Арифметические алгоритмы (Теория чисел)

Найдите самый маленький натуральный делитель числа x, отличный от 1 (2 <= x <= 30000).

Входные данные
Вводится натуральное число x.

Выходные данные
Выведите наименьший делитель числа x, отличный от 1.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6	2

Напишите программу, переводящую число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

Входные данные
Программа получает на вход строку, состоящую из нулей и единиц, длина которой не превосходит 4000 символов. Первый символ строки всегда единица. Данная строка является двоичной записью некоторого числа.

Выходные данные
Необходимо записать в шестнадцатеричном виде и вывести данное число с использованием цифр 0, ..., 9 и букв A, ..., F без лидирующих нулей.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	10100	14

У Громозеки есть N часов. Стрелка i-х часов (\(1<=i<=N\)) поворачивается на 360 ° ровно за Ti секунд. Изначально стрелка всех часов стоит на месте и направлена прямо вверх. Громозека запускает все часы одновременно. Через сколько секунд стрелка всех часов снова укажет прямо вверх?

Входные данные
В первой строке записано целое число N (\(1<=N<=100\)). В следующих N строках записаны целые числа Ti (\(1<=T_i<=10^{18}\)), по одному числу в строке. 

Выходные данные
Выведите на экран ответ. Гарантируется, что ответ не превышает \(10^{18}\).
 

 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснение
1	2 2 3	6	У нас есть двое часов. Время, когда стрелка каждых часов указывает вверх, выглядит следующим образом: Часы 1: 2, 4, 6, ... секунд после начала. Часы 2: 3, 6, 9, ... секунд после начала. Таким образом, требуется 6 секунд, пока стрелки обоих часов снова не укажут прямо вверх.
2	5 2 5 10 1000000000000000000 1000000000000000000	1000000000000000000

 

Пусть a₁ = 2, a₂ = 3, a_n = a_1·a₂·...·a_n-1 – 1 при n ≥ 3. Назовем числа ai псевдопростыми. Для заданного натурального числа X нужно ответить на вопрос: можно ли X однозначно представить в виде произведения псевдопростых чисел (представления, отличающиеся только порядком множителей, считаются одинаковыми), и, если можно — выдать разложение.<

Входные данные
Вводится одно натуральное число X, 1 < X ≤ 10⁹.

Выходные данные
Выведите псевдопростые числа, произведение которых равно X, в произвольном порядке. Если разложения не существует или оно не единственно, выдать 0.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6	2 3
2	5	5
3	7	0

Дано число. В этом числе необходимо изменить одну цифру таким образом, чтобы новое число делилось на 3 и было бы максимально возможным. В исходном числе нужно
обязательно изменить одну цифру, даже если исходное число уже делилось на 3. Программа получает на вход одно длинное натуральное число. Длина числа может
достигать 100 цифр.
Программа должна вывести другое натуральное число, удовлетворяющее условиям:
1. Новое число должно отличаться от данного ровно одной цифрой.
2. Новое число должно делиться на 3.
3. Новое число должно быть максимально возможным из всех таких чисел.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	123	723

Для выбора водящего в детской игре N человек становятся в круг, после чего произносится считалка. На первом слове считалки указывается на первого человека в кругу, на втором слове – на второго человека и т. д. После N-го человека снова идёт первый человек (все люди в кругу пронумерованы числами от 1 до N, круг зацикливается, после человека с номером N идёт человек с номером 1).
Всего в считалке M слов. Определите, на какого человека придётся последнее слово считалки.
Программа получает на вход два целых положительных числа. Первое число N – количество людей в кругу. Второе число M – количество слов в считалке. Оба числа не превосходят 10⁹.
Программа должна вывести одно целое число от 1 до N – номер человека в кругу на которого придётся последнее слово считалки.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	10 25	5

Дана возрастающая последовательность целых чисел 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, ... Она сформирована следующим образом: берется одно нечетное число, затем два четных, затем три нечетных и так далее. Выведите N-й элемент этой последовательности.

