Вычислительная геометрия

На планете Плюк, поверхность которой мы будем считать абсолютно плоской, был разработан новый принцип перемещения единственного имеющегося там транспортного средства — пепелаца. А именно, на расстоянии одного километра друг от друга в точках \((0, 0)\) и \((1, 0)\) были построены две станции управления пепелацами \(A\) и \(B\). С помощью них можно мгновенно переместить любой пепелац, повернув его на 90 градусов по или против часовой стрелки относительно точки \(A\) или \(B\). Расстояние от пепелаца до соответствующей станции при этом не меняется. Следующее перемещение можно делать как относительно той же станции, так и относительно другой.

Например, если повернуть пепелац, находящийся в точке \((3, 1)\) на 90 градусов против часовой стрелки относительно станции \(A\), то он переместится в точку \((-1, 3)\), если его затем повернуть на 90 градусов по часовой стрелке относительно станции \(B\), то он переместится в точку \((4, 2)\), если затем повернуть его вокруг станции \(B\) по часовой стрелке еще раз, он переместиться в точку \((3, -3)\).

Один житель планеты недавно решил отправиться на своем пепелаце в гости к другу. Житель проживает около точки с координатами \((x_1, y_1)\), а его друг — около точки с координатами \((x_2, y_2)\). Помогите жителю с помощью станций управления пепелацем оказаться как можно ближе к месту, где проживает его друг, чтобы потом меньше было идти по пустыне.

Поскольку перемещения мгновенные и абсолютно бесплатные, то минимизировать количество перемещений не надо.

Формат входных данных
Входные данные содержит четыре целых числа — \(x_1\), \(y_1\), \(x_2\) и \(y_2\), они не превышают \(10^4\) по абсолютной величине.

Формат выходных данных
Выведите последовательность перемещений с использованием станций управления, которая перемещает пепелац из точки \((x_1, y_1)\) как можно ближе к точке \((x_2, y_2)\).

Поворот по часовой стрелке относительно станции \(A\) обозначается как <<+A>>, поворот против часовой стрелки относительно станции \(A\) обозначается как <<-A>>, соответствующие повороты относительно станции \(B\) обозначаются как <<+B>> и <<-B>>. Выводите по одному перемещению на строке.

Выведенная последовательность не обязана быть минимальной по количеству перемещений, но должна содержать не более \(10^6\) действий.

Во Флатландии \(n\) городов, расположенных в различных точках плоскости. Известно, что никакие три города не лежат на одной прямой.

Правительство решило построить в стране сеть сверхскоростных шоссе. Сеть шоссе должна быть такой, чтобы из любого города можно было проехать в любой другой по построенным шоссе. А в целях экономии средств было решено, что путь, соединяющий любые два города, должен быть единственным. Каждое шоссе представляет собой отрезок, соединяющий некоторую пару городов.

Завод, выполняющий этот госзаказ, подготовил проект сети шоссе. Проект представляет собой описание \(n - 1\) шоссе. Каждое шоссе задается городами, которые оно соединяет. В целях секретности вместо названий городов в проекте были использованы коды — числа от 1 до \(n\).

Однако когда дело дошло до реализации проекта, выяснилось, что документ, в котором было указано соответствие номеров городам, утерян. Поскольку проект приурочен к пятисотлетию культурной столицы Флатландии, переделывать проект полностью оказалось невозможно. Поэтому было решено установить некоторое новое соответствие номеров городам.

При попытке это сделать разработчики проекта столкнулись со следующей проблемой. В соответствии с техническими нормами строительства, недопустимо, чтобы шоссе пересекались вне городов. Поэтому не любое сопоставление номеров городам допустимо. После пары бессонных ночей главный инженер завода решил поручить спасение проекта вам.

Ваша задача — таким образом сопоставить числам от 1 до \(n\) города, чтобы после реализации проекта шоссе не пересекались вне городов, которые они соединяют.

Формат входных данных
В первой строке содержится целое число \(n\) — количество городов во Флатландии (\(2 \le n \le 1500\)).

