| Условие задачи | | Прогресс |
|
Темы:
Рекурсия
НОД и алгоритм Евклида
Даны два числа. Найти их наибольший общий делитель.
Входные данные: Вводятся два натуральных числа, не превышающих 10^9, (запись 10^9 обозначает "10 в 9-й степени", то есть 1000000000).
Выходные данные: Выведите НОД введенных чисел
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
42 12 |
6 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Заданы два натуральных числа в десятичной системе счисления, состоящие из единиц. В первом числе ровно N единиц, а во втором их ровно M. Требуется найти НОД этих чисел.
Входные данные
В единственной строке записаны два целых числа N и M (\(1 <= N,\ M <= 2000\)).
Выходные данные
Выведите ответ без ведущих нулей.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
1 1 |
1 |
| 2 |
1 2 |
1 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Длина шага папы – А см, а у маленькой дочери – В см. Они начинают идти, поставив ноги на одну отметку. Какое расстояние они пройдут, чтобы их ноги опять встали вровень?
Оформите решение задачи в виде функции solve(A, B), которая возвращает ответ. Ничего вводить и выводить Вам не нужно!
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
70 15 |
210 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
На математическом конкурсе ребята играли в увлекательную древнюю китайскую головоломку Танграм. В одном игровом комплекте было А остроугольных, а в другом - В тупоугольных треугольников. Какое наименьшее число участников могут пользоваться комплектами из одинакового количества каждого вида треугольников?
Оформите решение задачи в виде функции solve(A, B), которая возвращает ответ. Ничего вводить и выводить Вам не нужно!
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
12 15 |
60 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
В теплице посадили в 2 ряда разные сорта орхидей. Цветы одного сорта разместили на расстоянии А см между растениями, а другого - на В см. Через какое расстояние орхидеи обоих сортов окажутся рядом?
Оформите решение задачи в виде функции solve(A, B), которая возвращает ответ. Ничего вводить и выводить Вам не нужно!
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
15 18 |
90 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Студент на первом курсе скачивал из интернета в среднем А Кбайт информации в день, а на втором курсе – В Кбайт, оплачивая одну и ту же сумму денег за полученный интернетный трафик в неделю. Какой наименьший объем информации в Кбайтах он скачивал за неделю?
Оформите решение задачи в виде функции solve(A, B), которая возвращает ответ. Ничего вводить и выводить Вам не нужно!
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
60 75 |
300 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Вьетнамские народные умельцы из кусочков рисовой соломки делают декоративные панно, наклеивая их на досточки. Какой наименьшей длины (в мм) должна быть соломка, чтобы ее можно было разрезать на равные части по А мм и В мм, не получая обрезков?
Оформите решение задачи в виде функции solve(A, B), которая возвращает ответ. Ничего вводить и выводить Вам не нужно!
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
20 27 |
540 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Сережа очень любит математические задачи. Недавно на математическом кружке ему рассказали, что такое НОД и НОК.
НОД двух натуральных чисел a и b — это их наибольший общий делитель, то есть такое максимальное число x, что a делится на x и b делится на x. Например, \(НОД(24, 18) = 6\). А НОК целых чисел a и b — это их наименьшее общее кратное, то есть такое минимальное число x, что x делится на a и x делится на b. Например, \(НОК(24, 18) = 72\).
Сережа сразу заметил, что может существовать несколько пар чисел с одинаковыми НОД и НОК. Теперь он заинтересовался вопросом: если заданы числа a и b, насколько близко друг к другу могут быть два числа, у которых такие же НОД и НОК.
Помогите ему по заданным двум числам a и b найти такие числа x и y, что \(НОД(a, b) = НОД(x, y)\), \(НОК(a, b) = НОК(x, y)\), а их разность \(y - x\) минимальна.
Входные данные
В первой строке входного файла находятся два натуральных числа a и b (\(1 <= a, b <= 10^9\)).