Входные данные
Одно целое число N (1 ≤ N ≤ 10¹⁰⁰).

Выходные данные
Выведите одно целое число - N-й элемент последовательности.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	1	1
2	4	5

Для того чтобы проверить, как ее ученики умеют считать, Мария Ивановна каждый год задает им на дом одну и ту же задачу — для заданного натурального A найти минимальное натуральное N такое, что N в степени N (N, умноженное на себя N раз) делится на A. От года к году и от ученика к ученику меняется только число A.
Вы решили помочь будущим поколениям. Для этого вам необходимо написать программу, решающую эту задачу.
Формат входных данных
Во входном файле содержится единственное число A (1 ≤ A ≤ 1000000000 — на всякий случай; вдруг Мария Ивановна задаст большое число, чтобы кого-нибудь “завалить”).
Формат выходных данных
В выходной файл выведите единственное число N.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	8	4
2	13	13

Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).

Формат входных данных
    В первой строке содержится N (3 ≤N ≤1000) – число вершин многоугольника. В последующих N строках идут координаты (X_i, Y_i) вершин многоугольника в порядке обхода по часовой стрелке. X_i и Y_i - целые числа, по модулю не превосходящие 1000000.

Формат выходных данных
Вывести одно число – искомое число точек.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1	1
2	3 0 0 0 2 2 0	0

Легендарный учитель математики Юрий Петрович придумал забавную игру с числами. А именно, взяв произвольное целое число, он переводит его в двоичную систему счисления, получая некоторую последовательность из нулей и единиц, начинающуюся с единицы. (Например, десятичное число 1910 = 1·2⁴+0·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰ в двоичной системе запишется как 10011₂.) Затем учитель начинает сдвигать цифры полученного двоичного числа по циклу (так, что последняя цифра становится первой, а все остальные сдвигаются на одну позицию вправо), выписывая образующиеся при этом последовательности из нулей и единиц в столбик — он подметил, что независимо от выбора исходного числа получающиеся последовательности начинают с некоторого момента повторяться. И, наконец, Юрий Петрович отыскивает максимальное из выписанных чисел и переводит его обратно в десятичную систему счисления, считая это число результатом проделанных манипуляций. Так, для числа 19 список последовательностей будет таким:
10011
11001
11100
01110
00111
10011
…
и результатом игры, следовательно, окажется число 1·2⁴+1·2³+1·2²+0·2¹+0·2⁰ = 28.

Поскольку придуманная игра с числами все больше занимает воображение учителя, отвлекая тем самым его от работы с ну очень одаренными школьниками, Вас просят написать программу, которая бы помогла Юрию Петровичу получать результат игры без утомительных ручных вычислений.
Формат входных данных
Входной файл содержит одно целое число N (0 ≤ N ≤ 32767).
Формат выходных данных
Ваша программа должна вывести в выходной файл одно целое число, равное результату игры.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	19	28

У калькулятора есть две ячейки памяти: содержимое первой из них всегда отображается на табло, вторая является буфером. В начальный момент времени на табло калькулятора отображается целое число X, а в буфере записано число 0. У калькулятора работают только две клавиши: «+» и «=». При нажатии на «+» число, которое в данный момент отображено на табло, копируется в буфер. При нажатии на «=» число из буфера прибавляется к числу, отображенному на табло и результат отображается на табло, число в буфере при этом не меняется.

Требуется за наименьшее число нажатий клавиш на калькуляторе добиться того, чтобы на табло было отображено число Y.

Входные данные
Входной файл содержит два целых числа X и Y. Каждое из этих чисел по модулю не превышает 10⁹.