Далее следует \(n\) описаний городов. Описание каждого города состоит из двух строк. Первая строка содержит название города — строку, состоящую из символов с ASCII-кодами от 33 до 127. Названия различных городов не совпадают. Длина названия города не превышает 60 символов. Вторая строка описания города содержит два целых числа \(x\) и \(y\) — координаты города. Координаты не превышают \(10^4\) по абсолютной величине.

Далее следуют \(n - 1\) строк, которые описывают проект строительства сети шоссе в его текущем состоянии. Каждая строка содержит по два целых числа — номера городов, соединенных шоссе в проекте. Никакое шоссе в проекте не соединяет город сам с собой, никакие два города не соединены более чем одним шоссе.

Формат выходных данных
Выведите \(n\) строк, \(i\)-я из этих строк должна содержать название города, который следует сопоставить числу \(i\) в проекте. Если решений несколько, выведите любое.

Если решения не существует, выведите <<No solution>>.

Иллюстрация к примеру

Картины художников-абстракционистов весьма необычны. На них часто изображены абсолютно непонятные предметы. Один известный художник-абстракционист решил добавить своим картинам оригинальности следующим способом. Вместо прямоугольных рамок, в которые обычно вставляются картины, он решил на ближайшей выставке использовать треугольные.

Однако все оказалось совсем не так просто. Художник изготовил рамку, поместил в нее картину и понял, что что-то не так. Рамка получилась слишком широкой, и картина выглядела совсем не так ярко, как он ожидал.

Немного поразмыслив, художник понял, что то, насколько рамка <<подходит>> для картины, определяется площадью рамки. Кроме этого он понял, что рамки надо не изготавливать самостоятельно, а покупать в специальном магазине. Заглянув в прайс-лист магазина, он увидел, что для каждой рамки в нем указаны длины внешних сторон и ширина.

Поясним подробнее то, как выглядит треугольная рамка. Ее изготовление происходит следующим образом: берется доска из красного дерева, имеющая форму треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\). После этого стороны этого треугольника мысленно сдвигаются внутрь него на расстояние \(d\) (измеряемое по перпендикуляру к соответствующей стороне). На точках пересечения <<сдвинутых>> сторон строится маленький треугольник, который затем вырезается из исходного. Пример рамки со сторонами \(a=6\), \(b=8\), \(c=10\) и шириной \(d=1\) показан на рисунке.

Помогите художнику по имеющимся в прайс-листе данным вычислить площадь рамки.

Формат входных данных
Входные данные содержит четыре целых числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) (\(1 \le a, b, c, d \le 1000\)) — длины внешних сторон рамки и ее ширину, соответственно. Гарантируется, что треугольник со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) существует, и что в треугольнике есть точка, расстояние от которой до ближайшей стороны строго больше \(d\).

Формат выходных данных
Выведите площадь рамки с точностью не меньше \(10^{-5}\).

Два радара, расположенные в точках с координатами (0, 0) и (100, 0), обнаружили неопознанный объект. По таинственной причине, связанной, возможно, с внеземной природой объекта, радары оказались способны определить только направление на объект (пеленг), но не расстояние до объекта. Пеленг измеряется в градусах, против часовой стрелки, начиная от направления "на восток" (т. е. пеленг второго радара относительно первого равен 0°, пеленг первого радара относительно второго - 180°).

Требуется найти координаты НЛО или определить, что это невозможно.

Входные данные
Во входном файле содержатся вещественные числа a и b (0 <= a, b < 360), разделенные пробелами.

Выходные данные
В выходном файле должны содержаться два вещественных числа, x и y, представляющие координаты объекта с точностью до 4 знаков после запятой. Если определить координаты невозможно, следует вывести два числа 0 (нуль).

Выпуклый N-угольник P преобразуется в N-угольник Q путём замены середин сторон исходного многоугольника P на вершины многоугольника Q. Требуется по выпуклому N-угольнику Q, заданному координатами вершин, восстановить координаты вершин исходного N-угольника P.

Входные данные
Входные данные содержит нечётное число вершин N (3 <= N <= 999), за которым следуют целочисленные координаты x_i y_i вершин многоугольника Q, перечисленные в порядке обхода по часовой стрелке. Значения координат находятся в диапазоне от -20000 до 20000. Все числа во входном файле целые и разделены произвольным количеством пробелов и/или символов перевода строки.

