Динамическое программирование: один параметр

На числовой прямой в точке с координатой \(0\) сидит кузнечик. За одно действие он может выбрать любое целое неотрицательное число \(k\) и прыгнуть влево или вправо на расстояние \(2^k\).

Помогите кузнечику определить, какое минимальное количество действий ему понадобится выполнить, чтобы из точки с координатой \(0\) попасть в точку с координатой \(x\).

Формат входных данных
В первой строке дано одно целое число \(t\) — количество наборов входных данных (\(1 \le t \le 100\,000\)).

Каждый набор входных данных состоит из единственной строки, в которой дано целое число \(x\) — координата точки, в которую хочет попасть кузнечик (\(-10^{18} \le x \le 10^{18}\)).

Формат выходных данных
Для каждого набора входных данных выведите одно целое число — минимальное количество действий, которое кузнечику понадобится совершить.

На кафедре пингвиноведения Южного Антарктического университета проводятся исследования популяций пингвинов. Фотографии скоплений плотно стоящих пингвинов обрабатываются студентами. Распознавание пингвинов на снимках производится следующим образом: на фотографии выбирается характерная полоса высотой в один пиксель, каждый пиксель которой входит в изображение одного из пингвинов.

У всех пингвинов исследуемой популяции живот белый, а спина и крылья — чёрные. Таким образом, если у пингвина на фотографии видна только спина, то на характерной полосе ему соответствует отрезок из чёрных пикселей, а если только живот, то из белых. В остальных случаях, например, когда чёрные крылья видны поверх белого живота, пингвину соответствует отрезок из чёрных и белых пикселей. Для продолжения исследований необходимо, чтобы каждому пингвину соответствовал отрезок, состоящий либо только из чёрных, либо только из белых пикселей.

Для \(i\)-й фотографии известно максимальное количество пингвинов \(k_i\), изображение которых могло попасть на характерную полосу. Поэтому эту полосу пикселей необходимо заменить на упрощённую полосу той же длины, которая будет состоять не более чем из \(k_i\) отрезков, каждый из которых либо полностью чёрный, либо полностью белый. Из всех возможных упрощённых полос нужно выбрать оптимальную — то есть ту, которая получается из характерной путём изменения цвета минимального числа пикселей.

Требуется написать программу, решающую поставленную задачу.

Входные данные
В первой строке входных данных содержится число \(t\) — количество фотографий. Далее следуют \(t\) пар строк, \(i\)-я пара строк описывает \(i\)-ю фотографию.

Первая строка описания фотографии содержит два числа: \(n_i\) — длину характерной полосы \(i\)-й фотографии, и \(k_i\) — максимальное количество пингвинов, которые могут быть на ней изображены (\(k_i \le n_i\)).

Вторая строка описания состоит из \(n_i\) символов 0 и 1, где 0 обозначает чёрный, а 1 — белый пиксель.

Выходные данные
Выходные данные должны содержать \(t\) строк, где \(i\)-я строка состоит из \(n_i\) символов 0 и 1 и описывает упрощённую полосу, полученную из характерной полосы \(i\)-й фотографии. Если оптимальных упрощённых полос несколько, выведите любую из них.

Требуется заполнить N элементов массива, пронумерованных числами от 1 до N (A[1]…A[N]), натуральными числами от 2 до N+1, использовав каждое число ровно один раз, так, чтобы значение каждого элемента массива делилось бы нацело на его номер (т.е. для каждого i A[i] делилось бы на i).

Напишите программу, которая для заданного N вычислит количество способов такого заполнения массива.

Входные данные
Вводится одно натуральное число N (1≤N≤1000).

Выходные данные
Выведите одно число — искомое количество способов заполнения массива.

Примечание
Массив можно заполнить единственным способом: 3 2
 

Требуется заполнить N элементов массива, пронумерованных числами от 1 до N (A[1]…A[N]), натуральными числами от 2 до N+1, использовав каждое число ровно один раз, так, чтобы значение каждого элемента массива делилось бы нацело на его номер (т.е. для каждого i A[i] делилось бы на i).

Напишите программу, которая для заданного N вычислит количество способов такого заполнения массива.

Входные данные
Вводится одно натуральное число N (1≤N≤60000).

Выходные данные
Выведите одно число — искомое количество способов заполнения массива.

Примечание
Массив можно заполнить единственным способом: 3 2
 

В правильном N-угольнике провели некоторые диагонали так, что он оказался разбит на треугольники. Изначально стороны N-угольника и все его диагонали черные.

Разрешается выбрать четырехугольник, в котором ровно одна диагональ, и при этом эта диагональ черного цвета (сам четырехугольник не обязан быть полностью черным) и проделать с ним следующее: заменить диагональ на противоположную (т.е. если сам четырехугольник был ABCD и в нем была диагональ AC, то она меняется на диагональ BD), после чего перекрасить стороны этого четырехугольника и новую диагональ в красный цвет.

Требуется определить, можно ли с помощью таких операций сделать так, чтобы все отрезки (т.е. стороны N-угольника и изображенные диагонали) стали красными, и не осталось бы ни одного черного отрезка. А если это возможно, то какое минимальное количество операций для этого требуется.