Выходные данные
В первую строку выходного файла выведите одно число — количество нажатий клавиш, которое потребуется для получения числа Y. Если из числа X получить число Y с помощью указанных операций невозможно, в выходной файл выведите одно число –1.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	-1 -8	6
2	2 16	6
3	0 0	0

Рассмотрим N-домино. В таком домино каждая костяшка состоит из двух половинок, на каждой из которых нарисовано от 0 до N точек. Полный комплект костяшек такого домино содержит все возможные костяшки, каждую — по одному разу. Например, для N=2 в комплект войдут следующие костяшки: (0,0), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2) и (2,2)

Напишите программу, которая по заданному N определит, сколько всего точек изображено на всех костяшках полного комплекта N-домино.

Входные данные
Вводится натуральное число N (1<=N<=30).

Выходные данные
Программа должна напечатать одно число - общее количество точек на всех костяшках полного комплекта N-домино.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	2	12

На клетчатой бумаге Петя нарисовал отрезок из точки с координатами (a,b) в точку с координатами (c,d). Через сколько клеток проходит этот отрезок (считается, что отрезок проходит через клетку, если он проходит через ее внутренность, если же он проходит только через вершину или по границе клетки, считается, что он не проходит через клетку).

Входные данные
Вводятся целые числа a, b, c, d. Числа по модулю не превышают 10⁹.

Выходные данные
Выведите одно число — количество клеток, через которые проходит отрезок.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	0 0 6 4	8
2	3 3 -3 3	0

В Берляндии плачевная ситуация с междугородним автобусным сообщением. Во всей стране есть всего три автобусных маршрута, по каждому из которых курсирует лишь один автобус. В первый день нового года ровно в полночь все три автобуса отправляются по своим маршрутам из столицы Берляндии. Известно, что первому автобусу на то, чтобы проехать весь маршрут и вернуться в столицу требуется a минут, второму — b минут, а третьему — c минут. Таким образом, первый автобус отправляется из столицы Берляндии в моменты времени 0, a, 2a, 3a , второй — в моменты времени 0, b, 2b, 3b , а третий в моменты времени 0, c, 2c, 3c .

Момент времени называется подходящим для пересадки , если в этот момент все три автобуса отправляются из столицы Берляндии. Например если a=1, b=2, c=1, то моменты времени 0 и 2 являются подходящими для пересадки, а момент времени 1 не является, потому что в этот момент времени второй автобус находится в пути. Берляндия — особая страна с особым измерением времени, поэтому в берляндских сутках ровно t минут. Это означает, что в первый день происходят все моменты времени с 0-го по (t−1)-й включительно, во второй день — c t-го по (2t−1)-й включительно, в третий — с 2t-го по (3t−1)-й включительно и так далее.

Министерство транспорта Берляндии заинтересовалось, сколько подходящих для пересадки моментов времени произойдёт в d-й день в Берляндии. К сожалению, местные чиновники заняты другими делами, поэтому ответить на этот вопрос было поручено вам.

Входные данные
В пяти строках заданы пять целых чисел a, b, c, t  и d (1≤a, b, c≤10⁶ , 1≤t, d≤10⁹ ) — время полного прохождения маршрута первым, вторым и третьим автобусами, соответственно, количество минут в сутках и номер дня, которым интересуется министерство транспорта Берляндии.

Выходные данные
Выведите одно целое число — количество подходящих для пересадки моментов времени в d-й день.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснения
1	1 2 1 3 1	2	Сутки длятся 3 минуты, поэтому все моменты времени в день с номером 1 — это 0, 1, 2, из них моменты времени 0 и 2 являются подходящими для пересадки
2	2 3 4 7 2	1	Здесь рассматриваются вторые сутки с моментами времени 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Первый автобус отправляется в моменты времени 8, 10, 12, второй автобус — в моменты времени 9 и 12, а третий — в моменты времени 8 и 12. Таким образом, только момент времени 12 является подходящим для пересадки.
3	2 3 4 3 3	0	Нет ни одного подходящего для пересадки момента времени

На Марсе используют систему счисления с основанием k . В отличие от привычной нам десятичной системы счисления, в этой системе счисления k цифр со значениями от 0 до k - 1 , а вес цифры в i -м разряде равен k_i .