Выходные данные
В выходных данных должны содержаться координаты вершин N-угольника P, перечисленные в порядке обхода по часовой стрелке. При этом первая и вторая вершина должны образовывать сторону, на которой лежит первая вершина N-угольника Q.

В саду растут деревья. У каждого есть цена и длина. Чтобы построить забор какой-то длины L, нужно срубить деревьев с суммарной длиной L или больше. Нужно, срубив некоторые деревья, построить забор вокруг оставшихся. При этом нужно потратить как можно меньше денег. Если таких способов несколько, нужно выбрать тот, в котором деревьев рубится меньше. Если и таких несколько, выведите любой. Деревья считаются имеющими нулевой радиус.

Входные данные
Во входном файле записано число деревьев N (2 <= N <= 14), а затем каждое дерево описано четырьмя числами x_i, y_i, v_i, l_i - координаты (целые от -10000 до 10000), цена и длина (от 0 до 10000).

Выходные данные
В выходной файл выведите номера деревьев, которые необходимо срубить, а также излишек срубленного материала. Формат выходных данных - см. примеры выходных файлов.

На плоскости дана геометрическая фигура "лестница". Она имеет N ступенек, которые заданы положительными координатами. Каждая ступень имеет свою высоту и ширину. Требуется найти прямую, которая отсекает от некоторых ступеней "лестницы" треугольники так, что из полученных фигур можно сложить прямоугольный треугольник такой же площади, что и исходная фигура. Разрешается, чтобы отсекаемые от ступеней треугольники соприкасались только вершинами (но не сторонами).

Формат входных данных:
В первой строке дано число 0 <= N <= 1000. Далее записаны N строк. Каждая строка содержит два целых чисел через пробел 0 < x_i, y_i < 10⁶ - координаты вершины i-й ступени (ступени перечисляются в порядке сверху вниз, слева направо).

Формат выходных данных:
Ответ содержит одну строку: два числа через пробел - высота и ширина получившегося прямоугольного треугольника. Если существует несколько решений, то вывести любое. Результат выводится с точностью до четырех десятичных знаков после запятой. В случае, когда решение отсутствует, вывести два ноля через пробел

Примечание

Выведите диаметр данного множества – максимальное расстояние между любыми двумя точками.

Создайте структуру Point и сохраните исходные данные в массиве структур Point.

Входные данные
Программа получает на вход набор точек на плоскости. Сначала задано количество точек n, затем идет последовательность из n строк, каждая из которых содержит два числа: координаты точки. Величина n не превосходит 100, все исходные координаты – целые числа, не превосходящие 10³.

Выходные данные
Необходимо вывести  диаметр данного множества с точностью в 15 значащих цифр.

Выведите координаты центра тяжести данного множества точек.

Создайте структуру Pointи сохраните исходные данные в массиве структур Point.

Входные данные
Программа получает на вход набор точек на плоскости. Сначала задано количество точек n, затем идет последовательность из n строк, каждая из которых содержит два числа: координаты точки. Величина n не превосходит 100, все исходные координаты – целые числа, не превосходящие 10³.

Выходные данные
Выведите  координаты центра тяжести данного множества точек. Ответ необходимо выводить с точностью в 15 значащих цифр.

Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).

Входные данные
В первой строке вводится N (3≤N≤1000) – число вершин многоугольника. В последующих N строках идут координаты (X_i, Y_i) вершин многоугольника в порядке обхода по часовой стрелке. X_i и Y_i – целые числа, по модулю не превосходящие 10⁶.

Выходные данные
Вывести одно число – искомое количество точек.

Входные данные
В первой строке вводится одно число N (3≤N≤100000). Далее в N строках задается по паре чисел – координаты очередной вершины простого многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки.

Формат выходных данных

Выходные данные
Выведите одно число – величину площади приведённого многоугольника.

Король Полигонии Трианг IV помешан на реформах. Чтобы войти в мировую историю, он решил провести территориальную реформу в своей стране. Страна Полигония имеет форму простого многоугольника, то есть ее граница не имеет самопересечений и самокасаний. В Полигонии большую роль играют внутренние диагонали — отрезки, соединяющие вершины государственной границы и полностью проходящие по территории страны, не касаясь границы. При этом форма Полигонии такова, что никакие две внутренние диагонали не лежат на одной прямой.