Выходные данные
Выведите два натуральных числа x и y ( \(1 <= x <= y\)), таких, что \(НОД(a, b) = НОД(x, y)\), \(НОК(a, b) = НОК(x, y)\), а их разность \(y - x\) минимальна.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
3 4 |
3 4 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Вывести в порядке возрастания все несократимые дроби, заключённые между 0 и 1, знаменатели которых не превышают N.
Входные данные
В первой строке находится единственное число N (\(2 <= N <= 255\)).
Выходные данные
В каждой строке выводится одна дробь.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
5 |
1/5
1/4
1/3
2/5
1/2
3/5
2/3
3/4
4/5 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Катя решила пригласить к себе в гости n друзей. Так как ее друзья очень любят фрукты, то в качестве угощения для них она купила m одинаковых апельсинов. Она хочет разрезать каждый апельсин на одинаковое число равных долек так, чтобы их можно было распределить между гостями (сама Катя апельсины есть не будет), и всем досталось одинаковое количество долек.
Напишите программу, которая вычисляет минимальное количество долек, на которое необходимо разрезать каждый апельсин, чтобы были выполнены указанные выше условия.
Входные данные
Входная строка содержит два положительных целых числа n и m (\(1 <= n, m <= 10^9\)).
Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
2 5 |
2 |
| 2 |
2 4 |
1 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
На уроке труда всем раздали по прямоугольнику со сторонами размером A и B (целые, \(1 <= A, B <= 2^{31} - 1\)). Мальчик Сеня очень любит резать прямоугольники с особым цинизмом, и когда учитель предлагает всем вырезать из прямоугольника квадраты, то Сеня поступает весьма хитроумно. Он одним разрезом, параллельным стороне прямоугольника, отсекает от прямоугольника квадрат со стороной, равной наименьшей стороне прямоугольника и продолжает проделывать эту же процедуру с оставшейся после разреза частью. Если часть оказывается квадратом, то Сеня успокаивается и принимается считать получившиеся квадраты.
Сколько же он нарежет квадратов?
Входные данные
Числа A и B, задаются в одной строке через пробел.
Выходные данные
Количество получившихся квадратов.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
1 2 |
2 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Даны две рациональные дроби: \(a \over b\) и \(c \over d\). Сложите их и результат представьте в виде несократимой дроби \(m \over n\).
Входные данные
Программа получает на вход 4 натуральных числа a, b, c, d, не превосходящих 100.
Выходные данные
Программа должна вывести 2 натуральных числа m и n такие, что \({m \over n} = {a \over b}+ {c \over d}\) и дробь \(m \over n\) – несократима.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
1 3 1 2 |
5 6 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Дана дробь \(a \over b\). Требуется ее сократить, то есть записать это же число в виде \(c \over d\), где c — целое число, d - натуральное число и d минимальное возможное.
Входные данные
Вводятся два целых числа a и b (\(-100<=a<=100,\ 0<b<=100\)).
Выходные данные
Выведите два числа c и d.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
3 6 |
1 2 |
| 2 |
-2 5 |
-2 5 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Даны два числа. Найти их наибольший общий делитель.
Входные данные
Вводятся два натуральных числа, не превышающих 109.
Выходные данные
Выведите НОД введенных чисел.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
42 12 |
6 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Даны два числа. Найти их наибольший общий делитель.
Входные данные
Вводятся два натуральных числа, не превышающих 30000.
Выходные данные
Выведите НОД введенных чисел.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
42 12 |
6 |
| |
![]()
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Дано число n – количество чисел. В следующей строке дано n чисел, каждое не больше 1000.
Вам необходимо вывести количество таких пар чисел (a, b), что НОК (a, b) = НОД (a, b).
НОК (a, b) - наименьшее общее кратное этих двух чисел, то есть наименьшее число, которое делится сразу на оба числа. \( НОК (20, 30) = 60\).
НОД (a, b) – наибольший общий делитель этих двух чисел, то есть наибольшее число, на которое делятся оба числа. \(НОД (20, 30) = 10\).
Напишите эффективную по памяти и времени программу.
Входные данные
В первой строке вводится натуральное число n – количество данных вам чисел.
