, в которой необходимо оценить количество зеленых насаждений.

Для каждого запроса queries[j] вычислите количество зеленых насаждений, находящихся внутри j-й круговой зоны. Точки, находящиеся на границе зоны, также считаются входящими в эту зону.

Верните массив answer, где answer[j] — это количество зеленых насаждений в j-й круговой зоне.
 

ID 56660. Пересечение кубов

В пространстве с прямоугольной системой координат находятся два куба. Про них известно следующее:

• сторона каждого куба равна 2, 
• центр (т.е. центр симметрии) каждого куба совпадает с началом данной системы координат,
• координаты вершин >первого куба A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈ следующие: A₁(1, 1, 1), A₂(1, –1, 1), A₃(–1, –1, 1), A₄(–1, 1, 1), A₅(1, 1, –1), A₆(1, –1, –1), A₇(–1, –1, –1), A₈(–1, 1, –1), 
• вершины второго куба B₁B₂B₃B₄B₅B₆B₇B₈ пронумерованы так, что путем поворота кубы можно совместить, и при этом совместятся соответствующие их вершины (A₁ и B₁, A₂ и B₂, … , A₈ и B₈)
• координаты вершин второго куба даны во входном файле.

ID 55693. Мышка с колесиком

Пользователь просматривает таблицу в Internet Explorer и пользуется для прокрутки изображения колесиком на мышке. При этом все изображение сдвигается вверх или вниз на T пикселов. Пользователю очень не нравится, когда курсор мыши оказывается на горизонтальных линиях, разделяющих строки таблицы. Поэтому он хочет выбрать такое положение для курсора мыши на экране, чтобы в процессе прокрутки до конца таблицы курсор как можно меньшее число раз пересекался с линиями таблицы.

При этом если в каком-то положении курсор оказывается на двух линиях таблицы, то это считается за два пересечения курсора с линиями таблицы. Если какую-то линию курсор мыши пересекает в двух положениях (то есть, например, высота курсора 10 пикселей, а при прокрутке таблица сдвигается на 7 пикселей, тогда курсор мыши может оказываться на одной линии в двух состояниях прокрутки), то это также считается за два пересечения.

Экран монитора имеет разрешение по вертикали U пикселей. Координаты введены так, что самые верхние точки экрана имеют координату 0, а нижние — координату U–1.

Курсор мыши имеет высоту H пикселов. Расположением курсора считается самая верхняя точка курсора. Таким образом, если мы говорим, что он расположен, например, в точке с координатами 0 на экране, то его изображение расположено в точках с координатами от 0 до H–1. Курсор мыши всегда целиком помещается на экране, то есть допустимыми координатами для его расположения являются координаты от 0 до U–H.>

Таблица, которую просматривает пользователь, имеет высоту L пикселов и состоит из N–1 строки, и, следовательно, в ней N горизонтальных линий, которые имеют координаты X₁, X₂, …, X_N. При этом 0=X₁<X₂<X₃<…<X_N=L–1.

В начальный момент времени таблица расположена так, что линия, имеющая координату 0 в таблице отображается в 0-й строке пикселов монитора. Далее при прокрутке таблица каждый раз сдвигается на T пикселов (то есть в 0-й строке монитора оказывается строка пикселов, имеющая в таблице координату T, координату 2T и т.д.). Так происходит до тех пор, пока на экране не окажется нижняя линия таблицы (которая имеет координату XN). После этого дальнейшая прокрутка не происходит (если изначально X_N<U, то прокрутка вообще не происходит).

Входные данные
Во входном файле задано сначала разрешение монитора по вертикали U, затем высота курсора мыши H, затем шаг прокрутки T. Далее задана высота таблицы L. Далее задано количество разделительных линий в таблице N, и координаты X₁, X₂,…,X_N, где расположены эти линии относительно начала таблицы.

Ограничения

• 10<U<512
• 1<H<U
• 1<T<U
• 2<N<200000
• 0=X₁<X₂<…<X_N=L–1≤10⁹.