Вместо традиционного деления государства на административные округа король Трианг IV решил разделить свою страну на административные треугольники внутренними диагоналями. Для сокращения управляющего аппарата король повелел подготовить такой план деления страны, в котором количество административных треугольников будет минимальным.

Требуется написать программу, выполняющую деление Полигонии внутренними диагоналями на минимально возможное число административных треугольников.

Формат входных данных

В первой строке входных данных задается число N (3 ≤ N ≤ 20) — количество вершин многоугольника, образующего границу Полигонии. В следующих N строках находятся по 2 целых числа, по абсолютной величине не превосходящих 10 000 — координаты вершин в порядке обхода многоугольника против часовой стрелки. Гарантируется, что никакие три последовательные вершины многоугольника не лежат на одной прямой, и он не имеет самопересечений и самокасаний. Также гарантируется, что никакие две диагонали, содержащиеся внутри многоугольника, не лежат на одной прямой.

Формат выходных данных

В первую строку  выведите наименьшее количество административных треугольников, на которое можно разбить Полигонию.

Во вторую строку выведите количество различных внутренних диагоналей K, с помощью которых можно произвести данное разбиение.

В каждую из следующих K строк выведите 4 целых числа — координаты начала и конца соответствующей диагонали разбиения, полностью лежащей внутри многоугольника и не проходящей по его границе.

Если искомых разбиений несколько, выведите любое из них.

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Рисунок к тесту
1	4 0 0 1 0 1 1 0 1	2 1 1 1 0 0
2	10 -6 0 0 2 6 0 3 3 6 4 2 4 0 6 -2 4 -6 4 -3 3	4 3 2 4 -2 4 0 2 3 3 -3 3 0 2

Прямоугольник ABCD задан координатами своих вершин. На противоположных сторонах AB и CD заданы последовательности R1 и R2 из N точек разбиения, а на сторонах BC и AD - R3 и R4 из M точек разбиения. Нумерация элементов последовательностей R1 и R2 начинается соответственно от точек A и D, а R3 и R4 - от точек B и A. Соединив отрезками точки с одинаковыми номерами в разбиениях R1 и R2, а затем в разбиениях R3 и R4, получим разбиение Q прямоугольника ABCD на множество четырехугольников.
Построить алгоритм, определяющий четырехугольник разбиения Q с наибольшей площадью, при условии, что отрезки, соединяющие точки разбиений R1 и R2 параллельны стороне AD.
Последовательности R1, R2, R3 и R4 задаются как массивы из длин отрезков разбиения соответствующих сторон прямоугольника.
 

Маша и Петя решили выяснить, чья комната больше. Машина и Петина комнаты имеют форму прямоугольников, причем Машина комната имеет размеры \(a\) на \(b\) метров, а Петина — \(c\) на \(d\) метров.

Напишите программу, которая определит, чья комната больше: Машина или Петина.

Формат входных данных
На ввод подается четыре натуральных числа, разделенных пробелами: \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) (\(1 \le a, b, c, d \le 1000\)).

Формат выходных данных
Если Машина комната больше, выведите латинскую букву <<M>>. Если Петина комната больше, выведите латинскую букву <<P>>. Если комнаты ребят имеют одинаковую площадь, выведите латинскую букву <<E>>.

На плоскости даны N точек. Вам требуется построить выпуклую оболочку данного множества точек. Выведите два числа: периметр и площадь.

Входные данные
Первая строка содержит количество точек N, 1≤N≤10000. Каждая из последующих N строк содержит два целых числа – координаты x_i и y_i. Все числа по модулю не превосходят 10⁴.

Выходные данные
Вывести два числа: периметр и площадь выпуклой оболочки.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 0 0 3 4 3 1 6 0	16.0000000000 12.0000000000

Фермер Джон решил заменить изгородь вокруг своего пастбища.
Эта новая изгородь описывается строкой символов, каждый из которых "N" (north), "E" (east), "S" (south), или "W" (west). Каждый символ описывает 1 метр изгороди. Например, если строка NESW, это означает, что изгородь начинатся одним метром на север, затем 1 метр на восток, затем 1 метр на юг, и затем 1 метр на запад, возвращаясь в стратовую точку.