Во второй строке вводятся сами числа, каждое из них целое и принадлежит отрезку [0; 1000].
Выходные данные
Выведите одно целое число – количество пар чисел (a, b), таких, что НОК(a,b) = НОД(a,b).
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
3
3 3 3 |
3 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Приближалось лето, и Игорь, Гена и Денис решили пойти вместе в поход, как и в прошлом году. Почти все вопросы уже были решены: уже был проработан маршрут, куплены билеты на поезд, в шкафу у Дениса найдена четырехместная палатка, а под кроватью у Игоря — топор. Осталось решить только вопрос с продуктами.
В прошлом году ребята честно признались, что не знают, сколько им нужно продуктов, и попросили помочь свою одноклассницу Настю, которая составила им список покупок. Но в этом году снова спрашивать у нее уже как-то несолидно. Можно было бы посмотреть, сколько они покупали в прошлом году, и взять столько же, но ни у кого из ребят не сохранилось ни чеков, ни списка продуктов.
Зато у них сохранилась переписка в социальной сети, где они спорили, кто сколько банок тушенки понесет. В этой переписке Игорь сначала предложил поделить всю тушенку в отношении a: b: c, так, что первую часть понесет сам Игорь, вторую — Гена, а третью — Денис. Но Денису это не понравилось, и он предложил поменять соотношение на d: e: f.
Еще немного подумав, ребята поняли, что разрезать банки с тушенкой они все-таки не стали бы, и, значит, оба отношения были подобраны так, что у каждого в обоих случаях получалось целое число банок.
По данным двум отношениям a: b: c и d: e: f вычислите, сколько банок тушенки ребята покупали для прошлогоднего похода. Из всех возможных ответов выведите минимальный. Ребята помнят, что как минимум одна банка тушенки у них точно была.
Входные данные
В первой строке даны три целых положительных числа a, b, c, разделенные пробелами. Во второй строке даны три целых положительных числа d, e, f, также разделенные пробелами.
Все числа не превышают 1000.
Выходные данные
Выведите целое положительное число — количество банок тушенки.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснения |
| 1 |
10 3 7
3 1 1 |
20 |
При делении тушенки между ребятами в отношении 10:3:7 Игорь понесет 10 банок, Гена — 3 банки, а Денис — 7 банок. А в случае соотношения 3:1:1 Игорю достанется 12 банок, а Гене и Денису по 4. |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
В Берляндии плачевная ситуация с междугородним автобусным сообщением. Во всей стране есть всего три автобусных маршрута, по каждому из которых курсирует лишь один автобус. В первый день нового года ровно в полночь все три автобуса отправляются по своим маршрутам из столицы Берляндии. Известно, что первому автобусу на то, чтобы проехать весь маршрут и вернуться в столицу требуется a минут, второму — b минут, а третьему — c минут. Таким образом, первый автобус отправляется из столицы Берляндии в моменты времени 0, a, 2a, 3a , второй — в моменты времени 0, b, 2b, 3b , а третий в моменты времени 0, c, 2c, 3c .
Момент времени называется подходящим для пересадки , если в этот момент все три автобуса отправляются из столицы Берляндии. Например если a=1, b=2, c=1, то моменты времени 0 и 2 являются подходящими для пересадки, а момент времени 1 не является, потому что в этот момент времени второй автобус находится в пути. Берляндия — особая страна с особым измерением времени, поэтому в берляндских сутках ровно t минут. Это означает, что в первый день происходят все моменты времени с 0-го по (t−1)-й включительно, во второй день — c t-го по (2t−1)-й включительно, в третий — с 2t-го по (3t−1)-й включительно и так далее.
Министерство транспорта Берляндии заинтересовалось, сколько подходящих для пересадки моментов времени произойдёт в d-й день в Берляндии. К сожалению, местные чиновники заняты другими делами, поэтому ответить на этот вопрос было поручено вам.
Входные данные
В пяти строках заданы пять целых чисел a, b, c, t и d (1≤a, b, c≤106 , 1≤t, d≤109 ) — время полного прохождения маршрута первым, вторым и третьим автобусами, соответственно, количество минут в сутках и номер дня, которым интересуется министерство транспорта Берляндии.