Входные данные
Вводится сначала число N (3≤N≤30000). Далее идет описание N–3 проведенных диагоналей. Каждая диагональ описывается двумя натуральными числами — номерами вершин, которые она соединяет. Гарантируется, что проведенные диагонали внутри N-угольника не пересекаются.

Выходные данные
Выведите минимальное число действий, необходимое для того, чтобы перекрасить весь N-угольник и все его диагонали. Если перекрасить многоугольник указанным способом невозможно, выведите одно число –1 (минус один).

Определим правильные скобочные выражения так:

Пустое выражение - правильное.
Если выражение S правильное, то (S) и [S] также правильные.
Если выражения A и B правильные, то и выражение AB - правильное.
Дана последовательность скобок "(", ")", "[" и "]". Требуется найти самое короткое правильное выражение, в котором данная последовательность является подпоследовательностью, то есть такое, из которого можно вычеркнуть некоторые символы (возможно, ноль) и получить исходную последовательность, не меняя порядок оставшихся.

Ограничения: исходная последовательность содержит не более 100 скобок.

Входные данные
В первой строке находятся символы (, ), [ и ] без пробелов.

Выходные данные
Выводится искомая последовательность скобок без пробелов.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	([(]	()[()]
2	(	()

Кубик, грани которого помечены цифрами от 1 до 6, бросают N раз. Найти вероятность того, что сумма выпавших чисел будет равна Q.

Ограничения: 1 <= N <= 500, 1 <= Q <= 3000.

Входные данные
В первой строке находятся числа N и Q через пробел.

Выходные данные
Выводится единственное вещественное число, которое должно отличаться от истинного значения не более чем на 0.01 истинного значения.

В сообщении, состоящем из одних русских букв и пробелов, каждую букву заменили её порядковым номером в русском алфавите (А - 1, Б - 2, ..., Я - 33), а пробел - нулем. Требуется по заданной последовательности цифр найти количество исходных сообщений, из которых она могла получиться.

Входные данные
В первой строке содержится последовательность цифр. Цифр не более 100.

Выходные данные
Вывести одно число.

Петя - большой любитель математических головоломок. Недавно он прочитал в одном популярном журнале о новой головоломке. Он пытался ее решить несколько дней, но это ему так и не удалось. Помогите Пете справиться с неподдающейся задачей.

В ряд выписаны n чисел. Требуется поставить между каждой парой соседних чисел один из знаков "+" или "×" таким образом, чтобы значение получившегося выражения было как можно больше. Использовать скобки не разрешается.

Например, для последовательности чисел 1, 2, 3, 1, 2, 3 оптимально расставить знаки следующим образом: 1 + 2 × 3 × 1 × 2 × 3. Значение выражения в этом случае равно 37.

Входные данные
В первой строке вводится число n (2 <= n <= 200000). Вторая строка содержит n целых чисел - числа, между которыми следует расставить знаки. Все числа находятся в диапазоне от 0 до 10⁹.

Выходные данные
Выведите оптимальное выражение. В качестве знака "×" выводите символ "*" (звездочку). Если оптимальных решений несколько, выведите любое из них.

Профиль Уральских гор задается ломаной (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_N, y_N), для координат вершин которой верны неравенства x₁ < x₂ < … < x_N. Начальные и конечные точки профиля расположены на уровне моря (y₁ = y_N = 0).

На горном профиле заданы две различные точки A и B, между которыми требуется проложить дорогу. Эта дорога будет проходить по склонам гор и проектируемому горизонтальному мосту, длина которого не должна превышать L. Оба конца моста находятся на горном профиле. Дорога заходит на мост с одного конца и выходит с другого. Мост не может содержать точек, расположенных строго под ломаной (строительство тоннелей не предполагается).
Возможные примеры расположения моста                                                                   Невозможное расположение моста


Достоверно известно, что строительство такого моста в данной местности возможно, причем позволит сократить длину дороги из точки A в точку B. Требуется написать программу, которая определит такое расположение горизонтального моста, что длина дороги от точки A до точки B будет наименьшей.

Формат входных данных
Первая строка входных данных содержит два целых числа N и L — количество вершин ломаной (2 ≤ N ≤ 100 000) и максимальную длину моста (1 ≤ L ≤ 10⁶) соответственно. Вторая строка  содержит координаты точки A, третья строка — координаты точки B. Точки A и B различны.

Последующие N строк содержат координаты вершин ломаной (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_N, y_N). Координаты вершин ломаной, а также точек A и B, задаются парой целых чисел, не превосходящих по абсолютному значению 106. Гарантируется, что x₁ < x₂ < … < x_N и y₁ = y_N = 0, а также, что точки A и B принадлежат ломаной.

Формат выходных данных
В первой и второй строках выходных данных выведите координаты концов моста с точностью не менее 5 знаков после десятичной точки. В случае, когда решений несколько, выведите любое из них.

В одном королевстве есть \(n\) городов, расположенных вдоль длинной прямой дороги, \(i\)-й город расположен на расстоянии \(x_i\) километров от начала дороги (\(0 \le x_1 < x_2 < \ldots < x_n \le 10^9\)).