Например, пусть k = 8 . Запись 357₈ означает число 3·8 2 + 5·8 + 7 , в более привычной землянам десятичной системе счисления это число записывается как 239₁₀ . А число 192₁₀ , в системе счисления с основанием 8 записывается как 300₈ .

Ильдар — юный марсианин, и он очень любит круглые числа. Ильдар называет число достаточно круглым , если его запись в системе счисления с основанием k заканчивается хотя бы на n нулей. Сегодня Ильдар хочет найти i -е по порядку достаточно круглое число.

Помогите Ильдару, найдите i -е достаточно круглое в системе счисления с основанием k натуральное число и выведите его в десятичной системе счисления. Ильдар очень дружелюбен и гарантирует, что ответ в десятичной системе счисления не превосходит 10¹⁸ .

Входные данные
Все ограничения на числа в этой задаче заданы в десятичной системе счисления. Все числа во вводе также записаны в десятичной системе счисления.

Первая строка входных данных содержит число k — основание системы счисления, которую использует Ильдар ( 2 ≤ k ≤ 10⁹ ).

Вторая строка входных данных содержит число n — минимальное количество нулей на конце достаточно круглого числа ( 0 ≤ n ≤ 100 ).

Третья строка входных данных содержит число i — порядковый номер достаточно круглого числа, которое интересует Ильдара ( 1 ≤ i ≤ 10⁹ ).

Выходные данные
Выведите одно число — запись в десятичной счистеме счисления i -го по порядку достаточно круглого в системе счисления с основанием k натурального числа. Гарантируется, что ответ не превышает 10¹⁸ .

Обратите внимание, что ответ может не поместиться в стандартный 32-битный тип данных. Надо использовать 64-битный тип, в паскале он называется « int64 », в C++ « long long », в Java « long ». Если вы пишете на языке Python, то волноваться не надо, в Python встроенный целочисленный тип не имеет ограничений на величину числа.
 

№	Входные данные	Выходные данные
1	8 2 2	192

Пятиклассник Лёня недавно прочитал статью о числах Фибоначчи.

Числами Фибоначчи называется числовая последовательность F₁ , F₂ , ..., F_n , ... , которая устроена следующим образом: F₁ = 1 , F₂ = 2 , а каждое следующие число вычисляется как сумма двух предыдущих: если i ≥ 3 , то F_i = F_i - 1 + F_i - 2 . Последовательность чисел Фибоначчи, таким образом, начинается с чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... .

Сегодня Лёня изучает числа Фибоначчи с номерами от L до R , включительно. Так как Лёня очень любит число 3, ему стало интересно, сколько чисел Фибоначчи среди тех, которые он изучает сегодня, делятся на 3. Например, если L = 3 и R = 7 , то Лёня будет изучать числа F₃ = 3 , F₄ = 5 , F₅ = 8 , F₆ = 13 и F₇ = 21 . Среди них на 3 делятся два числа: F₃ = 3 и F₇ = 21 .

Напишите программу, которая поможет Лёне найти ответ на волнующий его вопрос.

Входные данные
Первая строка входных данных содержит число L , а вторая — число R ( 1 ≤ L ≤ R ≤ 10⁵ ).

Выходные данные
Выведите единственное число — количество чисел Фибоначчи с номерами от L до R , включительно, которые делятся на 3.
 

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 7	2

Приближалось лето, и Игорь, Гена и Денис решили пойти вместе в поход, как и в прошлом году. Почти все вопросы уже были решены: уже был проработан маршрут, куплены билеты на поезд, в шкафу у Дениса найдена четырехместная палатка, а под кроватью у Игоря — топор. Осталось решить только вопрос с продуктами.