Выходные данные
Выведите одно целое число — количество подходящих для пересадки моментов времени в d-й день.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснения |
| 1 |
1
2
1
3
1 |
2 |
Сутки длятся 3 минуты, поэтому все моменты времени в день с номером 1 — это 0, 1, 2, из них моменты времени 0 и 2 являются подходящими для пересадки |
| 2 |
2
3
4
7
2 |
1 |
Здесь рассматриваются вторые сутки с моментами времени 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Первый автобус отправляется в моменты времени 8, 10, 12, второй автобус — в моменты времени 9 и 12, а третий — в моменты времени 8 и 12. Таким образом, только момент времени 12 является подходящим для пересадки. |
| 3 |
2
3
4
3
3 |
0 |
Нет ни одного подходящего для пересадки момента времени |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
На клетчатой бумаге Петя нарисовал отрезок из точки с координатами (a,b) в точку с координатами (c,d). Через сколько клеток проходит этот отрезок (считается, что отрезок проходит через клетку, если он проходит через ее внутренность, если же он проходит только через вершину или по границе клетки, считается, что он не проходит через клетку).
Входные данные
Вводятся целые числа a, b, c, d. Числа по модулю не превышают 109.
Выходные данные
Выведите одно число — количество клеток, через которые проходит отрезок.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
0 0 6 4 |
8 |
| 2 |
3 3 -3 3 |
0 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Элементарная геометрия
НОД и алгоритм Евклида
Многоугольники. Выпуклые оболочки
Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).
Формат входных данных
В первой строке содержится N (3 ≤N ≤1000) – число вершин многоугольника. В последующих N строках идут координаты (Xi, Yi) вершин многоугольника в порядке обхода по часовой стрелке. Xi и Yi - целые числа, по модулю не превосходящие 1000000.
Формат выходных данных
Вывести одно число – искомое число точек.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
4
-1 -1
-1 1
1 1
1 -1 |
1 |
| 2 |
3
0 0
0 2
2 0
|
0 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
У Громозеки есть N часов. Стрелка i-х часов (\(1<=i<=N\)) поворачивается на 360 ° ровно за Ti секунд. Изначально стрелка всех часов стоит на месте и направлена прямо вверх. Громозека запускает все часы одновременно. Через сколько секунд стрелка всех часов снова укажет прямо вверх?
Входные данные
В первой строке записано целое число N (\(1<=N<=100\)). В следующих N строках записаны целые числа Ti (\(1<=T_i<=10^{18}\)), по одному числу в строке.
Выходные данные
Выведите на экран ответ. Гарантируется, что ответ не превышает \(10^{18}\).
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
Пояснение |
| 1 |
2
2
3 |
6 |
У нас есть двое часов. Время, когда стрелка каждых часов указывает вверх, выглядит следующим образом:
Часы 1: 2, 4, 6, ... секунд после начала.
Часы 2: 3, 6, 9, ... секунд после начала.
Таким образом, требуется 6 секунд, пока стрелки обоих часов снова не укажут прямо вверх. |
| 2 |
5
2
5
10
1000000000000000000
1000000000000000000 |
1000000000000000000 |
|
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Марья Ивановна с Марьей Михайловной привели школьников в кинотеатр. Чтобы не было никаких обид, Марья Ивановна построила всех школьников по алфавиту и рассадила их: сначала в первый ряд слева направо, затем во второй слева направо и т.д., заполнив весь зал из n рядов по m кресел. Тут пришла Марья Михайловна и сказала, что ребята сели неправильно – надо пересесть. Она предложила сначала заполнить все первые места от первого ряда к последнему, затем все вторые места и т. д.
Определите, сколько школьников после такой пересадки останется на своем месте.
Например, если n = 3 и m = 3, то в первом случае дети сядут так:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
а во втором – так:
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Таким образом, три школьника: 1, 5 и 9 останутся на своих местах.
Входные данные
Вводятся два целых числа n и m (1 ≤ n, m ≤ 109 ).