В ближайшее время король планирует провести реформу управления королевством и разделить его на \(k\) провинций. Каждый город должен войти ровно в одну провинцию.

В каждую провинцию войдет от \(a\) до \(b\) городов, причем эти города должны иметь следующие подряд номера. Таким образом, каждая провинция характеризуется числами \(i\) и \(l\), для которых \(1 \le i\), \(i + l - 1 \le n\), \(a \le l \le b\) и в провинцию входят города с номерами \(i, i + 1, \ldots, i + l - 1\).

Чтобы минимизировать затраты на обслуживание провинций, король хочет, чтобы максимальное расстояние между городами, входящими в одну провинцию, было как можно меньше. Помогите королю выполнить разделение королевства.

Формат входных данных
Первая строка ввода содержит четыре целых числа: \(n\), \(k\), \(a\) и \(b\) (\(1 \le n \le 200\), \(1 \le k \le n\), \(1 \le a \le b \le n\), \(ak \le n \le bk\)). Вторая строка ввода содержит \(n\) целых чисел: \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) (\(0 \le x_1 < x_2 < \ldots < x_n \le 10^9\)).

Формат выходных данных
Выведите одно целое число: минимальное возможное \(z\), такое чтобы можно было разбить города на провинции описанным образом, и расстояние между городами внутри одной провинции не превышало \(z\).

Примечание
В примере оптимально первые 4 города объединить в первую провинцию, а пятый и шестой — во вторую. Максимальное расстояние между двумя городами в одной провинции: \(13 - 6 = 7\).

Вы - маг, который хочет собирать магическую энергию из домов вдоль улицы. Дома на этой улице расположены по кругу. Это означает, что первый дом является соседом последнего. В каждом доме сосредоточена определенная магическая энергия, и единственным ограничением является то, что если вы извлекаете магическую энергию из двух соседних домов в одну и ту же ночь, то это вызывает негативные последствия для вас и окружающей среды.

Зная уровень магической энергии в каждом доме, найдите максимальное количество магической энергии, которое вы можете собрать сегодня, избегая извлечения энергии из соседних домов в одну и ту же ночь.

Входные данные
В первой строке записано число n - количество домой вдоль улицы. Во второй строке - n целых чисел ai - количество магической энергии в i-м доме.

Ограничения на входные данные 

• 1 <= n <= 100
• 0 <= a[i] <= 1000
• 1 <= i <= n

Выходные данные
Выведите максимальное количество магической энергии, которую вы сможете собрать. 
 

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 2 3 2	3
2	4 1 2 3 1	4
3	3 1 2 3	3

Дана последовательность из N целых чисел. Рассматриваются все её непрерывные подпоследовательности. Найдите среди них подпоследовательность с максимальной суммой, определите её длину. В ответе укажите количество элементов в этой подпоследовательности.

Назовем подпоследовательностью массива a непустой массив b такой, что он может быть получен из массива a удалением нескольких (возможно, никаких) элементов массива a. Например, массив [1,3]  является попоследовательностью массива [1,2,3] , но [3,1]  не является.

Назовем подотрезком массива a непустой массив b такой, что он может быть получен путем удаления нескольких (возможно, никаких) первых и последних элементов массива a. Например, [1,2]  является подотрезком массива [1,2,3] , а [1,3]  не является. Несложно заметить, что у массива длины n ровно  \( {n(n+1) \over 2}\)  подотрезков.

Назовем массив a длины n возрастающим , если для любого 1 ≤ i ≤ n выполняется a_i ≤ a_i+1.

Монотонностью массива назовем количество его возрастающих подотрезков.

Дан массив a длины n. Посчитайте сумму монотонностей по всем его подпоследовательностям. Так как ответ может быть очень большим, выведите его по модулю 10⁹+7.

Входные данные
В первой строке задано целое число n (1 ≤ n ≤ 200000) — длина массива a.
Во второй строке заданы n целых чисел (1 ≤ a_i ≤ 200000) — элементы массива a.

Выходные данные
Выведите одно целое число — сумму монотонностей всех подпоследовательностей по модулю 10⁹+7.

Примечание
В первом тестовом примере у массива есть 7 подпоследовательностей:

• У массива [1]  есть ровно один подотрезок и он является возрастающим.
• У массива [2]  есть ровно один подотрезок и он является возрастающим.
• У массива [3]  есть ровно один подотрезок и он является возрастающим.
• У массива [1,2]  есть три подотрезка ([1], [2], [1,2] ) и все они являются возрастающими.
• У массива [1,3]  есть три подотрезка ([1], [3], [1,3] ) и все они являются возрастающими.
• У массива [3,2]  есть три подотрезка ([3], [2], [3, 2] ), но только два из них ([3]  и [2] ) являются возрастающими.
• У массива [1,3,2]  есть шесть подотрезков ([1], [3], [2], [1,3], [3,2], [1,3,2] ) и четыре из них ([1], [3], [2], [1,3] ) являются возрастающими.

Во втором тестовом примере все возрастающие подотрезки всех подпоследовательностей имеют длину 1.

Примеры

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 1 3 2	15
2	3 6 6 6	12