В прошлом году ребята честно признались, что не знают, сколько им нужно продуктов, и попросили помочь свою одноклассницу Настю, которая составила им список покупок. Но в этом году снова спрашивать у нее уже как-то несолидно. Можно было бы посмотреть, сколько они покупали в прошлом году, и взять столько же, но ни у кого из ребят не сохранилось ни чеков, ни списка продуктов.

Зато у них сохранилась переписка в социальной сети, где они спорили, кто сколько банок тушенки понесет. В этой переписке Игорь сначала предложил поделить всю тушенку в отношении a: b: c, так, что первую часть понесет сам Игорь, вторую — Гена, а третью — Денис. Но Денису это не понравилось, и он предложил поменять соотношение на d: e: f.

Еще немного подумав, ребята поняли, что разрезать банки с тушенкой они все-таки не стали бы, и, значит, оба отношения были подобраны так, что у каждого в обоих случаях получалось целое число банок.

По данным двум отношениям a: b: c и d: e: f вычислите, сколько банок тушенки ребята покупали для прошлогоднего похода. Из всех возможных ответов выведите минимальный. Ребята помнят, что как минимум одна банка тушенки у них точно была.

Входные данные
В первой строке даны три целых положительных числа a, b, c, разделенные пробелами. Во второй строке даны три целых положительных числа d, e, f, также разделенные пробелами.

Все числа не превышают 1000.

Выходные данные
Выведите целое положительное число — количество банок тушенки.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные	Пояснения
1	10 3 7 3 1 1	20	При делении тушенки между ребятами в отношении 10:3:7 Игорь понесет 10 банок, Гена — 3 банки, а Денис — 7 банок. А в случае соотношения 3:1:1 Игорю достанется 12 банок, а Гене и Денису по 4.

Представьте число 2011 в виду суммы K последовательных простых чисел (то есть простых чисел, между которыми нет других простых чисел). Например, число 31 можно представить в виде суммы трех посдедовательных простых чисел следующим образом: 7 + 11 + 13 = 31.

Входные данные
Вводится одно натуральное число K (от 1 до 2011).

Выходные данные
Выведите слагаемые в порядке возрастания, разделяя их пробелом.

Если разложить в сумму K слагаемых невозможно, выведите NO SOLUTION (заглавными буквами).

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3	661 673 677
2	2	NO SOLUTION

Для натурального числа N (1<=N<=10⁵) выведите на экран все его делители, включая 1 и само число N, в последней строке выведите количество этих делителей, включая 1 и само число N.

Входные данные
На вход подается натуральное число N (1<=N<=10⁵).

Выходные данные
В первой строке выведите все делители числа N, в порядке возрастания, разделяя их одним пробелом. Во второй строке выведите одно число - количество делителей исходного числа.
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	4	1 2 4 3

Некоторые уроки в школе для Вани и Пети  очень скучны. На этих уроках Петя и Ваня придумали игру. Сначала мальчики записывают на листке два различных натуральных числа a и b .
Ход игры заключается в следующем: среди записанных чисел выбирают p и q такие, что модуля их разности \(| p - q |\) еще нет на листке, и дописывают его.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Определите, кто из ребят окажется победителем при правильной игре обоих. Ваня вежливый мальчик, поэтому всегда ходит вторым.

Входные данные: В первой и единственной строке записано два различных натуральных числа 1 <= a , b <= 10^9 , разделенные пробелом - два исходных числа на листке.

Выходные данные: Выведите имя победителя в этой игре (Petya или Vanya)

Примечание: В первом примере Петя первым ходом допишет на листок число |6−2| = 4 . Больше ходов нет, поэтому выигрывает Петя. Во втором примере первым ходом на листок будет дописано число |4−1| = 3 . Затем Ваня может записать |3−1| = 2 , тогда у Пети ходов не останется. Побеждает Ваня.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	6 2	Petya
2	4 1	Vanya