Выходные данные
Выведите количество школьников, которые останутся на своих местах.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
3 3 |
3 |
| 2 |
2 4 |
2 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Наибольшим общим делителем непустого набора натуральных чисел A называется максимальное натуральное число d, такое что оно является одновременно делителем всех чисел множества A.
Задан массив натуральных чисел [a1, a2, . . . , an] и число k. Требуется выбрать в нем подмассив из k подряд идущих элементов [al, al+1, . . . , al+k−1], чтобы их наибольший общий делитель был как можно больше, и вывести этот наибольший общий делитель.
Входные данные
Первая строка ввода содержит два целых числа n и k (2 ≤ n ≤ 500 000, 2 ≤ k ≤ n).
Вторая строка содержит n натуральных чисел a1, a2, . . . , an (1 ≤ ai ≤ 1018).
Выходные данные
Выведите одно натуральное число — максимальное возможное значение наибольшего общего делителя элементов подмассива длины k заданного массива.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
10 4
2 3 4 8 12 6 12 18 4 3 |
6 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Алгоритмы
Громозека и Алиса старые друзья. Встречаясь на какой-то планете, они постоянно заходят в кафе. Но Алиса не любит заходить в каждое a-ое кафе, а Громозека в каждое g-ое кафе. Чтобы никого не обидеть, они не заходят в те кафе, в которые не хотят заходить одновременно и Алиса и Громозека. На очередной прогулке у них на пути N кафе. Во сколько кафе они смогут зайти?
Входные данные
Единственная строка содержит три целых числа - a , g , N ( 1 <= a , g , N <= 109 ).
Выходные данные
Выведите единственное число - количество кафе, в которые смогут зайти Громозека и Алиса.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
1 1 10 |
0 |
| 2 |
1 2 5 |
3 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Был обычный будний вечер в Магнитогорске. Фил и Космос возвращались на машине домой после тяжёлой рабочей смены. Тут Космос вспомнил, что Белый дал ему задание, которое он благополучно забыл выполнить. Чтобы уберечь Космоса от гнева Саши Белого, помогите ему выполнить задание.
Даны n целых чисел a1,a2,...,an. Требуется сделать наибольший общий делитель (НОД) всех чисел массива равным 1. За одну операцию можно сделать следующее:
• Выбрать произвольный индекс в массиве 1 <= i <= n;
• Сделать ai = gcd(ai,i). Стоимость такой операции равна n − i + 1.
Требуется найти минимальную суммарную стоимость операций, которые нужно будет сделать, чтобы НОД чисел массива стал равен 1.
Входные данные
Каждый тест состоит из нескольких наборов входных данных. Первая строка содержит целое число t (1 <= t <= 5000) — количество наборов входных данных. Далее следует описание наборов входных данных.
Первая строка каждого набора входных данных содержит единственное целое число n (1 <= n <= 20) — длину массива.
Вторая строка каждого набора входных данных содержит n целых чисел a1,a2,...,an (1 <= ai <= 109) — элементы массива.
Выходные данные
Для каждого набора входных данных выведите единственное целое число — минимальную суммарную стоимость операций, которые нужно будет сделать, чтобы НОД чисел массива стал равен 1.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
7
1
1
1
2
2
2 4
3
3 6 9
4
5 10 15 20
5
120 60 80 40 80
6
150 90 180 120 60 30 |
0
1
2
2
1
3
3 |
Замечание
В первом наборе входных данных НОД всего массива уже равен 1, поэтому операции применять не нужно.
Во втором наборе входных данных выберем i = 1. После этой операции a1 = gcd(2,1) = 1. Стоимость этой операции была равна 1.
В третьем наборе входных данных нужно будет выбрать i = 1, после этого массив a будет равен [1,4]. НОД этого массива равен 1, а суммарная стоимость равна 2.
В четвертом наборе входных данных нужно выбрать i = 2, после этого массив a будет равен [3,2,9]. НОД этого массива равен 1, а суммарная стоимость равна 2.