ID 55513. Сократи векторы

На плоскости задано N векторов – направленных отрезков, для каждого из которых известны координаты начала и конца (вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нуль-вектором, можно считать, что нуль-вектор лежит на любой прямой, которая через него проходит). Введем следующие три операции над направленными отрезками на плоскости:

1) Направленные отрезки ненулевой длины, лежащие на пересекающихся прямых, можно заменить на их сумму, причем единственным образом. В этом случае отрезки переносятся вдоль своих прямых так, чтобы их начала совпадали с точкой пересечения прямых, и складываются по правилу сложения векторов (правилу параллелограмма, при этом началом результирующего вектора является точка пересечения прямых).

2) Направленные отрезки, лежащие на одной прямой, также можно заменить на их сумму. Для этого один из отрезков (любой) нужно перенести в начало второго из них и сложить по правилу сложения векторов на прямой:

Это правило применимо и в случае, когда один из векторов, или даже оба, являются нуль-векторами.

Заметим, что если складываемые векторы противоположно направлены и имеют одну и ту же длину, то результатом их сложения является нуль вектор.

3) В любой точке плоскости можно породить два противоположно направленных отрезка равной (в том числе и нулевой) длины:

Будем говорить, что две системы векторов эквивалентны, если от одной системы можно перейти к другой с помощью конечной последовательности перечисленных выше операций.

Требуется получить любую систему векторов, эквивалентную заданной, состоящую из как можно меньшего числа векторов.

Входные данные
В первой строке записано число N – количество заданных векторов (1 < N ≤ 1000). В каждой из следующих N строк через пробел записаны четыре числа, обозначающие координаты начала и конца каждого из векторов соответственно. Все координаты – целые числа, по модулю не превосходящие 1000.

Выходные данные
В первой строке следует записать число M – количество векторов в полученной системе (1 ≤ M ≤ N). В каждой из следующих M строк через пробел должны находиться четыре числа, обозначающие координаты начала и конца каждого из векторов соответственно. Все координаты – вещественные числа, записанные с 6 цифрами после точки.

ID 55462. Сад пчел

В саду Бена расположено n ульев. Некоторые из них соединены друг с другом или с домом Бена прямыми дорожками. Бен гуляет только по дорожкам, переходя с одной на другую только возле очередного улья. Ни дом Бена, ни какой-либо улей не расположены на дорожке, соединяющей другие два улья. Дорожки организованы таким образом, что Бен может дойти от дома до любого улья только единственным способом.

Каждую неделю Бен делает обход ульев. Он начинает от своего дома и идет по дорожкам, посещая каждый улей по крайней мере один раз, минимизируя при этом общий путь. Сын Бена решил помочь своему стареющему отцу и проложить еще одну прямую дорожку между двумя ульями, так чтобы путь Бена от дома через все ульи с возвращением к дому стал как можно короче. Она, как и старые дорожки, проходить мимо дома или другого улья не должна.

Входные данные
На вход сначала подается число n — количество ульев (1≤n≤200).

Введем координаты так, что дом Бена будет располагаться в точке (0, 0). В следующих n строках входных данных записаны координаты ульев в саду Бена. Они не превосходят 10000 по абсолютному значению. Никакие два улья не совпадают, и нет ульев, расположенных в точке (0, 0). Будем считать, что они пронумерованы от 1 до n.
Следующие n строк описывают дорожки — каждая дорожка описывается номерами объектов, которые она соединяет. Дом Бена имеет номер 0.

Выходные данные
Выведите два числа — номера объектов, которые надо соединить дополнительной дорожкой. Если требуемой прямой дорожки, сокращающей общий путь Бена не существует, то выведите –1.

ID 55442. Рисование

Дано N точек на плоскости, их надо покрасить в черный и белый цвета.

При этом должны присутствовать точки обоих цветов и должна существовать прямая, по одну сторону от которой все точки черные, по другую белые.

Требуется посчитать количество раскрасок, удовлетворяющих этим условиям.

Входные данные
В первой строке задано число 2≤N≤300. В следующих N строках заданы координаты точек.

Выходные данные
Выведите единственное число - количество различных раскрасок.

ID 55414. Электрик-ковбой Джо

Джо - электрик-ковбой. Как у всех ковбоев у него есть лассо, как всем электрикам ему иногда приходиться залезать на столбы, и как все он ленив.