Изгородь всегда заканчивается в той же позиции, где стартовала, и это - единственная точка, посещенная более одного раза путем изгороди (а стартовая точка, единственная точка посещённая второй раз - в конце пути). Как следствие, изгородь огораживает один связный регион травяного пастбища, даже если этот регион может иметь довольно странную форму.

Фермер Джон хочет узнать, указанный путь обходится по часовой стреле или против часовой стрелки? По часовой стрелке - огороженный регион находится по правую сторону от изгороди, если идти по пути, определённому строкой. Против часовой стрелки - огороженный регион находится по левую сторону от изгороди, если идти по пути, определённому строкой.

Входные данные: 
Первая строка содержит целое число N (1≤N≤20). Каждая из последующих N строк содержит строку длиной не менее 4 символов и не более 100, описывающую путь изгороди.
Выходные данные: 
Для каждого из N путей, описанных по вводе, выведите строку содержащую "CW" (clockwise - по часовой стрелке) или "CCW" (counterclockwise - против часовой стрелки).
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	2 NESW WSSSEENWNEESSENNNNWWWS	CW CCW	Оба пути   (? символ "пробел") обозначает стартовую точку: *>* ^ v <*   *<*<*<*   v     ^ *<      * v       ^ * *>*>* * v ^   v ^ * *<* * * v   ^ v ^ *>*>* *>*

Мальчик Вася очень любит геометрию. Кроме того, ему очень нравится забивать гвозди в доску. Сегодня он изучает свою любимую металлическую пластину, которую он собирается прибить к деревянной доске.

Пластина имеет форму, ограниченную многоугольником без самопересечений и самокасаний. В первой вершине многоугольника пластина имеет маленькую петлю.

Сначала Вася кладет пластину на доску, лежащую на горизонтальном столе, и прибивает ее гвоздем к пластине через петлю в первой вершине. Вбитый гвоздь жестко закрепляет положение первой вершины, однако позволяет пластине вращаться вокруг нее.

Теперь Вася хочет забить в доску еще один гвоздь, который бы ограничил вращение пластины, но он еще не решил куда. Он наметил m возможных позиций, куда он хотел бы забить гвоздь, и для каждой из них хочет узнать, на какой угол он сможет поворачивать свою пластину, если забьет в доску гвоздь в этой точке. При этом как только пластина касается гвоздя, дальше ее поворачивать нельзя.

Формат входных данных
В первой строке входного файла задано число n (3 ≤ n ≤ 2 000) — количество вершин многоугольника. В следующих n строках заданы координаты вершин многоугольника в порядке обхода. В следующей строке задано число m (1 ≤ m ≤ 2 000) — количество точек, которые Вася рассматривает как возможные положения второго гвоздя. В следующих m строках заданы координаты этих точек. Все эти точки находятся снаружи от исходного положения пластины. Все координаты во входном файле целые и не превосходят 10⁶ по модулю.

Формат выходных данных
Выходной файл должен содержать m строк. В i-й строке выведите два вещественных числа α_i и β_i , где α_i — максимальный угол в градусах, на который можно повернуть пластину по часовой стрелке, если Вася забьет гвоздь в i-ю точку, а β_i — максимальный угол в градусах ,на который в этом случае можно повернуть пластину против часовой стрелки. Если гвоздь не мешает пластине поворачиваться, выведите α_i = β_i = 360. Ответ считается верным, если его абсолютная или относительная погрешность относительно правильного не превосходит 10⁻⁶ .
 

Ввод	Вывод
4 0 0 -3 -3 0 -6 3 -3 3 -8 0 -2 0 2 -1	360.000000000000 360.000000000000 45.000000000000 225.000000000000 251.565051177078 18.434948822922

Пояснение


На рисунке выше изображен тест из примера. Прямоугольник показывает начальное положение пластины.
Точками показаны позиции, в которые Вася планирует забить гвоздь.
Гвоздь, забитый в первую точку, не мешает пластине поворачиваться.
Гвоздь, забитый во вторую точку, позволяет повернуть пластину на 45 гр.  по часовой стрелке или на 225 гр. против часовой стрелки.