В шестом наборе входных данных можно выбрать i = 3, после этого массив a будет равен [120,60,1,40,80]. НОД этого массива равен 1, а суммарная стоимость равна 3.
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Простые числа и разложение на множители
У Деда Мороза есть N мешков с подарками. Каждый мешок имеет вес a1, a2, ..., aN. Для равномерной нагрузки на сани Деду Морозу необходимо, чтобы вес всех мешков был одинаковым. Чтобы этого добиться, Дед Мороз своим волшебным посохом может выполнить одну из следующих операций любое количество раз, возможно ноль раз.
- Дед Мороз может выбрать любой мешок и если его вес кратен двум, то уменьшить вес в два раза.
- Дед Мороз может выбрать любой мешок и если его кратен трем, то уменьшить вес в три раза.
На каждую операцию у Деда Мороза уходит 1 секунда.
Найдите минимальное общее количество секунд, которое необходимо Деду Морозу, для достижения одинакового веса всех мешков с подарками. Если нет способа достичь цели, выведите вместо этого значение -1.
Входные данные
Программа получает на вход в первой строке целое число N (2 <= N <= 1000). Во второй строке записаны N чисел ai - вес i-го мешка с подарками (1 <= ai <= 109).
Выходные данные
Выведите ответ на задачу.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
3
1 4 3 |
3 |
| 2 |
3
2 7 6 |
-1 |
| 3 |
6
1 1 1 1 1 1 |
0 |
| |
![]()
|
|
Темы:
Дерево отрезков, RSQ, RMQ
НОД и алгоритм Евклида
НОД и алгоритм Евклида
НОД и алгоритм Евклида
Сегодня Колобок созвал всех волков и лис к себе в гости на чаепитие. Чаепитие пройдет за круглым столом, за которым всего n мест. Колобок хочет рассадить зверей по-особенному — так, чтобы волки не сидели только с волками, а лисы только с лисами. Поэтому для каждого места он записал одно целое число — сколько лис должно сидеть на расстоянии не более d от этого места, включая это место.
Два места находятся на расстоянии не более d, если между ними встречаются не более d−1 места при движении по или против часовой стрелки от одного к другому. Таким образом, для заданного места всего существует 2d + 1 место, находящееся на расстоянии не более d от него.
Теперь он хочет придумать какую-нибудь рассадку зверей, удовлетворяющую этим ограничениям.
Входные данные
В первой строке находятся два натуральных числа n, d (3 ≤ n ≤ 105 , 3 ≤ 2d+1 ≤ n) — количество мест за круглым столом и расстояние d. В следующей строке находятся n неотрицательных целых чисел ai (0 ≤ ai ≤ 2d+1) — количество лис на расстоянии не более d от этого места, включая это место. Информация о местах перечислена в порядке их следования по кругу.
Выходные данные
Если решения не существует, выведите «NO», иначе в первой строке выведите «YES», а в следу- ющей n чисел: 1 в том случае, если на этом месте сидит лиса, и 0, если на этом месте сидит волк. Если ответов несколько, разрешается вывести любой.
| Ввод |
Вывод |
5
1 2 2 1 2 2 |
YES
1 0 1 0 1 |
9
2 3 4 4 3 3 2 2 2 2 |
YES
1 0 1 1 1 0 0 0 1 |
6
1 3 3 3 3 3 1 |
NO |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Сережа очень любит математические задачи. Недавно на математическом кружке ему рассказали, что такое НОД и НОК.
НОД двух натуральных чисел a и b — это их наибольший общий делитель, то есть такое максимальное число x, что a делится на x и b делится на x. Например, \(НОД(24, 18) = 6\). А НОК целых чисел a и b — это их наименьшее общее кратное, то есть такое минимальное число x, что x делится на a и x делится на b. Например, \(НОК(24, 18) = 72\).
Сережа сразу заметил, что может существовать несколько пар чисел с одинаковыми НОД и НОК. Теперь он заинтересовался вопросом: если заданы числа a и b, насколько близко друг к другу могут быть два числа, у которых такие же НОД и НОК.