Вот и сейчас ему поручили проверить два стоящих на расстоянии d друг от друга столба высоты h₁ и h₂ соответственно. Чтобы убедиться, что все хорошо, Джо должен побывать на вершинах обоих столбов.

Электрик-ковбой посещает столбы следующим образом: сначала он выбирает один из столбов и просто взбирается на него. Выполнив все работы на вершине, он спускается по этому столбу на некоторую высоту (возможно до самой земли), достает свое лассо и цепляется им за некоторую точку второго столба (это может быть произвольная точка). После этого Джо прыгает и двигается вниз по дуге окружности с центром в точке, за которую зацепилось лассо, пока не достигнет либо другого столба, либо земли.

При этом если от начальной позиции электрика до конца его полета высота изменяется более чем на l, то ковбой набирает слишком большую скорость, больно ударяется и попадает в больницу, так и не выполнив работу. Поэтому Джо всегда аккуратно выбирает параметры прыжка.

Если в результате прыжка Джо оказался на земле, он подходит к другому столбу и взбирается на него. Если же Джо оказался на столбе, то он взбирается на вершину из той точки, в которой он оказался.



Джо просит вас помочь ему выполнить работу, сообщив какое минимальное расстояние ему придется лезть вверх по столбам.

Входные данные
Входной файл содержит четыре положительных целых числа: d, h₁, h₂ и l - расстояние между столбами, высоту первого и второго столбов и максимальный допустимый перепад высот при прыжке, соответственно. Все числа во входном файле не превышают 10⁶.

Выходные данные
Выведите ответ с максимальной возможной точностью. Ответ будет проверяться с точностью до 10⁻⁵.

ID 55403. Путь через горы

Поверхность Земли в горной местности можно представить в виде ломаной линии. Вершины ломаной расположены в точках (x₁, y₁), (x₂, y₂),…,(x_N, y_N), при этом x_i<x_i+1.

Обычный горный маг находится в точке (x₁, y₁) и хочет попасть в точку (x_N, y_N). При этом он может перемещаться только пешком. Он может ходить по поверхности Земли (т.е. вдоль ломаной). А может сотворить в воздухе мост и пройти по нему. Мост может соединять две вершины ломаной: мост не может начинаться и заканчиваться не в вершине ломаной, и мост не может проходить под землей (в том числе не может быть туннелем в горе), но мост может каким-то своим участком проходить по поверхности земли. Длина моста не может быть больше R. Суммарно маг может построить не более K мостов.

Какое наименьшее расстояние придется пройти магу, чтобы оказаться в точке (x_N, y_N).

Входные данные
Вводится сначала натуральное число N (2≤N≤100). Затем водится натуральное число K (1≤K≤100) — максимальное количество мостов. Далее вводится целое число R (0≤R≤10000) — максимальная возможная длина моста. Далее вводятся координаты (x₁, y₁), (x₂, y₂),…,(x_N, y_N). Все координаты – целые числа, не превышающие по модулю 10000, для всех i от 1 до N–1: x_i<x_i+1.

Выходные данные
Выведите одно число — минимальную длину пути, которую придется пройти магу (как по земле, так и по мостам). Ответ выведите не менее чем с 5 цифрами после десятичной точки.

ID 55396. Треугольники

На плоскости отмечено несколько точек. Требуется определить, можно ли нарисовать треугольник с вершинами в трех из этих точек, внутри которого не будет других отмеченных точек.

Входные данные
Сначала вводится натуральное число N, не превосходящее 100 – количество точек. Далее вводится N пар координат этих точек – целые числа, не превосходяшие 1000.

Выходные данные
Вывести слово YES (заглавными латинскими буквами), если такой треугольник нарисовать можно и NO в противном случае.

ID 55176. Морской бой

N вражеских кораблей движутся прямолинейно с постоянными скоростями. Вакуумная бомба уничтожает все объекты в радиусе R от точки взрыва (то есть все объекты, расстояние от которых до точки взрыва не больше R). Взрывать бомбу можно только в целые моменты времени.

Требуется определить, за какое наименьшее количество взрывов можно уничтожить все корабли, а также в какие моменты времени и в каких точках для этого следует произвести взрывы. Время отсчитывается от момента, когда координаты движущихся кораблей были определены со спутника.

Входные данные
В первой строке входных данных задаются целые числа N (2 <= N <= 10) и R (0 < R ≤ 50. В следующих Nстроках  содержится по 4 числа, описывающих движение кораблей. Первые два числа строки – координаты корабля в момент времени 0, по модулю не превосходящие 10⁵. Следующие два числа – значения координат вектора скорости, по модулю не превосходящие 1000. Все эти числа целые.

Гарантируется, что никакие 2 корабля не имеют одинаковые векторы скорости.Однако вполне возможно, что в какой-то момент времени два корабля пройдут через одну точку.

Выходные данные
В первой строке выведите одно число – минимальное количество взрывов K. В следующих K строках для каждого взрыва выведите по три числа: целое время взрыва и вещественные координаты взрыва, указанные с точностью не менее трех значащих цифр после точки. Разрешается производить взрывы как в разные, так и в один и тот же момент времени. Разрешается взрывы производить как в различных точках, так и в одной точке в разные моменты времени.

Если решений несколько, выведите любое из них.

ID 55168. Площадь треугольника

Даны длины трёх отрезков. Если возможно, требуется построить треугольник, в котором один из этих отрезков был бы высотой, один - биссектрисой и один - медианой; все построенные из одной вершины.

Ограничения: длина каждого из трёх отрезков от 0.01 до 100, точность результата должна быть 0.001.

Входные данные
Вводятся три положительных числа, разделённых пробелами, - длины отрезков.

Выходные данные
Выводится одно число - площадь треугольника. Если треугольник нельзя построить, вывести -1. Если может быть построено несколько треугольников с разными площадями, вывести 0.

ID 55146. Круговая площадь

Два круга заданы координатами центров в прямоугольной декартовой системе координат и радиусами. Найти площадь их пересечения.

Ограничения: во входных данных числа вещественные и по модулю не превосходят 1000.

Входные данные
В первой строке находятся шесть вещественных чисел через пробел - координаты центров и радиусы двух кругов: x₁, y₁, r₁, x₂, y₂, r₂.

Выходные данные
Вывести одно вещественное число с двумя знаками после запятой - площадь пересечения кругов.

ID 55137. Прямоугольное деление

Дано N прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Требуется определить, на сколько частей эти прямоугольники разбивают плоскость (внутри частей не должно быть границ прямоугольников).

Входные данные
В первой строке содержится число прямоугольников N. Далее идут N строк, содержащих по 4 числа x₁, y₁, x₂, y₂ - координаты двух противоположных углов прямоугольника.

Ограничения: 1 <= N <= 100, координаты представляют собой целые числа и по абсолютной величине не превосходят 10 000.

Выходные данные
Вывести одно число - количество частей, на которые разбивается плоскость.

ID 55125. Прямая и квадраты

В прямоугольной декартовой системе координат прямая задана двумя принадлежащими ей точками (0, W) и (100N, E). Также заданы N2 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Квадрат S_i, j имеет координаты углов (100i, 100j) и (100i - 100, 100j - 100), i, j = 1, 2, ..., N. Требуется найти количество квадратов, имеющих общую точку с прямой.

Входные данные
В первой строке находятся три целых числа, N, W и E, разделённых пробелами. 1 <= N <= 100, 0 <= W, E <= 100N, все числа целые.

Выходные данные
Вывести одно число - количество квадратов.

ID 55103. Открытка и конверт

Даны размеры прямоугольных открытки и конверта. Требуется определить, поместится ли открытка в конверт.

Входные данные
В первой строке находятся размеры открытки, во второй - размеры конверта. Pазмеры открытки и конверта - целые положительные числа, не превосходящие 100.

Выходные данные
Если открытку можно вложить в конверт, вывести "Possible", если нет - вывести "Impossible".

ID 55098. Пересечение отрезков

Два отрезка на плоскости заданы целочисленными координатами своих концов в декартовой системе координат. Требуется определить, существует ли у них общая точка.

Входные данные
В первой строке содержатся координаты первого конца первого отрезка, во второй - второго конца первого отрезка, в третьей и четвёртой - координаты концов второго отрезка. Kоординаты целые и по модулю не превосходят 10 000.

Выходные данные
Выводится слово "Yes", если общая точка есть, или слово "No" - в противном случае.