Помогите ему по заданным двум числам a и b найти такие числа x и y, что \(НОД(a, b) = НОД(x, y)\), \(НОК(a, b) = НОК(x, y)\), а их разность \(y - x\) минимальна.
Входные данные
В первой строке входного файла находятся два натуральных числа a и b (\(1 <= a, b <= 10^9\)).
Выходные данные
Выведите два натуральных числа x и y ( \(1 <= x <= y\)), таких, что \(НОД(a, b) = НОД(x, y)\), \(НОК(a, b) = НОК(x, y)\), а их разность \(y - x\) минимальна.
Примеры
| № |
Входные данные |
Выходные данные |
| 1 |
3 4 |
3 4 |
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Ребята во дворе решили поиграть в прятки. Чтобы выбрать ведущего, который будет искать, они решили воспользоваться считалкой. Считалка состоит из \(k\) слов, и используется следующим образом.
Все \(n\) ребят становятся в круг и один из них, начиная с себя, по очереди указывает на ребят в порядке, в котором они стоят по кругу, называя слова считалки. Тот, на кого указывает считающий, называя последнее слово считалки, выбывает из круга. После этого считалка повторяется сначала, а счет начинается со следующего за выбывшим. Так продолжается до тех пор, пока в круге не останется один человек. Он то и будет ведущим.
Но на этот раз ребята так увлеклись идеей предстоящей игры, что забывали выходить из круга, после того как считающий указывал на них, называя последнее слово считалки. В результате считающий снова указывал на них при следующих повторениях считалки.
Ребята заметили это только тогда, когда после очередного повторения считалки считающий снова указал на последнем слове на участника, который уже должен был покинуть круг. Теперь их заинтересовал вопрос — а на скольких ребят в этот момент считающий все еще не указал, что они должны покинуть круг.
Помогите им ответить на этот вопрос.
Формат входных данных
Строка содержит два целых числа — \(n\) и \(k\) (\(1 \le n \le 1000\), \(1 \le k \le 10^9\)).
Формат выходных данных
Выведите одно число — количество ребят, на которых ведущий, еще не указал, что они должны покинуть круг, когда ведущий повторно укажет на кого-либо на последнем слове считалки.
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
В ЛКШ Витя решил переселять комнаты каждый месяц. Известно какая комната в какую переезжает. Требуется определить целое число лет, которое пройдет прежде чем все окажутся снова в своих комнатах.
Входные данные
В первой строке записано N - количество комнат (1 < N < 101) и далее номера комнат, в которые переезжают 1,2,3,..,N-я комнаты. СЭС не потерпит беспорядка, поэтому все переезды корректны (в каждую комнату переедет ровно одна комната).
Выходные данные
Выведите количество лет, которое пройдет, прежде чем все снова окажутся в своих комнатах
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Многоугольник на плоскости задан целочисленными координатами своих N вершин в декартовой системе координат. Требуется найти количество точек с целочисленными координатами, лежащих на границе многоугольника. Стороны многоугольника друг с другом не соприкасаются (за исключением соседних - в вершинах) и не пересекаются.
Ограничения: 3 <= N <= 100 000, координаты вершин целые и по модулю не превосходят 1 000 000 000.
Входные данные
В первой строке содержится число N, в следующих N строках - пары чисел - координаты точек. Если соединить точки в данном порядке, а также соединить первую и последнюю точки, получится заданный многоугольник.
Выходные данные
Вывести одно число - количество точек с целочисленными координатами на границе многоугольника.
| |
![]()
|
|
Темы:
НОД и алгоритм Евклида
Целые числа
Дано натуральное число N. Требуется представить его в виде суммы двух натуральных чисел A и B таких, что НОД (наибольший общий делитель) чисел A и B — максимален.
Ограничение по времени выполнения программы - 1 секунда, ограничение по используемой памяти - 64 мегабайта.
Входные данные
Во входных данных записано натуральное число N (2 ≤ N ≤ 109)
Выходные данные
Выведите два искомых числа A и B. Если решений несколько, выведите любое из них.
| |
![]()
|